2021年遼寧省盤錦市大洼縣第一高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2021年遼寧省盤錦市大洼縣第一高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某幾何體的三視圖（單位：cm）若圖所示，則該幾何體的體積是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B2.不等式組的解集記為,若,則的最小值是(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：A畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖三角形ABC為所示，當(dāng)過A（－2,0）時(shí)取得最上值為－43.在等差數(shù)列{an}中，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n項(xiàng)和，則使Sn達(dá)到最大值的n是（

）A．21

B．20

C．19

D．18參考答案：B因?yàn)?，，所以，，從而d，,所以當(dāng)時(shí)取最大值，選B.4.函數(shù)的圖像大致是(

)

參考答案：B5.設(shè)，雙曲線與圓相切，A（，0），B（，0），若圓N上存在一點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P到x軸的距離為（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)圓與雙曲線的位置關(guān)系，聯(lián)立雙曲線方程和圓的方程，消去，可得的一元二次方程，由判別式為0，求出的值，再根據(jù)雙曲線的定義以及韋達(dá)定理，即可求出?！驹斀狻柯?lián)立與，消去得，又易知點(diǎn)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，又，故由雙曲線的定義可知在雙曲線上，且為右切點(diǎn)，由韋達(dá)定理得點(diǎn)到軸的距離為，故選D?！军c(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義的應(yīng)用，以及雙曲線與圓的位置關(guān)系應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。6.設(shè)集合M={-1,0,1}，N={x|x2≤x}，則M∩N=A.{0}

B.{0,1}

C.{-1,1}

D.{-1,0,0}參考答案：B

M={-1,0,1}M∩N={0,1}.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的基本運(yùn)算，較簡(jiǎn)單，易得分.先求出,再利用交集定義得出M∩N.7.已知周期為π的函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，將y=f(x)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)y=g(x)的圖像，則下列結(jié)論正確的是（

）A.g(x)為偶函數(shù).

B.g(x)圖像關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱C.g(x)在區(qū)間[,]上單調(diào)遞增

D.g(x)為奇函數(shù).參考答案：C由題意可知=2,,關(guān)于對(duì)稱，則,∵,得,即,其圖像向左平移個(gè)單位,得.從而可知A,D錯(cuò)誤，又∵∴B錯(cuò)誤,∵,單調(diào)遞增,∴C正確，故選C.8.已知點(diǎn)M在角θ終邊的延長(zhǎng)線上，且|OM|=2，則M的坐標(biāo)為（）A．（2cosθ，2sinθ） B．（﹣2cosθ，2sinθ）C．（﹣2cosθ，﹣2sinθ） D．（2cosθ，﹣2sinθ）參考答案：C【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】由題意，M的坐標(biāo)為（2cos（π+θ），2sin（π+θ）），即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，M的坐標(biāo)為（2cos（π+θ），2sin（π+θ）），即（﹣2cosθ，﹣2sinθ），故選C．9.為圓內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則直線與該圓的位置關(guān)系為（

）A．相離

B．相交

C．相切

D．相切或相離參考答案：A

解．點(diǎn)M在圓內(nèi)故，圓心到直線的距離．故直線與圓相離．選A．10.函數(shù)y=sin（2x+φ），的部分圖象如圖，則φ的值為（）A．或 B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】y=Asin（ωx+φ）中參數(shù)的物理意義；由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】計(jì)算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由已知中函數(shù)的圖象，通過坐標(biāo)（，0）代入解析式，結(jié)合φ求出φ值，得到答案．【解答】解：由已知中函數(shù)y=sin（2x+φ）（φ）的圖象過（，0）點(diǎn)代入解析式，結(jié)合五點(diǎn)法作圖，sin（+φ）=0，+φ=π+2kπ，k∈Z，∵φ，∴k=0，∴φ=，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，特殊點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知x1，x2是函數(shù)f（x）=2sin2x+cos2x-m在內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn)，則sin（x1+x2）=______．參考答案：

