向量的概念 省賽獲獎

2.1.1向量的概念唉,哪兒去了?嘻嘻!大笨貓!AB一、位移的概念

在物理學(xué)中，一個質(zhì)點從點A運(yùn)動到點A′，這時點A′相對于點A的是“北偏東30°,3個單位”。如果我們不考慮質(zhì)點運(yùn)動的路線，只考慮點A′相對于點A的“方向”和“直線距離”，這時，我們就說，質(zhì)點在平面上作了一次位移，“直線距離”叫做位移距離。A′A30°位移被“方向”和“距離”唯一確定。位移只表示質(zhì)點位置的變化，起、終點間位置關(guān)系，而與質(zhì)點實際運(yùn)動的路線無關(guān)。從兩個不同點出發(fā)的位移，只要方向相同，距離相等，我們都把它們看成相同的位移或相等的位移。一個質(zhì)點從點B運(yùn)動到點B′，如果點B′相對于點B的位置也是“北偏東30°,3個單位”，這時我們就說這個位移與點A到點A′的位移相等。A′A30°BB′1二、向量的概念1.概念：具有大小和方向的量叫做向量。注有些向量不僅有大小和方向，而且還有作用點。例如，力就是既有大小和方向，又有作用點的向量。有些量只有大小和方向，而無特定的位置。例如，位移、速度。通常把后一類向量叫做自由向量。以后我們說到的向量，如無特別說明，指的都是自由向量。如果兩個向量大小和方向都相同，則說這兩個向量相等。2.向量的表示方法從點A位移到點B，用線段AB的長度表示位移的距離，在點B處畫上箭頭表示位移的方向，這時我們說線段AB具有從A到B的方向。具有方向的線段叫做有向線段。點A叫做有向線段的始點，點B叫做有向線段的終點。

有向線段就是向量的直觀形象。有向線段的方向表示向量的方向，線段的長度表示位移的距離，位移的距離叫做向量的長度。始點終點AB以點A為始點，以B為終點的有向線段記作AB。應(yīng)注意，始點一定寫在終點的前面?！绻邢蚓€段AB表示一個向量，通常我們就說向量AB→→→→向量通常在印刷時，用黑體小寫字母a,b,c…表示向量，手寫時，可寫成帶箭頭的小寫字母a,b,c…→1

幾何表示法：

有向線段AB（起點、方向、長度）

a，b2

字母表示法：AB→B（終點）A（起點）由于我們所研究的向量只含有大小和方向兩個要素，用有向線段表示向量時，與它的始點的位置無關(guān)，即：同向且等長的有向線段表示同一向量，或相等的向量。有向線段AA′,BB′,CC′…表示同一向量a,這時可記作→→→→→→→→AA′=BB′=CC′=…=a→a→a→a→a→aAA′BCDB′C′D′相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。記作：a=b規(guī)定：0=0

abo.b

a3.向量的有關(guān)概念（1）.向量的長度（模）：|a||AB|或記作兩個向量a和b同向且模相等，即a和b相等，記作a=b.→→→→→→向量AB的大小也就是向量的長度（模）。兩個向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小。注（2）.向量共線或平行通過有向線段AB的直線，叫做向量AB的基線。如果向量的基線互相平行或重合，則稱這些向量共線或平行。共線向量的方向相同或相反。向量a平行于b，記作a∥b→

→

→

→

→

→

→

a→

b→

cABAB問：把一組平行于直線l的向量的起點平移到直線l上的一點O，這時它們是不是平行向量？各向量的終點與直線l之間有什么關(guān)系？COC=cAOA=aOB=bBlol.（3）．兩個特殊向量：零向量---長度(模)為0的向量叫做零向量，零向量的方向不確定。在處理平行問題是，通常規(guī)定零向量與任意向量平行。記作0單位向量---長度（模）等于1個單位長度的向量叫作單位向量。問：在平面上把所有單位向量的起點平移到同一點P，那么它們的終點的集合組成什么圖形？

P思考與討論在四邊形ABCD中，如果AB=CD，那么四邊形ABCD是平行四邊形嗎？如果四邊形ABCD是平行四邊形，那么AB=CD嗎？ABCD→→→→11個例1．如圖設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，寫出圖中

與向量OA、OB、OC相等的向量。OA=DO=CB變式一：與向量OA長度相等的向量

有多少個？變式二：是否存在與向量OA長度相等，方向

相反的向量？

存在，為FECB、DO、FE變式三：與向量OA長度相等的共線向量有哪些？三、用向量表示點的位置任給一定點O和向量a，過點O作有向線段OA=a，則點A相對于點O的位置被向量a所唯一確定，這時向量OA，又常叫作點A相對于點O的位置向量?！骸疤旖蛭挥诒本〇|偏南50°，