量子力學(xué)小結(jié)

量子力學(xué)小結(jié)第一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五第一章緒論（小結(jié)）

1、經(jīng)典物理的困難

黑體輻射，光電效應(yīng)，原子光譜線系2、舊量子論<1>普朗克能量子論<2>愛因斯坦對(duì)光電效應(yīng)的解釋；光的波粒二象性；光電效應(yīng)的規(guī)律；愛因斯坦公式

：

光子能量動(dòng)量關(guān)系

：第二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五<3>玻爾的原子理論量子化條件：定態(tài)的假設(shè)、頻率條件：3、微觀粒子的波粒二象性,德布羅意關(guān)系戴維孫,革末等人的電子衍射實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了德布羅意關(guān)系。4、量子力學(xué)的建立物質(zhì)波——>薛定諤方程——>非相對(duì)論量子力學(xué)

——>相對(duì)論量子力學(xué)——>量子場(chǎng)論

第三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五第二章波函數(shù)和薛定諤方程（小結(jié)）1．量子力學(xué)中用波函數(shù)描寫微觀體系的狀態(tài)。2．波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋：若粒子的狀態(tài)用描寫，表示在t時(shí)刻，空間處體積元內(nèi)找到粒子的幾率（設(shè)是歸一化的）。3．態(tài)疊加原理：設(shè)是體系的可能狀態(tài)，那么，這些態(tài)的線性疊加：也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。第四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五若體系處于態(tài)，我們講體系部分處于態(tài)。4．波函數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律由薛定諤方程給出：當(dāng)勢(shì)場(chǎng)不顯含時(shí)，其解是定態(tài)解：

滿足定態(tài)薛定諤方程：其中定態(tài)薛定諤方程即能量算符的本征方程。第五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五5．波函數(shù)的歸一化條件：

相對(duì)幾率分布：

波函數(shù)存在常數(shù)因子不定性；相位因子不定性。6．波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件：波函數(shù)一般應(yīng)滿足三個(gè)基本條件：連續(xù)性，有限性，單值性。7．幾率流密度

與幾率密度

滿足連續(xù)性方程：第六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五8．一維無限深方勢(shì)阱

本征值

本征函數(shù)

若

則本征值第七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五本征函數(shù)

9．三維無限深方勢(shì)阱

可以用分離變量法求解得到本征值

本征函數(shù)第八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五10．一維諧振子

本征值本征函數(shù)11、可以用分離變量法求解得到（在笛卡爾坐標(biāo)中）三維各向同性諧振子的能級(jí)和波函數(shù)。第九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五12、勢(shì)壘貫穿隧道效應(yīng)：

粒子在能量E小于勢(shì)壘高度時(shí)仍能貫穿勢(shì)壘的現(xiàn)象，稱為隧道效應(yīng)。第十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五第三章量子力學(xué)中的力學(xué)量（小結(jié)）1．量子力學(xué)中的力學(xué)量用線性厄米算符表示，并且要求該算符的本征函數(shù)構(gòu)成完備系。2.厄米算符A的定義：厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)。厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)一定正交。力學(xué)量算符的本征函數(shù)系滿足正交、歸一、完備等條件。第十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五3．力學(xué)量的測(cè)量值：在力學(xué)量F的本征態(tài)中測(cè)量F，有確定值，即它的本征值；在非的本征態(tài)中測(cè)量F，可能值是F的本征值。將用算符F的正交歸一的本征函數(shù)展開：

則在態(tài)中測(cè)量力學(xué)量F得到結(jié)果為的幾率為，得到結(jié)果在范圍內(nèi)的幾率為:

。第十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五力學(xué)量的平均值是:

或第十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五4．連續(xù)譜的本征函數(shù)可以歸一化為函數(shù)。5．簡(jiǎn)并：屬于算符的某一個(gè)本征值的線性無關(guān)的本征函數(shù)有若干個(gè)，這種現(xiàn)象稱為簡(jiǎn)并。簡(jiǎn)并度：算符的屬于本征值的線性無關(guān)的本征函數(shù)有f個(gè)，我們稱的第n個(gè)本征值是f度簡(jiǎn)并的。6．動(dòng)量算符的本征函數(shù)(即自由粒子波函數(shù))

正交歸一性

第十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五7．角動(dòng)量分量本征函數(shù)的本征值

