高等代數(shù)第一章

高等代數(shù)第一章第一頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元多項(xiàng)式§11對(duì)稱多項(xiàng)式§3整除的概念§2一元多項(xiàng)式§1數(shù)域§7多項(xiàng)式函數(shù)§9有理系數(shù)多項(xiàng)式§8復(fù)、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解第一章多項(xiàng)式第二頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六一、數(shù)域二、數(shù)域性質(zhì)定理§1.1數(shù)域第三頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六一、數(shù)域設(shè)P是由一些復(fù)數(shù)組成的集合，其中包括數(shù)不為0）仍是P中的數(shù)，則稱P為一個(gè)數(shù)域．0與1，如果P中任意兩個(gè)數(shù)的和、差、積、商（除常見數(shù)域：復(fù)數(shù)域C；實(shí)數(shù)域R；有理數(shù)域Q；（注意：自然數(shù)集N及整數(shù)集Z都不是數(shù)域．）定義第四頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六說明：1）若數(shù)集P中任意兩個(gè)數(shù)作某一運(yùn)算的結(jié)果仍在P中，則說數(shù)集P對(duì)這個(gè)運(yùn)算是封閉的．2）數(shù)域的等價(jià)定義：如果一個(gè)包含0，1在內(nèi)的數(shù)集P對(duì)于加法，減法，乘法與除法（除數(shù)不為0）是封閉的，則稱集P為一個(gè)數(shù)域．第五頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六是一個(gè)數(shù)域．例1．證明：數(shù)集證：又對(duì)設(shè)則有設(shè)于是也不為0．第六頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六或矛盾）（否則，若則于是有為數(shù)域．是數(shù)域.類似可證Gauss數(shù)域第七頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六例2．設(shè)P是至少含兩個(gè)數(shù)的數(shù)集，證明：若P中任意兩個(gè)數(shù)的差與商（除數(shù)≠0）仍屬于P，則P為一一個(gè)數(shù)域．有證：由題設(shè)任取所以，P是一個(gè)數(shù)域．時(shí),時(shí),第八頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六二、數(shù)域的性質(zhì)定理任意數(shù)域P都包括有理數(shù)域Q．即，有理數(shù)域?yàn)樽钚?shù)域．證明：設(shè)P為任意一個(gè)數(shù)域．由定義可知，于是有第九頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六進(jìn)而有而任意一個(gè)有理數(shù)可表成兩個(gè)整數(shù)的商，第十頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六設(shè)P為非空數(shù)集，若則稱P為一個(gè)數(shù)環(huán)．附:例如，整數(shù)集Z就作成一個(gè)數(shù)環(huán)．?dāng)?shù)環(huán)第十一頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六練習(xí)判斷數(shù)集是否為數(shù)域？為什么?第十二頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六作業(yè)S是數(shù)域嗎？２．證明：集合是一個(gè)數(shù)環(huán)．1．若為數(shù)域，證明：也為數(shù)域．第十三頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六一、一元多項(xiàng)式的定義二、多項(xiàng)式環(huán)§1.2一元多項(xiàng)式第十四頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六1．定義個(gè)非負(fù)整數(shù)，形式表達(dá)式設(shè)是一個(gè)符號(hào)（或稱文字），是一稱為數(shù)域P上的一元多項(xiàng)式．其中等表示．常用一、一元多項(xiàng)式的定義第十五頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六系數(shù)，n稱為多項(xiàng)式的次數(shù)，記作③若，即，則稱之為零多項(xiàng)式．零多項(xiàng)式不定義次數(shù)．區(qū)別：零次多項(xiàng)式多項(xiàng)式中，稱為i次項(xiàng)，稱為i次項(xiàng)系數(shù)．①注：②若則稱為的首項(xiàng)，為首項(xiàng)零多項(xiàng)式第十六頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六2．多項(xiàng)式的相等若多項(xiàng)式與的同次項(xiàng)系數(shù)全相等，則稱