解：x1，x2是函數(shù)f（x）=2sin2x+cos2x-m在[0，]內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn)，

可得m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2，

即為2（sin2x1-sin2x2）=-cos2x1+cos2x2，

即有4cos（x1+x2）sin（x1-x2）=-2sin（x2+x1）sin（x2-x1），

由x1≠x2，可得sin（x1-x2）≠0，可得sin（x2+x1）=2cos（x1+x2），

由sin2（x2+x1）+cos2（x1+x2）=1，可得sin（x2+x1）=±，

由x1+x2∈[0，π]，即有sin（x2+x1）=．

另解：由對(duì)稱性可知=2sin（x2+x1）+cos（x1+x2），

由sin2（x2+x1）+cos2（x1+x2）=1，

由x1+x2∈[0，π]，即有sin（x2+x1）=．故答案為：．12.給出下列不等式：，，，…，則按此規(guī)律可猜想第n個(gè)不等式為

．參考答案：13.已知，，且，則與夾角的余弦值為___________.參考答案：，，．14.向量、、在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若（），則

。參考答案：415.函數(shù)的值域是____________參考答案：略16.已知函數(shù)，函數(shù)（，且mp＜0），給出下列結(jié)論：①存在實(shí)數(shù)r和s，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立；②函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；③函數(shù)可能不存在零點(diǎn)（注：使關(guān)于x的方程的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)的零點(diǎn)）；④關(guān)于x的方程的解集可能為{－1，1，4，5}．其中正確結(jié)論的序號(hào)為

（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．參考答案：①③17.若存在實(shí)數(shù)使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），（1）若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，證明：（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值集合.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

B12【答案解析】(1)見解析；（2）的取值集合為.解析：(1)證明：由，得．…………1分由>0，即>0，解得x>lna，同理由<0解得x<lna，∴在(-∞，lna)上是減函數(shù)，在(lna，+∞)上是增函數(shù)，于是在取得最小值．又∵函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則，…4分即．…………5分化簡(jiǎn)得：，∴．…………………6分(2)解：由(Ⅰ)知，在取得最小值，由題意得≥0，即≥0，……8分令，則，由可得0<a<1，由可得a>1．∴在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減，即，∴當(dāng)0<a<1或a>1時(shí)，h(a)<0，∴要使得≥0對(duì)任意x∈R恒成立，∴的取值集合為………13分【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可判定函數(shù)的單調(diào)性,由此得函數(shù)f(x)只有一個(gè)最小值，因?yàn)楹瘮?shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，所以此最小值是0，從而證得結(jié)論；（1）對(duì)任意恒成立，即函數(shù)f(x)的最小值大于或等于0，由此得關(guān)于a的不等式，再利用導(dǎo)數(shù)求得結(jié)論.19.已知拋物線，直線與拋物線交于兩點(diǎn)．（Ⅰ）若軸與以為直徑的圓相切，求該圓的方程；（Ⅱ）若直線與軸負(fù)半軸相交，求面積的最大值．參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）

【知識(shí)點(diǎn)】圓與圓錐曲線的綜合；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．H3H7H8（Ⅰ）聯(lián)立，消并化簡(jiǎn)整理得．依題意應(yīng)有，解得．設(shè)，則，設(shè)圓心，則應(yīng)有．因?yàn)橐詾橹睆降膱A與軸相切，得到圓半徑為，又．所以，解得．

所以，所以圓心為．故所求圓的方程為．（Ⅱ）因?yàn)橹本€與軸負(fù)半軸相交，所以，又與拋物線交于兩點(diǎn)，由（Ⅱ）知，所以，直線：整理得，點(diǎn)到直線的距離，所以．