8．平面轉(zhuǎn)子（設(shè)繞軸旋轉(zhuǎn)）哈密頓量能量本征態(tài)能量本征值第十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五9．有共同的本征函數(shù)—球諧函數(shù)：

中心力場(chǎng)中，勢(shì)場(chǎng)，角動(dòng)量為守恒量。1．第十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五10．中心力場(chǎng)中，定態(tài)薛定諤方程

選為體系的守恒量完全集，其共同的本征函數(shù)為

11．氫原子第十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五類氫離子12．守恒力學(xué)量的定義：若（即力學(xué)量的平均值不隨時(shí)間變化），則稱為守恒量。力學(xué)量的平均值隨時(shí)間的變化滿足因而力學(xué)量為守恒量的條件為：且第十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五13．宇稱算符宇稱算符的定義：，本征值，本征函數(shù)。14．對(duì)易式定義：15．對(duì)易式滿足的基本恒等式：

（Jacobi恒等式）第十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五16．一些重要的對(duì)易關(guān)系：第二十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五17．若算符對(duì)易，即，則和有共同的本征函數(shù)系。在和的共同的本征函數(shù)表示的態(tài)中測(cè)量，都有確定值。若算符不對(duì)易，即，則必有簡(jiǎn)記為特別地，第二十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五第四章態(tài)和力學(xué)量的表象小結(jié)1．表象是以的本征函數(shù)系為基底的表象，在這個(gè)表象中，有第二十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五算符F對(duì)應(yīng)一個(gè)矩陣（方陣），矩陣元是:選定表象后，算符和量子態(tài)都用矩陣表示。平均值公式是：歸一化條件是：本征值方程是：

2．在量子力學(xué)中，兩個(gè)表象之間的變換是幺正變換，滿足；態(tài)的變換是；算符的變換是。幺正變換不改變算符的本征值。3．量子態(tài)可用狄拉克符號(hào)右矢或左矢表示。狄拉克符號(hào)的最大好處是它可以不依賴于表象來闡述量子力學(xué)理論，而且運(yùn)算簡(jiǎn)潔。第二十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五基矢的封閉性：坐標(biāo)表象狄拉克符號(hào)第二十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五4．粒子占有數(shù)表象以線性諧振子的粒子數(shù)算符N或者哈密頓Ｈ的本征態(tài)為基矢的表象。

粒子數(shù)算符：湮滅算符：產(chǎn)生算符：第二十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五第五章微擾理論小結(jié)1．定態(tài)微擾理論適用范圍：求分立能級(jí)及所屬波函數(shù)的修正。適用條件是：一方面要求的本征值和本征函數(shù)已知或較易計(jì)算，另一方面又要求把Ｈ的主要部分盡可能包括進(jìn)去，使剩下的微擾比較小，以保證微擾計(jì)算收斂較快，即（1）非簡(jiǎn)并情況：第二十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五其中，能量的一級(jí)修正等于態(tài)中的平均值。（2）簡(jiǎn)并情況能級(jí)的一級(jí)修正由久期方程即給出。有個(gè)實(shí)根，記為第二十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五分別把每一個(gè)根代入方程，即可求得相應(yīng)的解，記為，于是得出新的零級(jí)波函數(shù)2．變分法選擇嘗試波函數(shù)，計(jì)算的平均值，它是變分參量的函數(shù)，由極值條件定出，求出，它表示基態(tài)能量的上限。相應(yīng)能量為第二十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五3.與時(shí)間有關(guān)的微擾理論（1）由的躍遷幾率是（在一級(jí)近似下）此公式適用的條件是對(duì)于（2）能量和時(shí)間的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：（3）偶極躍遷中角量子數(shù)與磁量子數(shù)的選擇定則第二十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五例題1、設(shè)在H0表象中，的矩陣為：試用微擾論求能量的二級(jí)修正。解：本題的意義在于：并不知道無微擾算符，微擾和總的（一級(jí)近似）哈氏算符的形式，也不知道零階近似波函數(shù)的形式，知道的是在表象中的矩陣。但僅僅根據(jù)這矩陣的具體形式，按習(xí)慣用代表字母的涵義，可以知道幾點(diǎn)：第三十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五（1）能量本征值是分立的（因?yàn)橛梅至⒕仃嚤硎荆羰沁B續(xù)能量本征值，不能用此表示法），無微擾能量本征值有三個(gè)，本征函數(shù)。因

