安徽省蚌埠市第二十一中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

安徽省蚌埠市第二十一中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.直線x﹣2y+2=0經(jīng)過橢圓的一個焦點(diǎn)和一個頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率為(

) A． B． C． D．參考答案：A考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：計(jì)算題．分析：直線x﹣2y+2=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（﹣2，0），（0，1），依題意得．解答： 直線x﹣2y+2=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（﹣2，0），（0，1），直線x﹣2y+2=0經(jīng)過橢圓的一個焦點(diǎn)和一個頂點(diǎn)；故．故選A．點(diǎn)評：本題考查了橢圓的基本性質(zhì)，只需根據(jù)已知條件求出a，b，c即可，屬于基礎(chǔ)題型．2.已知，且，則tanα=(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用．【分析】由，故可由向量共線的條件建立方程，解出角的正切，選出正確選項(xiàng)．【解答】解：，且，∴5cosα=6sinα，∴tanα=，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查平面向量共線的坐標(biāo)表示及三角方程化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量共線的坐標(biāo)表示公式，及三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系．3.已知a=log3，b=3，c=log2，則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜c＜a C．a(chǎn)＜c＜b D．c＜a＜b參考答案：C【考點(diǎn)】對數(shù)值大小的比較．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答】解：∵a=log3＜log3=﹣1，b=3＞0，c=log2=﹣1，∴a＜c＜b．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查三個數(shù)的大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時要注意指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．4.若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，則當(dāng){an}的前n項(xiàng)和最大時n的值為（）A．7 B．8 C．9 D．10參考答案：B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得{an}的前8項(xiàng)為正數(shù)，從第9項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，由此易得結(jié)論．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，∴3a8=a7+a8+a9＞0，a8+a9=a7+a10＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴等差數(shù)列{an}的前8項(xiàng)為正數(shù)，從第9項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，∴當(dāng){an}的前n項(xiàng)和最大時n的值為8，故選：B．5.復(fù)數(shù)z滿足：（3﹣4i）z=1+2i，則z=（）A．

B．C．D．參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出．【解答】解：∵（3﹣4i）z=1+2i，∴（3+4i）（3﹣4i）z=（3+4i）（1+2i），∴25z=﹣5+10i，則z=﹣+i．故選：A．6.已知i是虛數(shù)單位，則(2+i)(3+i)=A、5-5i

B、7-5i

C、5+5i

D、7+5i參考答案：C7.設(shè)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時，=，則=

(A)-

(B)

(C)

(D)參考答案：A.本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和周期性，難度較低.因?yàn)楹瘮?shù)為的奇函數(shù)，所以，又因?yàn)?/p>

的函數(shù)解析式為，求得.8.設(shè)函數(shù)，將函數(shù)f(x)的圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖像，若g(x)為偶函數(shù)，則的最小值是（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】利用誘導(dǎo)公式、輔助角公式化簡f(x)，求得f(x)向左平移個單位后的g(x)的解析式，根據(jù)g(x)為偶函數(shù)，求得的表達(dá)式，由此求得的最小值.【詳解】，向左平移，得，又為偶函數(shù)，令，得，由于，，∴最小值為，故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、輔助角公式，考查三角函數(shù)圖像變換，考查根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，屬于中檔題.9.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C10.（12分）函數(shù)對于>0有意義，且滿足是減函數(shù).(1)證明=0;（2）若成立，求的取值范圍。參考答案：（1）令x=1,y=1,可得f(1)=0……2分（2）由及得…6分又為的減函數(shù)，得………….9分得……………11分故x的取值范圍是………………12分二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知雙曲線的離心率為，則

。參考答案：4

【解析】由解得，∴，∴12.函數(shù)的圖象中相鄰兩條對稱軸的距離是

．參考答案：13.已知函數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

參考答案：略14.數(shù)列為等差數(shù)列，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是___

；參考答案：15.平面向量，則向量在向量方向上的投影為

．參考答案：16.袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中2只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】先求出基本事件總數(shù)，再求出這2只球顏色不同，包含的基本事件個數(shù)，由此能求出這2只球顏色不同的概率．【解答】解：袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中2只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，基本事件總數(shù)n==6，這2只球顏色不同，包含的基本事件個數(shù)m=C=4，∴這2只球顏色不同的概率p==．故答案為：．17.甲、乙兩人參加法律知識競賽，共有10道不同的題目，其中選擇題有6道，判斷題4道，甲、乙兩人依次各抽一題（不能抽同一題）．則甲、乙中至少有一人抽到選擇題的概率等于．（用數(shù)字作答）參考答案：【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】先求出基本事件總數(shù)和甲、乙都抽到判斷題包含的基本事件個數(shù)，由此利用對立事件概率計(jì)算公式能求出甲、乙中至少有一人抽到選擇題的概率．【解答】解：甲、乙兩人參加法律知識競賽，共有10道不同的題目，其中選擇題有6道，判斷題4道，甲、乙兩人依次各抽一題（不能抽同一題）．基本事件總數(shù)n=10×9=90，甲、乙都抽到判斷題包含的基本事件個數(shù)m=4×3=12，∴甲、乙中至少有一人抽到選擇題的概率：p=1﹣=1﹣=．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意對立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在第十五次全國國民閱讀調(diào)查中，某地區(qū)調(diào)查組獲得一個容量為200的樣本，其中城鎮(zhèn)居民150人，農(nóng)村居民50人.在這些居民中，經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民100人，農(nóng)村居民24人.（Ⅰ）填寫下面列聯(lián)表，并判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為，經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān)？

