2023中考數(shù)學重難點練習01平面直角坐標系中面積問題（學生版、解析版）

專題01平面直角坐標系中面積問題

一、【知識回顧】

（1）各象限點的特征:

第一象限（+,+）:

第二象限（一，+）:

第三象限（一，一）:

第四象限（+,一）.

（2）特殊位置點的特征：

若點P在x軸上，則生Q：

若點P在y軸上，則擊0：

若點/，在一、三象眼角平分線匕則”：

若點/，在二、四象限角平分線上,則

（3）坐標的對稱點特征

點/，（",b）X于x軸的對稱點「（必一b）

點/Ta,b）關于y軸的對稱點?（一〃，〃）

點P（a,b）關于原點的對稱點右（一a,—b）

注：誰對稱誰不變，另一個五.為相反數(shù)：原點對稱橫縱坐標都無為相反數(shù)

（4）點/?（a,b）、點,.//（c,（f）坐標關系變化

①點P到y(tǒng)軸的距離為時，到y(tǒng)軸的距離為.到原點的距離為+/J

②將點夕沿水平方向平移m（///>?）個單位后坐標變化情況為：

點夕沿水平向右方向平移"3力0）個單位后坐標為（加見〃）；

點0沿水平向左方向平移仍（〃>0）個單位后坐標為（小如〃）；

③將點，沿豎直方向平移〃（〃〉0）個單位后坐標變化情況為：

點〃沿豎直方向向上平移〃（〃>0）個單位后坐標為（a,6"）；

點，沿豎直方向向F平移"</;>0）個單位后坐標為<hb-n).

④若直線掰平行x軸，則爐〃；若直線⑶平行y軸，則京c?:

⑤點P到點”的距離：〃生，（“-C）2+（〃-"）2（勾股定理）

⑥線段所勺中點坐標：（華號）

二、【考點類型】

考點1.三角形的一邊平行于坐標軸或在坐標軸上

典例1：如圖，在平面直用坐標系中，0是坐標原點，矩形OA8C的兩邊分別在八軸和，軸上，點8的坐標

為(12.8),現(xiàn)有兩動點A。，點P以每秒3個單位的速度從點。出發(fā)向終點,4運動，同時點。以每秒2個

單位的速度從點/I出發(fā)向終點4運動，連接PC,PQ,CQ.設運動時間為t秒(/>()).

⑴點尸的坐標為，點。的坐標為(用含t的代數(shù)式表示)：

(2)請判斷四邊形APCQ的面積是否會隨時間/的變化而變化，并說明理由:

(3)若以力，P,。為頂點的三角形與。6相似時，請電接寫出《的值.

【變式1】如圖.在平面直角坐標系中，一次函數(shù))戶r+2的圖象與x軸，，軸分別交于點兒6,y,=-1v+b

的圖象與x軸，尸軸分別交于點〃，E，且兩個函數(shù)圖象相交于點C(〃;,5).

⑵求aACD的面枳；

(3)在線段上是否存在一點弘使得的面枳與四邊形8WQC的面積比為4:21?若存在，請求出點

”的坐標：若不存在，請說明理由.

(4)點。在線段AC上，連接CP,若△ACP是直角三用形，請直接寫出所有符合條件的點，坐標.

【變式2】7.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（CM），點B是x軸正半軸上一點，以AB為邊作

等腰直角三角形ABC,使/BAC=90。，點C在第一級限.若點C在函數(shù)），=」（心＞0）的圖象上，則ABC的

x

A.I.B.2.C..D.3.