與相等，記作即，第十七頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六3．多項(xiàng)式的運(yùn)算：加法（減法）、乘法加法：若在中令則減法：第十八頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六中s次項(xiàng)的系數(shù)為注:乘法：第十九頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六4．多項(xiàng)式運(yùn)算性質(zhì)1)為數(shù)域P上任意兩個(gè)多項(xiàng)式，則仍為數(shù)域P上的多項(xiàng)式．2)

①②若則且第二十頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六的首項(xiàng)系數(shù)的首項(xiàng)系數(shù)×的首項(xiàng)系數(shù).3)運(yùn)算律第二十一頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六例1設(shè)(1)證明:若則(2)在復(fù)數(shù)域上(1)是否成立？第二十二頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六(1)證：若則于是為奇數(shù).故從而從而但為偶數(shù).這與已知矛盾.第二十三頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六(2)在C上不成立．如取從而必有又均為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，第二十四頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六所有數(shù)域P中的一元多項(xiàng)式的全體稱為數(shù)域P上的一元多項(xiàng)式環(huán)，記作P稱為的系數(shù)域．二、多項(xiàng)式環(huán)定義第二十五頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六一、帶余除法二、整除§1.3整除的概念第二十六頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六對(duì)一定存在使成立，其中或一、帶余除法定理并且這樣的是唯一決定的．稱為除的商，為除的余式．第二十七頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六①若則令結(jié)論成立．②若設(shè)的次數(shù)分別為證：當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立．顯然取即有下面討論的情形，假設(shè)對(duì)次數(shù)小于n的，結(jié)論已成立．先證存在性．對(duì)作數(shù)學(xué)歸納法．次數(shù)為０時(shí)結(jié)論顯然成立．第二十八頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六設(shè)的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為則

與首項(xiàng)相同，因而，多項(xiàng)式

的次數(shù)小于n或f1為0．若

令

即可．

若

由歸納假設(shè)，存在

使得

現(xiàn)在來看次數(shù)為n的情形．第二十九頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六其中

或者

于是即有使成立．的存在性得證．由歸納法原理，對(duì)第三十頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六再證唯一性．若同時(shí)有其中其中和則

即第三十一頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六但

矛盾．

所以從而

唯一性得證．第三十二頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六＋)

附：綜合除法的商式

和余式可按下列計(jì)算格式求得：這里，若

則

除第三十三頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六去除①求一次多項(xiàng)式的商式及余式．②把表成的方冪和，即表成的形式．說明：綜合除法一般用于第三十四頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六例1．求除的商式和余式解:由＋)

１－１－１０１有第三十五頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六１4１解:∵

1０００００例２.把表成的方冪和．１１１１１１１１１１１１=１232345=１１１136１3614１41110=5=10=第三十六頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六二、整除1．定義設(shè)若存在使則稱整除

記作①時(shí)，稱為的因式，為的倍式．②不能整除時(shí)記作：第三十七頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六③允許，此時(shí)有即區(qū)別：零多項(xiàng)式整除零多項(xiàng)式，有意義．除數(shù)為零，無意義．④當(dāng)時(shí)，如果則除所得的商可表成第三十八頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六定理1

2．整除的判定第三十九頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六3．整除的性質(zhì)1)對(duì)

有

對(duì)

有

即，任一多項(xiàng)式整除它自身；零多項(xiàng)式能被任一多項(xiàng)式整除；零次多項(xiàng)式整除任一多項(xiàng)式．時(shí)，與有相同的因式和倍式．2)

若，則第四十頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六3)

若則

證：

若

則

使得

使得

若

則

第四十一頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六皆為非空常數(shù)．4)若

（整除關(guān)系的傳遞性）成立．

故有

第四十二頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六5)若

則對(duì)

有

注：反之不然．如

但

第四十三頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六6)整除不變性：兩多項(xiàng)式的整除關(guān)系不因系數(shù)域的擴(kuò)大而改變．