（2）微擾算符的的矩陣是

根據(jù)無簡(jiǎn)并微擾論，一級(jí)能量修正量是：從（2）中看出，對(duì)角位置的矩陣元全是零，因此一級(jí)修正量：第三十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五又二級(jí)能量公式是：所需的矩陣元已經(jīng)直接由式（2）表示出，毋需再加計(jì)算，因而有：第三十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五例2、設(shè)在H0表象中用微擾論求能量修正量（到二級(jí)近似），嚴(yán)格求解與微擾論計(jì)算值比較。解：直接判斷法：題給矩陣進(jìn)行分解，有第三十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五從矩陣（3）知道一級(jí)修正量（用對(duì)角矩陣元）和二級(jí)修正量（用非對(duì)角矩陣元）仿前一題，直接寫出兩個(gè)能級(jí)（正確到二級(jí)修正量）嚴(yán)格求解法：這就是根據(jù)表象理論，分立表象中，本征方程可以書寫成矩陣方程式形式，并可以求得本征值和本征矢（用單列矩陣表示）。我們?cè)O(shè)算符H（1）具有本征矢，本征值是，列矩陣方程式：第三十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五展開后成兩式

又假設(shè)本征矢是歸一化的：（5）式有非平凡解的條件是：第三十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五（7）后一式可展開（8）第三十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五（7）是正確本征值解，共有二個(gè)，以符號(hào)來區(qū)別。（8）的級(jí)數(shù)展開式可分寫為中斷在第三項(xiàng)的時(shí)侯便是二階近似值，這由對(duì)比便能知道兩個(gè)能級(jí)近似值的絕對(duì)誤差是有下述上限的。第三十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五第七章自旋與全同粒子1．電子自旋電子自旋假設(shè)的兩個(gè)要點(diǎn)：（1）

（2）內(nèi)稟磁矩的值即玻爾磁子的值：

斯特恩—蓋拉赫實(shí)驗(yàn)證明了原子具有磁矩和電子自旋。2.自旋算符和自旋波函數(shù)（1）自旋算符與Pauli矩陣：第三十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五對(duì)易關(guān)系：（單位算符）

第三十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五（2）自旋波函數(shù)（200-203頁）考慮電子的自旋后，電子的波函數(shù)是二行一列矩陣：當(dāng)電子的自旋與軌道相互作用可以忽略時(shí)，電子的波函數(shù)可以寫為：

第四十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五的本征函數(shù)：（3）兩電子體系的自旋波函數(shù)：第四十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五算符3、兩個(gè)角動(dòng)量的耦合若是兩個(gè)獨(dú)立的角動(dòng)量，則也是角動(dòng)量。

C-G系數(shù)的性質(zhì)：，j的取值

第四十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五4、全同粒子（1）量子力學(xué)中，把內(nèi)稟屬性（靜質(zhì)量、電荷、自旋、磁矩、壽命等）相同的粒子稱為全同粒子。（2）全同性原理：由于全同粒子的不可區(qū)分性，使得全同粒子所組成的體系中，二全同粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的改變。全同性原理或表述為交換對(duì)稱性：任何可觀測(cè)量，特別是Hamilton量，對(duì)于任何兩個(gè)粒子交換是不變的。這就給描述全同粒子系的波函數(shù)帶來很強(qiáng)的限制，即要求全同粒子體系的波函數(shù)具有交換對(duì)稱性或者交換反對(duì)稱性。

第四十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五（3）全同粒子系的波函數(shù)的交換對(duì)稱性與粒子的自旋有確定的聯(lián)系。玻色子：自旋為整數(shù)倍（）的粒子，波函數(shù)對(duì)于兩個(gè)粒子交換總是對(duì)稱的，例如介子（），光子（）。它們遵守Bose統(tǒng)計(jì)，稱為Bose子。費(fèi)米子：自旋為半奇數(shù)倍（）的粒子，波函數(shù)對(duì)于兩個(gè)粒子交換總是反對(duì)稱的，例如電子，質(zhì)子，中子等。它們遵守Fermi統(tǒng)計(jì)，稱為Fermi子。由“基本粒子”組成的復(fù)雜粒子，例如粒