【變式3】10.如圖，在平面直角坐標系中，直線1,的解析式為y=-x,直線k與I,交于B（a,-a）,與

y軸交于點A（0,b）.其中a、b滿足（a+2）斗而二=0,那么，下列說法：

（1）B點坐標是（-2,2）：

（2）三角形AB,的面積是3：

（13）^&onc:SjoR—2：］：

（4）當P的坐標是（-2,5）時，那么，SABL&W正確的個數(shù)是（）

C.3個D.4個

考點2：三角形的邊都不平行于坐標軸或都不在在坐標軸上（鉛卷法）

典例2：如圖，在平面直用坐標系中，點人（4,1）,點8（柩-2）在反比例函數(shù)「=￡的圖象上.

x

B

(1)求反比例函數(shù)的表達式:

(2)求,/。8的面積：

(3)在反比例函數(shù)￥=2圖象上是否存在點A使aA3,的面積是.AQ/3面積的2倍.若存在，求點夕的坐標;

若不存在，請說明理由.

【變式1】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線),=/+阮_6(〃工0)與』,軸交于點48與尸軸交于點C,

連接AC,08=2,對稱軸為直線x=-2.

(D求拋物線的解析式:

(2)點。是第三象限內拋物線上的動點，連接人”和C7),求AACO面積的最大值.

【變式2】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線）=加+/*-4與x軸交于A（-L0）,8（4,0）兩點，與y

軸交于點C.

⑴求拋物線的解析式;

⑵如圖1,連接8C,點〃為8c下方拋物線上一動點，連接8只CP,當0PBe的面枳最大時，請求出〃

點的坐標和,PBC的面積最大值；

（3）如圖2,點N為線段OC上一點，連接AN,求4N+；CN的量小值.

【變式3】27.如圖，在平面直角坐標系中，菱形A8C。的頂點C與原點。理合，點8在），軸的正半軸上,

點A在反比例函數(shù)「=3K>0,x>0）的圖象上，點D的坐標為（4,3）.

（1）求反比例函數(shù)的關系式：

（2）設點M在反比例函數(shù)的圖象0>?）上，連接M4、MD,若&例。的面積是菱形48CO面積的求點

M的坐標.

鞏固訓練

一、單選題

1.如圖，己知三角形如圖所示放置在平面直角坐標系中，其中。（-4,4）.則三角形力8c的面積是（）

A.4B.6C.8D.12

2.在平面直角坐標系人中，直線＞=-21+4與坐標軸所圍成的三角形的面積等于（）

2B.4C.6D.8

3.在。為原點的平面直角坐標系中，位于笫一象限的點加（3〃-8,。-1）到.1?軸的距離是3：點”與該坐標

系中另一點連接而成的線段MN〃.丫軸，且三角形OMZ的面積為10,則〃的值為（）

A.-2B.-1或9C.8D.D或8

4.在平面直角坐標系中有點力（0,?2）和點8（3,0）,過點“作與尸軸平行的直線，點。是直線上一點,

若三角形48。的面積為6,則點C的坐標為（)

A.(3,4)或(3,-4)B.C.(3,4)D.(3,4)或(3-4)

5.在平面直角坐標系中，。是坐標原點，點M,N的坐標分別為（4,0）和（出。+1）,且三角形OMN的

面積是8,則〃的值為（）

3或-5B.±4C.3D.-5

6.點4、8是平面直角坐標系中工軸上的兩點，且48=2,有一點/與A3構成三角形，若公248的面積為

3,則點P的縱坐標為（)

3B.3或-3C.2D.2或一2

7.在平面直角坐標系中,。為原點，直線刈=丘+。交V軸于B（0,5）,交x軸于A,且三角形AOB的面積

為10,則k=()

5c5「5

A.1B.C.-2或-4D-

4

8.如圖，在平面直角坐標系中，點8在函數(shù)F=x圖象上，點月在x軸的正半軸上，等腰直角三角形8CO

的頂點C在/18上，點。在函數(shù)了=與第一象限的圖象上若AOM與ABCD面積的差為2,則人的值為（）

9.在平面直角坐標系xQi，中，點4（-2,0）,點8（0,3）,點C：在坐標軸上，若三角形為8c的面枳為6,

則符合題意的點。有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

10.如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，/點坐標（6,-0）,8點坐標（3,-3）,動點/，從4點出