例3．求實(shí)數(shù)滿足什么條件時(shí)多項(xiàng)式整除多項(xiàng)式第四十四頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六附：整數(shù)上的帶余除法對(duì)任意整數(shù)a、b（b≠0）都存在唯一的整數(shù)q、r，使a＝qb＋r，其中第四十五頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六作業(yè)P441.2)2.2)3.2)4.2)第四十六頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六一、公因式最大公式二、最大公因式的存在性與求法§1.4最大公因式三、互素四、多個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式第四十七頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六i)

1．公因式:若滿足:且2．最大公因式:若滿足：ii)若，且，則則稱為的最大公因式．

則稱為的公因式．一、公因式最大公因式第四十八頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六①的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式記作:注：

②，是與零多項(xiàng)式0的最大公因式．③兩個(gè)零多項(xiàng)式的最大公因式為0．

④最大公因式不是唯一的，但首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式是唯一的.若為的最大公因式，則，c為非零常數(shù)．

若不全為零，則第四十九頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六二、最大公因式的存在性與求法若等式成立，則與有相同的公因式,從而．

引理：第五十頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六定理2對(duì)，在中存在一個(gè)最大公因式，且可表成的一個(gè)組合，即，使．

第五十一頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六若有一為0，如，則就是一個(gè)最大公因式．且

考慮一般情形：

用除得：

其中或.

若，用除，得：

證：第五十二頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六若，用除，得

如此輾轉(zhuǎn)下去，顯然，所得余式的次數(shù)不斷降低，因此，有限次后，必然有余式為0．設(shè)其中或．

即

于是我們有一串等式

第五十三頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六第五十四頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六從而有再由上面倒數(shù)第二個(gè)式子開始往回迭代，逐個(gè)消去再并項(xiàng)就得到第五十五頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六說明:①定理２中用來求最大公因式的方法，通常稱為輾轉(zhuǎn)相除法．②定理２中最大公因式中的不唯一.③對(duì)于，使,但是未必是的最大公因式.

第五十六頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六如:

，則

取，有

取，也有

取,也有

成立．事實(shí)上,若則對(duì)，第五十七頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六④若，且則為的最公因式．設(shè)為的任一公因式，則證：從而即∴為的最大公因式．

第五十八頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六例1求，并求使

第五十九頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六解:

且由

得

第六十頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六例2.設(shè)

求，并求使

第六十一頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六因式，即就可以)，這是因?yàn)楹途哂型耆嗤娜魞H求，為了避免輾轉(zhuǎn)相除時(shí)出現(xiàn)注:分?jǐn)?shù)運(yùn)算，可用一個(gè)數(shù)乘以除式或被除式(從一開始為非零常數(shù)．第六十二頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六則稱為互素的(或互質(zhì)的)．1．定義:三、互素若互素

除去零次多項(xiàng)式外無說明:由定義，其它公因式．

第六十三頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六定理3

互素

，使

2．互素的判定與性質(zhì)證：顯然．設(shè)為的任一公因式，則從而又故第六十四頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六定理4若，且，則證：使于是有又第六十五頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六推論若

，且又，則證:，使于是，使而由定理4有從而第六十六頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六若滿足:

定義i)

則稱為的最大公因式．

ii)若則四、多個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式第六十七頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六注：

表示首1最大公因式．②，使

③

的最大公因式一定存在．④互素使第六十八頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六附:最小公倍式設(shè)，若i)ii)對(duì)的任一公倍式，都有則稱為的最小公倍式．注:的首項(xiàng)系數(shù)為1的最小公倍式記作:第六十九頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六一、不可約多項(xiàng)式二、因式分解及唯一性定理§1.5因式分解定理第七十頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六因式分解與多項(xiàng)式系數(shù)所在數(shù)域有關(guān)如：（在有理數(shù)域上）問題的引入（在實(shí)數(shù)域上）（在復(fù)數(shù)域上）第七十一頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六設(shè)，且，若不能表示成數(shù)域P上兩個(gè)次數(shù)比低的多項(xiàng)式的

定義：乘積，則稱為數(shù)域P上的不可約多項(xiàng)式.說明：①一個(gè)多項(xiàng)式是否不可約依賴于系數(shù)域.

