高中數(shù)學直接證明與間接證明

高中數(shù)學直接證明與間接證明第一頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六1．直接證明內(nèi)容綜合法分析法定義利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的___________，最后推導出所要證明的結(jié)論_______從要_____________出發(fā)，逐步尋求使它成立的____________，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件推理論證成立證明的結(jié)論充分條件第二頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六第三頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六2.間接證明反證法：假設原命題

___________(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出_______．因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．不成立矛盾第四頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六1．綜合法和分析法的區(qū)別和聯(lián)系是什么？【提示】

綜合法的特點是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是尋找它的必要條件．分析法的特點：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”．其逐步推理實際上是尋求它的充分條件．在解決問題時，經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用．第五頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六2．反證法的關(guān)鍵是推出矛盾，所謂矛盾主要是指什么？【提示】

反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等．

第六頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六1．(人教A版教材習題改編)用反證法證明命題“三角形三個內(nèi)角至少有一個不大于60°”時，應假設(

)A．三個內(nèi)角都不大于60°B．三個內(nèi)角都大于60°C．三個內(nèi)角至多有一個大于60°D．三個內(nèi)角至多有兩個大于60°【答案】

B第七頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六【答案】

C第八頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六【答案】

D第九頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六【答案】

－b第十頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六5．定義一種運算“*”：對于自然數(shù)n滿足以下運算性質(zhì)：①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，則n*1＝________．【解析】

由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1＋(n－1)＝1＋n－1＝n.【答案】

n第十一頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六

定義在x∈[0，1]上的函數(shù)f(x)．若x1≥0，x2≥0且x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù)．g(x)＝2x－1(x∈[0，1])是否為理想函數(shù)，如果是，請予證明；如果不是，請說明理由．【思路點撥】

根據(jù)理想函數(shù)的定義加以判定證明．第十二頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六【嘗試解答】

g(x)＝2x－1(x∈[0，1])是理想函數(shù)．當x1≥0，x2≥0，且x1＋x2≤1時，f(x1＋x2)＝2x1＋x2－1，f(x1)＋f(x2)＝2x1＋2x2－2，∴f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1＝2x1(2x2－1)－(2x2－1)＝(2x2－1)(2x1－1)，∵x1≥0，x2≥0，第十三頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六∴2x1－1≥0，2x2－1≥0，∴f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]≥0，則f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)．故函數(shù)g(x)＝2x－1(x∈[0，1])是理想函數(shù)．

第十四頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六1．綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，它是一種從已知到未知(從題設到結(jié)論)的邏輯推理方法，即從題設中的已知條件或已證的真實判斷(命題)出發(fā)，經(jīng)過一系列的中間推理，最后導出所要求證結(jié)論的真實性．2．綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理．第十五頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六(2012·湖南高考改編)已知函數(shù)f(x)＝rx－xr＋(1－r)，其中x＞0，r為有理數(shù)．(1)若0＜r＜1，求函數(shù)f(x)的最小值．(2)試用(1)的結(jié)論證明命題：設a1＞0，a2＞0，b1，b2為正有理數(shù)，若b1＋b2＝1，則a1b1·a2b2≤a1b1＋a2b2.【解】

(1)f′(x)＝r－rxr－1＝r(1－xr－1)，令f′(x)＝0，得x＝1，第十六頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六第十七頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六【思路點撥】

從條件難以向結(jié)論轉(zhuǎn)化．轉(zhuǎn)換角度從結(jié)論出發(fā)，尋找使結(jié)論成立的充分條件．第十八頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六第十九頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六1．對于無理不等式，常用分析法證明．通過反推，逐步尋找結(jié)論成立的充分條件，正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵．2．對于較復雜的不等式，通常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法加以證明，分析法的特點是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，優(yōu)點是利于思考，因為它的方向明確，思路自然，而綜合法的優(yōu)點是易于表述，條理清晰，形式簡潔．第二十頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六【證明】

∵m＞0，∴1＋m＞0，所以要證原不等式成立，只需證明，(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即證m(a2－2ab＋b2)≥0，即證(a－b)2≥0，第二十一頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六而(a－b)2≥0顯然成立，故原不等式得證.第二十二頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六 (2011·安徽高考)設直線l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中實數(shù)k1，k2滿足k1k2＋2＝0.(1)證明：l1與l2相交；(2)證明：l1與l2的交點在橢圓2x2＋y2＝1上．【思路點撥】

第(1)問采用反證法；(2)求直線l1與l2的交點坐標，代入橢圓方程驗證．第二十三頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六第二十四頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六第二十五頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六1．當一個命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，直用反證法來證，反證法關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實矛盾等．2．用反證法證明不等式要把握三點：(1)必須否定結(jié)論；(2)必須從否定結(jié)論進行推理；(3)推導出的矛盾必須是明顯的．第二十六頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋Sn＝2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求證：數(shù)列{an}中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列．第二十七頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六第二十八頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六綜合法與分析法的關(guān)系：分析法與綜合法相輔相成，對較復雜的問題，常常先從結(jié)論進行分析，尋求結(jié)論與條件的關(guān)系，找到解題思路，再運用綜合法證明；或兩種方法交叉使用．第二十九頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六1.用分析法證明數(shù)學問題時，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)…”“即要證…”“就要證…”等分析到一個明顯成立的結(jié)論．2．利用反證法證明數(shù)學問題時，要假設結(jié)論錯誤，并用假設命題進行推理，沒有用假設命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過程是錯誤的．第三十頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六反證法證明的關(guān)鍵：(1)準確反設；(2)從否定的結(jié)論正確推理；(3)得出矛盾．第三十一頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六從近兩年高考試題看，綜合法、分析法是高考考查的熱點，主要考查考生的觀察、抽象概括、聯(lián)想等思維能力，同時也考查考生運用綜合——分析法分析問題、解決問題的能力．多在知識的交匯處命題，如數(shù)列、立體幾何中的平行垂直、不等式、函數(shù)、解析幾何等都可能考查．在具體求解時，應注意運用轉(zhuǎn)化與化歸思想尋求解題思路．第三十二頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六【解析】

①中，a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1，a，b為正實數(shù)，若a－b≥1，則必有a＋b>1，不合題意，故①正確．第三十三頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六【答案】

①④第三十四頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六易錯提示：(1)解題時不注意分析題目中條件與結(jié)論的差異之處，不能化異為同，從而導致無從下手或無的放矢．(2)忽視命題真假不定，而一味地證明其為真，導致事倍功半，甚至出現(xiàn)錯誤．第三十五頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六防范措施：(1)注意培養(yǎng)觀察能力，即觀察條件、結(jié)論，且能從數(shù)學的角度揭示其差異，如“高次?低次”、“分式(根式)?整式”、“多元?一元”等，從而為我們的化歸轉(zhuǎn)化指明方向，奠定基礎(chǔ)．(2)注意這類判斷命題真假的題目，其解法上既要規(guī)范，又要靈活．當判斷為真時，需嚴格地推理證明；而判斷為假時，只需舉一反例即可．第三十六頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六1．(2012·江西高考改編)下列命題中，假命題為(

)A．存在四邊相等的四邊形不是正方形B．z1，z2∈C，z1＋z2為實數(shù)的充分必要條件是z1，z2互為共軛復數(shù)C．若x，y∈R，且x＋y>2，則x，y至少有一個大于1D．對于任意n∈N*，C＋C＋…＋C都是偶數(shù)第三十七頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期六