發(fā)，沿?'軸正方向運動，連接8P,以8/＞為直角邊向下作等腰直為三角形BPC.^PBC=9O,連接。C,

11.如圖，在平面直角坐標系內，以點/'（3、3）為圓心，5為半徑作[0],則該圓與*軸分別交于點A8,則三

角形%B的面積為

12.如圖，在平面直向坐標系中，直線產'+2交x軸于點兒交了軸于點小，若圖中陰影部分的三角形都是

等腰直用三角形，則從左往右第2017個陰影三角形的面積是

13.如圖，花平面直角坐標系中，點力＜-1.0),B(2,0),C(0,2),點。在坐標軸上，若三角形8C0

的面積與三用形/18C的面積相等且點D不與點力重合，則點。的坐標為

AOBx*

14.在平面直角坐標系中，有熊A(2,4),點8(0,2),若在坐標軸上有一點C(不與點8重合)，使三

角形AOC和三角形AOB面積相等，則點C的坐標為

15.已知平面直.為坐標系內，點A的坐標為(2,0),點8的坐標為(0,3),以八8為斜邊作等腰直角三角

形八8C,點C落在第二象限，則點C的坐標為,三角形八8c的面積為

Ax

16.平面直珀坐標系中，己知A(8,0),AAOP為等腰三角形，且AAOP的面枳為16,則滿足條件的P點

個數(shù)是

17.在平面直角坐標系中，已知人(-〃,3〃+2),Zi(2?-3,?+2),C?L3,〃-2)三個點，下列四個命題:

①若48、軸，則a=2;

②若48〃),軸，則〃=1；

③若。=1,則A,B,C三點在同一條宜線上：

④若。>1,三角形人8c的面枳等于8,則點C的坐標為

其中真命題有.(填序號)

18.在平面直殆坐標系中，。為原點，直線戶外+相交x軸于4(-3,0),交)，軸于8,且三角形408的面

積為6,則上

三、解答題

19.如圖，在平面直角坐標系中，直線尸"3與x軸，),軸分別交于點48,與反比例函數(shù)［?=4(AH()

x

且,v>0)的圖象在第一象限交于點C,若AB=BC.

(1)求A的值:

⑵已知點。是x釉上的一點，若△PAC的面積為24,求點P的坐標.

20.如圖，在平面直角坐標系中，A8c各頂點的坐標分別是八(48),8(4,4),C(］，,4),與048c關

于原點O位似，48C的對應點分別為A.8「G,其中用的坐標是(2.2).

(1)ZSA8￡和ABC的相似比是：

⑵請畫出△A8C:

(3)8c邊上有一點M(a,b),在B,C,邊上與點M對應點的坐標是

(4)/\48￡的面枳是

21.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-f+厲，+8與X軸交于點/，B,與y軸交于點C,直線.V=XT

過點8,與丁軸交于點/)，點C與點。關于x軸對稱.點戶是線段08上一動點，過點P作.t■軸的垂線交拋

物線于點M,交直線8。于點N.

⑴求拋物線的解析式；

⑵當△MDB的面積最大時，求點P的坐標：

⑶在(2)的條件F，在T軸上是否存在點0,使得以0,M,N,。為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在,

求出點。的坐標：若不存在；說明理由

22.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線尸元+旅-3與K軸交于A（T,0）,3（3.0）兩點，與y軸交于點C.

（1）求拋物線的解析式:

⑵已知點。（0,-1）,點P為線段8c上一動點，連接。P弁延長交拋物線于點H,連結8H,當四邊形OOH8

的面積為:時，求點H的坐標；

⑶已知點E為、軸上一動點，點。為第二象限拋物線上一動點，以CQ為斜邊作等腰直角三角形CEQ,請

直接寫出點￡的坐標.

23.如圖，一次函數(shù)(h0)的圖象與反比例函數(shù)力='(/?*0)的圖象交于二、四象限內的/、B

x

兩點，點/的坐標為(-2,3),點8的坐標為(6,").