②一次多項(xiàng)式總是不可約多項(xiàng)式.

一、不可約多項(xiàng)式第七十二頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六③多項(xiàng)式不可約的因式只有非零常數(shù)及其自身的非零常數(shù)倍.或

④多項(xiàng)式不可約，對(duì)有證：設(shè)則

或即或第七十三頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六不可約.，若

則或

證：若結(jié)論成立.若不整除，則

定理5：不可約，

則必有某個(gè)使得

推論：第七十四頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六若，則可唯一地分解成數(shù)域P上一些不可約多項(xiàng)式的乘積.

所謂唯一性是說，若有兩個(gè)分解式

1.定理：則，且適當(dāng)排列因式的次序后，有

其中是一些非零常數(shù)．

二、因式分解及唯一性定理第七十五頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六證：對(duì)的次數(shù)作數(shù)學(xué)歸納.

時(shí)，結(jié)論成立．下證

的情形.設(shè)對(duì)次數(shù)低于n的多項(xiàng)式結(jié)論成立．（一次多項(xiàng)式都不可約）

若是不可約多項(xiàng)式.

若不是不可約多項(xiàng)式，則存在

且使

結(jié)論顯然成立．由歸納假設(shè)皆可分解成不可約多項(xiàng)式的積.

第七十六頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六再證唯一性.⑴可分解為一些不可約多項(xiàng)式的積.都是不可約設(shè)有兩個(gè)分解式多項(xiàng)式.對(duì)作歸納法．

若則必有

第七十七頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六假設(shè)不可約多項(xiàng)式個(gè)數(shù)為時(shí)唯一性已證.

由(１)不妨設(shè)則

使得

(1)兩邊消去由歸納假設(shè)有

即得第七十八頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六總可表成

對(duì)其中為的首項(xiàng)系數(shù)，為互不相同的，

首項(xiàng)系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式，的標(biāo)準(zhǔn)分解式.稱之為2.標(biāo)準(zhǔn)分解式：第七十九頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六說明①若已知兩個(gè)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式,則可直接寫出就是那些同時(shí)在的標(biāo)準(zhǔn)分解式中出現(xiàn)的不可約多項(xiàng)式方冪的乘積，所帶方冪指數(shù)等于它在中所帶的方冪指數(shù)中較小的一個(gè)．第八十頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六例如，若的標(biāo)準(zhǔn)分解式分別為則有第八十一頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六②雖然因式分解定理在理論有其基本重要性，但并未給出一個(gè)具體的分解多項(xiàng)式的方法．實(shí)際上，對(duì)于一般的情形普通可行的分解多項(xiàng)式的方法是不存在的．而且在有理數(shù)域上，多項(xiàng)式的可約性的判定都是非常復(fù)雜的．第八十二頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六一、k重因式二、重因式的判別和求法§1.6重因式第八十三頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六一、k重因式設(shè)

為數(shù)域P的不可約多項(xiàng)式，

則稱為的重因式.若>1,則稱為的重因式.（若=0，不是的因式)

若，但

定義若＝1,則稱為的單因式.第八十四頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六1.

若

的標(biāo)準(zhǔn)分解式為：

則

為的重因式.

時(shí)，為單因式;時(shí),

為重因式.二、重因式的判別和求法第八十五頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六2.

定理6

若不可約多項(xiàng)式是的重因式證:假設(shè)

可分解為其中則它是的微商的重因式.第八十六頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六令是的重因式且,為

的

重因式，但未必是的重因式.

注意定理6的逆命題不成立，即第八十七頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六推論1若不可約多項(xiàng)式

是

的

重因式則

是

的因式，但不是

的因式.推論2不可約多項(xiàng)式

是

的重因式

是

與

的公因式.