令，，，由上表可得的最大值為．所以當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值．【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為，由拋物線定義和已知條件可知，由此能求出拋物線方程,聯(lián)立，消x并化簡(jiǎn)整理得y2+8y﹣8b=0．依題意應(yīng)有△=64+32b＞0，解得b＞﹣2．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=﹣8，y1y2=﹣8b，設(shè)圓心Q（x0，y0），則應(yīng)有．因?yàn)橐訟B為直徑的圓與x軸相切，得到圓半徑為r=|y0|=4，由此能夠推導(dǎo)出圓的方程．（Ⅱ）因?yàn)橹本€l與y軸負(fù)半軸相交，所以b＜0，又l與拋物線交于兩點(diǎn)，由（Ⅱ）知b＞﹣2，所以﹣2＜b＜0，直線l：整理得x+2y﹣2b=0，點(diǎn)O到直線l的距離，所以．由此能夠求出AOB的面積的最大值．20.（12分）已知數(shù)列，，，記，，（）,若對(duì)于任意，，，成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案：（Ⅰ）根據(jù)題意，，成等差數(shù)列∴

--------------2分整理得∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列

--------------4分∴

--------------6分（Ⅱ）

--------------8分記數(shù)列的前項(xiàng)和為.當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，綜上，

--------------12分21.（本小題滿分10分）《選修4—1：幾何證明選講》如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，AD的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，且EC=ED．（I）證明：CD//AB；（II）延長(zhǎng)CD到F，延長(zhǎng)DC到G，使得EF=EG，證明：A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．參考答案：（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講解：（I）因?yàn)镋C=ED，所以∠EDC=∠ECD.因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，所以∠EDC=∠EBA.故∠ECD=∠EBA，所以CD//AB.

…………5分

（II）由（I）知，AE=BE，因?yàn)镋F=FG，故∠EFD=∠EGC從而∠FED=∠GEC.連結(jié)AF，BG，則△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180°.故A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓

…………10分略22.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=2，S5=30，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，且Tn=2n﹣1．（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)cn=（﹣1）n（anbn+lnSn），求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【專題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）通過記等差數(shù)列{an}的公差為d，利用等差數(shù)列的求和公式及a1=2可知公差d=2，進(jìn)而可知an=2n；通過Tn=2n﹣1與Tn﹣1=2n﹣1﹣1（n≥2）作差，進(jìn)而可知bn=2n﹣1；（Ⅱ）通過（I）可知anbn=n?2n，Sn=n（n+1），進(jìn)而可知cn=n（﹣2）n+（﹣1）n[lnn+ln（n+1）]，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可知數(shù)列{（﹣1）nanbn}的前n項(xiàng)和An=﹣﹣?（﹣2）n+1；通過分類討論，結(jié)合并項(xiàng)相加法可知數(shù)列{（﹣1）nlnSn}的前n項(xiàng)和Bn=（﹣1）nln（n+1），進(jìn)而可得結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）記等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意，S5=5a1+d=30，又∵a1=2，∴d==2，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n；∵Tn=2n﹣1，∴Tn﹣1=2n﹣1﹣1（n≥2），兩式相減得：bn=2n﹣1，又∵b1=T1=21﹣1=1滿足上式，∴數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn=2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知anbn=n?2n，Sn=2?=n（n+1），∴cn=（﹣1）n（anbn+lnSn）=n（﹣2）n+（﹣1）n[lnn+ln（n+1）]，記數(shù)列{（﹣1）nanbn}的前n項(xiàng)和為An，數(shù)列{（﹣1）nlnSn}的前n項(xiàng)和為Bn，則An=1?（﹣2）1+2?（﹣2）2+3?（﹣2）3+…+n?（﹣2）n，﹣2An=1?（﹣2）2+2?（﹣2）3+…+（n﹣1）?（﹣2）n+n?（﹣2）n+1，錯(cuò)位相減得：3An=（﹣2）1+（﹣2）2+（﹣2）3+…+（﹣2）n﹣n?（﹣2）n+1=﹣n?（﹣2）n+1=﹣﹣?（﹣2）n+1，∴An=﹣﹣?（﹣2）n+1；當(dāng)