(1)則，"=,n=；

⑵若山＞)2時，則,V的取性范圍是一；

⑶過點8作8C0)?軸于C點，連接4C,過點C作CZ)(加8于點。，求線段CO的長.

專題01平面直角坐標系中面積問題

一、【知識回顧】

（1）各象限點的特征:

第一象限（+,+）:

第二象限（一，+）:

第三象限（一，一）:

第四象限（+,一）.

（2）特殊位置點的特征：

若點P在x軸上，則生Q：

若點P在y軸上，則擊0：

若點/，在一、三象眼角平分線匕則”：

若點/，在二、四象限角平分線上,則

（3）坐標的對稱點特征

點/，（",b）X于x軸的對稱點「（必一b）

點/Ta,b）關于y軸的對稱點?（一〃，〃）

點P（a,b）關于原點的對稱點右（一a,—b）

注：誰對稱誰不變，另一個五.為相反數(shù)：原點對稱橫縱坐標都無為相反數(shù)

（4）點/?（a,b）、點,.//（c,（f）坐標關系變化

①點P到y(tǒng)軸的距離為時，到y(tǒng)軸的距離為.到原點的距離為+/J

②將點夕沿水平方向平移m（///>?）個單位后坐標變化情況為：

點夕沿水平向右方向平移"3力0）個單位后坐標為（加見〃）；

點0沿水平向左方向平移仍（〃>0）個單位后坐標為（小如〃）；

③將點，沿豎直方向平移〃（〃〉0）個單位后坐標變化情況為：

點〃沿豎直方向向上平移〃（〃>0）個單位后坐標為（a,6"）；

點，沿豎直方向向F平移"</;>0）個單位后坐標為<hb-n).

④若直線掰平行x軸，則爐〃；若直線⑶平行y軸，則京c?:

⑤點P到點”的距離：〃生，（“-C）2+（〃-"）2（勾股定理）

⑥線段所勺中點坐標：（華號）

二、【考點類型】

考點1:三角形的一邊平行于坐標軸或在坐標軸上

典例1：如圖，在平面直角坐標系中，。是坐標原點，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，點4的坐標

為(12.8)，現(xiàn)有兩動點P,。，點尸以每秒3個單位的速度從點。出發(fā)向終點,4運動，同時點。以衽秒2個

單位的速度從點A出發(fā)向終點8運動,連接PC,PQ,CQ.設運動時間為t秒(r>()).

(1)點/的坐標為，點。的坐標為(用含/的代數(shù)式表示)；

(2)請判斷四邊形APCQ的面積是否會隨時間f的變化而變化,并說明理由：

(3)若以力，尺。為頂點的三角形與相似時，請直接寫出1的值.

【答案】(1)(3，,。)，(12,2。：

(2)不會，理由見解析：

(3)2石-2或、.

【分析】(1)設運動時間為。秒，則OP=3f,AQ=2/.結合題意即可得到點八點。的坐標：

(2)依據(jù)S“s=S痔陽OA?C-S3-S4BCQ代入計髡即可求解：

nrOPH劣OCOP

(3)當ACOP'AQ時，得到笠=%即消;與，求解即可；當aCWrQA尸時，得到而=左即

【詳解】(D解：設運動時間為r秒,

則。尸=3/.AQ=2t.

..P(3/.?),C?(I2,2/),

故答案為：(就0),(12,2。；

(2)四邊形APCQ的面積不會陵時間，的變化而變化，

理由：四邊形A℃。的面積S"<、"=S悔*(MUC--Sc耽@=12x8-g*8x3,-gx12x(8-2r)

=48.

(3)當aCOP—PAQ時,

OCOP

"'PA=AQ，

g|J—^―=—

12-3/2t

解得：，=里

9

當，COP-AQAP時,

.OCOP

福=麗'

83f

即nr=?——■—"

2t12-3r

解得：，=2百-2或，=-2遙-2(不合題意，舍去),

70

綜上所述：，喘或f=26-2.