第八十八頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六推論3推論4多項(xiàng)式?jīng)]有重因式，若

其中

為不可約多項(xiàng)式，

則

為

的

重因式.

第八十九頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六根據(jù)推論3、4可用輾轉(zhuǎn)相除法，求出說明來判別

是否有重因式．若有重因式，還可由的結(jié)果寫出來.

例1.

判別多項(xiàng)式有無重因式.第九十頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六推論5注:不可約多項(xiàng)式

為

的

重因式

為的

重因式.

與

有完全相同的不可約因式，且的因式皆為單因式.第九十一頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六一、多項(xiàng)式函數(shù)與根二、多項(xiàng)式函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)§1.7多項(xiàng)式函數(shù)第九十二頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六一、多項(xiàng)式函數(shù)與根1.多項(xiàng)式函數(shù)設(shè)數(shù)

將的表示式里的用代替，得到P中的數(shù)稱為當(dāng)時(shí)的值，記作這樣，對(duì)P中的每一個(gè)數(shù)，由多項(xiàng)式確定P中唯一的一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，于是稱為P上的一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)．第九十三頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六若多項(xiàng)式函數(shù)在處的值為0，即

則稱為的一個(gè)根或零點(diǎn)．

2.多項(xiàng)式函數(shù)的根(或零點(diǎn))易知，若則，第九十四頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六（余數(shù)定理）：用一次多項(xiàng)式去除多項(xiàng)式

所得余式是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)等于函數(shù)值

二、多項(xiàng)式函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)1.

定理7

是的根

推論:第九十五頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六

例1求在處的函數(shù)值.法一：把代入求

用去除所得余數(shù)就是

法二：答案：第九十六頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六若是的重因式，則稱為

的重根.當(dāng)時(shí)，稱為的單根．

當(dāng)時(shí)，稱為的重根．

2.多項(xiàng)式函數(shù)的k重根定義第九十七頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六注：

①是的重根是的重因式．

②有重根必有重因式．反之不然，即有重因式未必有重根．例如，為的重因式，但在R上沒有根．第九十八頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六3.

定理8(根的個(gè)數(shù)定理)任一中的次多項(xiàng)式在中的根

不可能多于個(gè)，重根按重?cái)?shù)計(jì)算．

4.

定理9且

若有使

則

第九十九頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六證：設(shè)

若即時(shí)，由因式分解及唯一性定理，可分解成不可約多項(xiàng)式的乘積，由推論，的根的個(gè)數(shù)等于分解式中一次因式的個(gè)數(shù)，重根按重?cái)?shù)計(jì)算，且此數(shù)

此時(shí)對(duì)有即有0個(gè)根.定理8第一百頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六證：令則有

由定理８，若的話，則矛盾．所以，即有

個(gè)根，即定理9第一百零一頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六解：例2求t值，使有重根．第一百零二頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六若即則此時(shí)，有重根，為的三重根．若即則此時(shí)，有重根，為的二重根．第一百零三頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六例3舉例說明下面命題是不對(duì)的．

解：令則但

是的2重根，

不是的根，從而不是的3重根．

第一百零四頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六例4

若求

解：從而，1為的根．于是有，

1為

的重根，第一百零五頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六一、復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式二、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式§1.8復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解第一百零六頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六1.

代數(shù)基本定理一、復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式若則在復(fù)數(shù)域上必有一根．

推論1若則存在使即，在復(fù)數(shù)域上必有一個(gè)一次因式．第一百零七頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六推論2復(fù)數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式只有一次多項(xiàng)式，即

則可約．2.復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理若則在復(fù)數(shù)域上可唯一分解成一次因式的乘積．

第一百零八頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六推論1推論2若則在其中是不同的復(fù)數(shù)，

上具有標(biāo)準(zhǔn)分解式復(fù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）．

若，則有n個(gè)第一百零九頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六二、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式命題：若是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的復(fù)根，則的共軛復(fù)數(shù)也是的復(fù)根．

若為根，則兩邊取共軛有

∴也是為復(fù)根．

證：設(shè)第一百一十頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理，若，

則可唯一地分解成一次因式與二次不可約因式的乘積．

證：對(duì)的次數(shù)作數(shù)學(xué)歸納．①

時(shí)，結(jié)論顯然成立.