城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計(jì)經(jīng)常閱讀10024

不經(jīng)常閱讀

合計(jì)

200

（Ⅱ）從該地區(qū)居民城鎮(zhèn)的居民中，隨機(jī)抽取4位居民參加一次閱讀交流活動，記這4位居民中經(jīng)常閱讀的人數(shù)為X，若用樣本的頻率作為概率，求隨機(jī)變量X的分布列和期望.附：，其中

參考答案：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，利用公式求出，比較與的大小，即可得出有的把握認(rèn)為，經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān)。（Ⅱ）根據(jù)題意得的可能取值為0,1,2,3,4，利用二項(xiàng)分布公式求出相應(yīng)的概率，即可得出的分布列和期望?！驹斀狻浚á瘢┯深}意得：

城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計(jì)經(jīng)常閱讀不經(jīng)常閱讀合計(jì)

則，所以，有的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).（Ⅱ）根據(jù)樣本估計(jì)，從該地區(qū)城鎮(zhèn)居民中隨機(jī)抽取1人，抽到經(jīng)常閱讀的人的概率是，且，所以的分布列為：

【點(diǎn)睛】解獨(dú)立性檢驗(yàn)題目基本步驟：（1）作出列聯(lián)表（2）求出的觀測值（3）通過臨界值表讀出相應(yīng)概率（4）下結(jié)論19.平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，離心率為，過點(diǎn)F且垂直于長軸的弦長為．（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A，B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，若過點(diǎn)P（﹣2，0）的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)M，N．（i）求證：∠AFM=∠BFN；（ii）求△MNF面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和過焦點(diǎn)垂直于對稱軸的弦長，結(jié)合a，b，c的關(guān)系解得a，b，可得橢圓的方程；（II）方法一、（i）討論直線AB的斜率為0和不為0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程為x=my﹣2，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，運(yùn)用直線的斜率公式求斜率之和，即可得證；（ii）求得△MNF的面積，化簡整理，運(yùn)用基本不等式可得最大值．方法二、（i）由題知，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x+2），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立橢圓方程，消去y，可得x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，再由直線的斜率公式，求得即可得證；（ii）求得弦長|MN|，點(diǎn)F到直線的距離d，運(yùn)用三角形的面積公式，化簡整理，運(yùn)用換元法和基本不等式，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由題意可得，令x=﹣c，可得y=±b=±，即有，又a2﹣b2=c2，所以．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（II）方法一、（i）當(dāng)AB的斜率為0時，顯然∠AFM=∠BFN=0，滿足題意；當(dāng)AB的斜率不為0時，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程為x=my﹣2，代入橢圓方程，整理得（m2+2）y2﹣4my+2=0，則△=16m2﹣8（m2+2）=8m2﹣16＞0，所以m2＞2．，可得==．則kMF+kNF=0，即∠AFM=∠BFN；（ii）當(dāng)且僅當(dāng)，即m2=6．（此時適合△＞0的條件）取得等號．則三角形MNF面積的最大值是．方法二（i）由題知，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x+2），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，整理得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣2=0，則△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）=8﹣16k2＞0，所以．，可得=∴kMF+kNF=0，即∠AFM=∠BFN；（ii），點(diǎn)F（﹣1，0）到直線MN的距離為，即有==．令t=1+2k2，則t∈[1，2），u（t）=，當(dāng)且僅當(dāng)，即（此時適合△＞0的條件）時，，即，則三角形MNF面積的最大值是．20.在一個盒子中，放有標(biāo)號分別為1，2，3的三張卡片，現(xiàn)從這個盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號分別為x、y，記ξ=|x﹣2|+|y﹣x|．（Ⅰ）求隨機(jī)變量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（Ⅱ）求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】CG：離散型隨機(jī)變量及其分布列；C7：等可能事件的概率；CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【分析】（I）由題意知x、y可能的取值為1、2、3，做出要用的變量ξ的可能取得的最大值，根據(jù)等可能事件的概率寫出試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)和滿足條件的事件數(shù)，求得概率．（II）由題意知ξ的所有取值為0，1，2，3，結(jié)合變量對應(yīng)的事件和等可能事件的概率公式得到概率，當(dāng)ξ=1時，有x=1，y=1或x=2，y=1或x=2，y=3或x=3，y=3四種情況，這個情況比較多，容易出錯，寫出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）∵x、y可能的取值為1、2、3，∴|x﹣2|≤1，|y﹣x|≤2，∴ξ≤3，且當(dāng)x=1，y=3或x=3，y=1時，ξ=3．因此，隨機(jī)變量ξ的最大值為3．∵有放回抽兩張卡片的所有情況有3×3=9種，∴．即隨機(jī)變量ξ的最大值為3，事件“ξ取得最大值”的概率為．（Ⅱ）由題意知ξ的所有取值為0，1，2，3．∵ξ=0時，只有x=2，y=2這一種情況，ξ=1時，有x=1，y=1或x=2，y=1或x=2，y=3或x=3，y=3四種情況，ξ=2時，有x=1，y=2或x=3，y=2兩種情況．∴，，．∴隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ0123P∴數(shù)學(xué)期望．【點(diǎn)評】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查利用概率知識解決實(shí)際問題，本題是一個比較好的題目，難易程度適當(dāng)．21.（12分）已知函數(shù)在處取得極值.（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求證：，．參考答案：解析：（Ⅰ）由得

…………4分，0極大值極小值故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為.……8分（Ⅱ）由（Ⅰ）在遞增，在遞減，遞