【點睛】本題考查了與矩形有關的動點問題，求不規(guī)則圖形的面積，相似三角形的性質：解題的關鍵是依

據(jù)題意表示出相關線段.

【變式1】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=x+2的圖象與X軸，y軸分別交于點力fty2=--^h

的圖象與了軸，y軸分別交于點“E,且兩個函數(shù)圖象相交于點C。”,5).

⑵求aA。)的面積:

(3)在線段人。上是否存在一點弘使得一A&W的面積與四邊形*W"C的面積比為4：21?若存在，請求出點

〃的坐標；若不存在，請說明理由.

(4)點/，在線段八。上，連接CP,若△ACP是直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點，坐標.

【答案】(1)3,6

(2)./CD的面積為5。

(3)存在，點”的坐標為(6,0)

⑷所有符合條件的點。坐標為(3。)或(8,0)

【分析】⑴由C0“，5)是一次困數(shù)X=x+2與%=-，+/，的圖象的交點，即可解出；

(2)由兩個一次函數(shù)解析式分別求出它們與1?軸的交點坐標，得到A/)的長，從而算出aACD的面積：

(3)由已知條件可得AA&W的面積，進而得出AM的長，即可得點〃的坐標；

(4)由△ACP是直角三角形、NCAP是銳角，分ZS">C=9O。和NACP=90。兩種情況討論，利用勾股定理

即可求解.

【詳解】(1)???CW.5)是?次函數(shù)X=x+2與)，2=-%+〃的圖象的交點，

.?./“+2=5,解得”?=3,

：.-；x3+〃=5,解得)=6.

故答案為：3,6：

(2)一次函數(shù).n=x+2中，當另=。時，A=-2；當x=0時，乂=2,

/.4-2.0).*0.2),

一次函數(shù)為=-$+6中，當.”=0時，x=18.

/.。(18,0),

/.AC=18-(-2)=20,

二S“D=4X20X5=50,

2

二.ACD的面枳為50：

(3)如圖：

在線段4。上存在一點V,使得的面積與四邊形8WC的面積比為4:21,

丁.48M的面積與四邊形8MZX7的面積比為4:21,

44

.--5^=—S_=-x50=8,

.」AMO8=8,即」AMx2=8,

22

Z.AM=8,

?.,點〃在線段上,

.?.點”的坐標為(6,0)；

(4)點一在線段4)上，NC4P是銳角，若△AC/3是直角角形，則乙4戶C=90?；騈ACP=90。,

設點尸(P，0),

VA(-2.O),C(3,5).

二AC'=(3+2尸+5。Ab=(/>+2)2,PC2=(p-3)2+52,

當沙PC=90°時，AP-+PC-=AC2，

(p+2尸+(/，-3y+5~=(3+2)~+5，，

整理得，/r-p-6=0.

解得?P=3或-2(舍去)，

.?.點/)坐標為(3.0)：

當ZAC0=90°時，AC2+PC2=AP2,

：.(p+2)?=(3+2)2+52+(/，-3)2+52,

解得P=8,

...點。坐標為(8,0)：

綜上所述，所有符合條件的點尸坐標為(3,0)或(8,0).

【點時】本題是次函數(shù)綜合題，主要考杳?次函數(shù)的性質、三角形的面積、直角三角形的性質，解答本

題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用一次函數(shù)的性質和分類討論的數(shù)學思想解答.

【變式2】7.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(0.1),點B是'軸正半軸上一點，以AB為邊作

等腰直角三角形ABC,使NBAC=90。，點C在第象限.若點C在函數(shù).V=：(。0)的圖象匕則-ABC的

面積為()

A.I.B.2.C.|,D.3.