②假設(shè)對(duì)次數(shù)<n的多項(xiàng)式結(jié)論成立．設(shè)，由代數(shù)基本定理,有一復(fù)根．

若為實(shí)數(shù),

則，其中

第一百一十一頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六若不為實(shí)數(shù)，則也是的復(fù)根，于是

設(shè)，則

即在R上是

一個(gè)二次不可約多項(xiàng)式．從而

由歸納假設(shè)、可分解成一次因式與二次不可約多項(xiàng)式的乘積．由歸納原理，定理得證．

第一百一十二頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六在R上具有標(biāo)準(zhǔn)分解式推論1其中且，即為R上的不可約多項(xiàng)式.

第一百一十三頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六推論2實(shí)數(shù)域上不可約多項(xiàng)式只有一次多項(xiàng)式和某些二例1求在上與在上的標(biāo)準(zhǔn)分解式.

1)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個(gè)復(fù)根，次不可約多項(xiàng)式，所有次數(shù)≥3的多項(xiàng)式皆可約.

解：第一百一十四頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六∴

2)在實(shí)數(shù)域范圍內(nèi)這里∵

第一百一十五頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)

第一百一十六頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六一、本原多項(xiàng)式二、整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解§1.9有理系數(shù)多項(xiàng)式第一百一十七頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六問題的引入

1.由因式分解定理，作為一個(gè)特殊情形：對(duì)則可唯一分解

成不可約的有理系數(shù)多項(xiàng)式的積.但是，如何作出它的分解式卻很復(fù)雜，沒有一個(gè)一般的方法.

第一百一十八頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六2.我們知道，在上只有一次多項(xiàng)式才是不可約

多項(xiàng)式；在上，不可約多項(xiàng)式只有一次多項(xiàng)式與某些二次多項(xiàng)式；但在上有任意次數(shù)的不可約多項(xiàng)式．如

如何判斷上多項(xiàng)式的不可約性呢?

第一百一十九頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六3.有理系數(shù)多項(xiàng)式可歸結(jié)為整系數(shù)多項(xiàng)式的問題．

這是因?yàn)槿我挥欣頂?shù)可表成兩個(gè)整數(shù)的商．事實(shí)上，設(shè)

則可選取適當(dāng)整數(shù)

使為整系數(shù)多項(xiàng)式．若的各項(xiàng)系數(shù)有公因子，就可以提出來，得也即

其中是整系數(shù)多項(xiàng)式，且各項(xiàng)系數(shù)沒有異于

的公因子．

第一百二十頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六一、本原多項(xiàng)式設(shè)

定義若沒有則稱為本原多項(xiàng)式．異于的公因子，即是互素的，第一百二十一頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六有關(guān)性質(zhì)1．

使其中為本原多項(xiàng)式．（除了相差一個(gè)正負(fù)號(hào)外，這種表示法是唯一的）．2．Gauss引理定理10兩個(gè)本原多項(xiàng)式的積仍是本原多項(xiàng)式．第一百二十二頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六設(shè)

是兩個(gè)本原多項(xiàng)式．若不是本原的，則存在素?cái)?shù)證：又是本原多項(xiàng)式，所以不能整除的每一個(gè)系數(shù)．反證法．第一百二十三頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六令為中第一個(gè)不能被整除的數(shù)，即

同理，本原，令為中第一個(gè)不能被

整除的數(shù)，即

又矛盾．在這里

故是本原的．第一百二十四頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六定理11若一非零的整系數(shù)多項(xiàng)式可分解成兩個(gè)次數(shù)較低的有理系數(shù)多項(xiàng)式，則它一定可分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積．二、整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解第一百二十五頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六設(shè)整系數(shù)多項(xiàng)式有分解式其中且

證：令

這里，皆為本原多項(xiàng)式，

于是

由定理10，本原，即從而有

得證．

第一百二十六頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六設(shè)是整系數(shù)多項(xiàng)式，且是本原推論的，若則必為整系數(shù)多項(xiàng)式．

第一百二十七頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六令

本原，即

為整系數(shù)多項(xiàng)式．

證：于是有，第一百二十八頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六定理12

設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，而是它的一個(gè)有理根，其中是互素的，則必有

第一百二十九頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六是的有理根，從而

又互素，比較兩端系數(shù)，得

證：∴在有理數(shù)域上，由上推論，有本原．所以，

第一百三十頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六定理12是判斷整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的一個(gè)必要條件，而非充分條件．例1求方程的有理根.可能有理根為用綜合除法可知，只有1為根．

注意解：第一百三十一頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六例2

證明:在上不可約．

若可約，

但的有理根只可能是所以不可約．證：則至少有一個(gè)一次因式，也即有一個(gè)有理根．而

矛盾．

第一百三十二頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六定理13

艾森斯坦因Eisenstein判別法設(shè)

是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，若有一個(gè)素?cái)?shù)使得則在有理數(shù)域上是不可約的．第一百三十三頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六若在上可約，由定理11，可分解為兩次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式積

證：又不妨設(shè)但

或不能同時(shí)整除

第一百三十四頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六另一方面，假設(shè)中第一個(gè)不能被整除的數(shù)為

比較兩端的系數(shù)，得

上式中皆能被整除，

矛盾．故不可約．第一百三十五頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六例3證明：在上不可約．

證：（令即可）．(可見存在任意次數(shù)的不可約有理系數(shù)多項(xiàng)式)例4判斷（為素?cái)?shù)）在上是否可約．第一百三十六頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六令

則為整系數(shù)多項(xiàng)式．

但

解：在上不可約，從而在上不可約．即第一百三十七頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六①Eisenstein判別法是判斷不可約的充分條件，而非必要條件．注意也就是說，如果一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式不滿足Eisenstein判別法條件，則它可能是可約的，也可能是不可約的．②有些整系數(shù)多項(xiàng)式不能直接用Eisenstein判別法來判斷是其是否可約，此時(shí)可考慮用適當(dāng)?shù)拇鷵Q使?jié)M足Eisenstein判別法條件，從而來判定原多項(xiàng)式不可約．第一百三十八頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六有理系數(shù)多項(xiàng)式在有理系數(shù)上不可約命題在有理數(shù)域上不可約．多項(xiàng)式第一百三十九頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六例5證明：在上不可約．取證：作變換則在Ｑ上不可約，所以在Ｑ上不可約．由Eisenstein判別法知，第一百四十頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六對(duì)于許多上的多項(xiàng)式來說，作適當(dāng)線性代換后再用Eisenstein判別法判定它是否可約是一個(gè)較好的多項(xiàng)式無論作怎樣的代換都不能

使?jié)M足愛森斯坦因判別法的條件，

即找不到相應(yīng)的素?cái)?shù)

說明：辦法，但未必總是湊效的．也就是說，存在上的如，

第一百四十一頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六練習(xí)P為素?cái)?shù)，證明:

在Ｑ上不可約．第一百四十二頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六一、n元多項(xiàng)式的概念二、有關(guān)性質(zhì)§1.10多元多項(xiàng)式三、齊次多項(xiàng)式四、n元多項(xiàng)式函數(shù)第一百四十三頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六一、n元多項(xiàng)式概念設(shè)為一個(gè)數(shù)域，是個(gè)文字,形式

1.n元多項(xiàng)式時(shí)，稱此單項(xiàng)式中各文字的指數(shù)之和稱為數(shù)域上的一個(gè)單項(xiàng)式；為這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)；

第一百四十四頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六有限個(gè)單項(xiàng)式的和n元多項(xiàng)式中系數(shù)不為零的單項(xiàng)式的最高次數(shù)稱稱為數(shù)域上的一個(gè)元多項(xiàng)式；為這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)．如果兩單項(xiàng)式中相同文字的指數(shù)對(duì)應(yīng)相等，則稱它們?yōu)橥愴?xiàng)；第一百四十五頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六的集合稱為數(shù)域上的元多項(xiàng)式環(huán)，記作

4.n元多項(xiàng)式環(huán)數(shù)域上關(guān)于文字的全體元多項(xiàng)式加法減法乘法2.n元多項(xiàng)式的運(yùn)算3.n元多項(xiàng)式的相等第一百四十六頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六中的兩個(gè)單項(xiàng)式任取n元多項(xiàng)式5.n元多項(xiàng)式的字典排列法若有某個(gè)使（1）第一百四十七頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六（此時(shí)也稱數(shù)組先于記作

則在多項(xiàng)式（1）中，把單項(xiàng)式寫在

的前面．

將n元多項(xiàng)式中各單項(xiàng)式按當(dāng)n＝1時(shí)，字典排列法即為降冪排列法．

這種先后次序排列的方法稱為字典排列法．

按字典排列法寫出的第一個(gè)系數(shù)不為零的單項(xiàng)式稱為多項(xiàng)式的首項(xiàng)．

第一百四十八頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六注意：例如，

的次數(shù)為5，首項(xiàng)為

多元多項(xiàng)式的首項(xiàng)未是最高次項(xiàng)．

第一百四十九頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六定理14當(dāng)時(shí),積的首項(xiàng)等于

的首項(xiàng)與的首項(xiàng)的積．

推論1若則積

的首項(xiàng)等于的首項(xiàng)的積．二、有關(guān)性質(zhì)推論2若則

第一百五十頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六若多項(xiàng)式

為m次齊次多項(xiàng)式．

中每個(gè)單項(xiàng)式全是m次的，則稱

三、齊次多項(xiàng)式定義第一百五十一頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六1．兩個(gè)齊次多項(xiàng)式的積仍然是齊次多項(xiàng)式；

積的次數(shù)等于這兩個(gè)齊次多項(xiàng)式的次數(shù)之和．

2．任一次多項(xiàng)式都可唯一地表成其中是次齊次多項(xiàng)式，稱之為

的次齊次成分．性質(zhì)第一百五十二頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六特別地，

4．積的次數(shù)＝因子的次數(shù)之和．3．設(shè)

的

次齊次成分為

則積第一百五十三頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六四、n元多項(xiàng)式函數(shù)與一元多項(xiàng)式一樣我們可以定義n元多項(xiàng)式函數(shù)、

函數(shù)值等概念．第一百五十四頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六一、一元多項(xiàng)式根與系數(shù)的關(guān)系二、n元對(duì)稱多項(xiàng)式§1.11對(duì)稱多項(xiàng)式三、一元多項(xiàng)式的判別式第一百五十五頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六——韋達(dá)定理設(shè)①

若在上有個(gè)根，則②把②展開，與①比較，即得根與系數(shù)的關(guān)系：一、一元多項(xiàng)式根與系數(shù)的關(guān)系第一百五十六頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六（所有可能的i個(gè)不同的的積之和），特別地，為其根，則有第一百五十七頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六二、n元對(duì)稱多項(xiàng)式定義設(shè)，若對(duì)任意，有則稱該多項(xiàng)式為對(duì)稱多項(xiàng)式．

如，第一百五十八頁，共一百七十五頁，編輯于2023年，星期六下列n個(gè)多項(xiàng)式稱為個(gè)未定元的初等對(duì)稱多項(xiàng)式．第一百五十九頁，共一百七十五頁，編輯于2