【答案】C

【分析】設點，的橫坐標為了,過。作/軸.『釉的垂線，易iiE△/儂△戊X可得◎出=1,因

3

為點。在尸己圖象匕可得矩形〃加芯的面積為3,列方程即可得出*的值，然后根據(jù)勾股定理求出的

X

長，即可得出△科，的面積.

【詳解】解：設點4的橫坐標為乂過r作血.V軸干點的G91j軸于點。，

VZPORZZMZ=?0°,NZM好/如廬90°,

工/比力二/〃力〃，

在△015與山,

[NO4B=/DCA

ZAOB=4CDA,

|/A=AC

???△6W儂ZXZO(/MS),

：.30年\,Ak除x,

：?01Zx,

3

?.?點C在尸巳圖象匕

x

.,.矩形收F的面積為3,

即1X(1+外=3,

戶2,

.'.AOAf^^OA2+OB:石，

22

故選c.

【點瞄】本題主要考杳了反比例函數(shù)的幾何性質，作出輔助線構造出全等三角形.表示出矩形的邊長是解

決此題的關鍵.

【變式3110.如圖，在平面直珀坐標系中，直線L的解析式為y=-X,直線L與L交于B(a,-a),與

y軸交于點AS,b).其中a、b滿足(a+2)。+^^=0,那么，下列說法：

(1)B點坐標是(-2,2)：

(2)三角形ABO的面積是3；

(3)S&o"c；Sgou—2：1；

(4)當P的坐標是(-2,5)時，那么，S△眈r=Saw正確的個數(shù)是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

t答案】D

【分析】(1)根據(jù)非負數(shù)的性質即可求得a的值，即可得到B<-2,2)：

(2)利用三光形面積公式求得即可判斷：

(3)求得△0BC和△A0B的面積即可判斷:

(4)Sc和SZM的值即可判斷.

【詳解】解：(1)Ya、b滿足(a+2)=o,

；?a+2=0,b-3=0,

-'■a—"2?b=3?

???點八的坐標為(0,3)，點B的坐標為(-2,2),

故(1)正確：

(2)三角形AB0的面積=；XUAX|xJ=；X3X2=3.

故(2)正確：

(3)議直線8的解析式為y=kx+c(kWO),

f-2Jt+c=2

將A、B的坐標代入y=kx+c,得：｛0,

k=

m：'i.

c=3

直線k的解析式為y=gx+3,

令y=0,則x=-6,

AC(-6.0),

.\S=1x6x2=6,

SAAM=3，

SAOK：SA??=2：1；

故(3)正確：

(4)TP的坐標是(-2,5),B(-2,2),

/.PB=5-2=3.

SAMV=-x3x(-2+6)=6,S=srX3X2=6?

22

??S;Kr=SA、oi.

故(4)正確：

故選：D.

【點睛】本題考查了兩條直線相交問題，三角形的面枳，一?次函數(shù)圖象上點的坐標特征，求得交點坐標是

解題的關鍵.

考點2：三角形的邊都不平行于坐標軸成都不在在坐標軸上(鉛保法)

典例2:如圖，在平面直角坐標系中，點A（4,l）,點8（〃52）在反比例函數(shù)）?=：的圖象上.

⑵求"08的面積:

⑶在反比例函數(shù)）?='圖象上是否存在點只使.A8P的面積是面枳的2倍.若存在，求點戶的坐標：

X

若不存在，請說明理由.

【答案】（1））二一

X

（2）3

⑶存在，（2.2）,K-I）,0+如,土嚴［卜阮金答）

【分析】（1）把把A（4,l）,代入）?=￡得出〃=4即可求出反比例函數(shù)的表達式

4

（2）把8（〃,,-2）代入「='得,〃=一2,確定點/?的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法得出直線A8的表達式，求出

與）.釉的交點C（0L1）,再根據(jù)，回。=%用。+Sao,即可

（3）設尸點為［彳），根據(jù)5皿=25*誠列出方程解之即可

【詳解】（1）解：把A（4.1）,代入產三得：〃=4,

4

???反比例函數(shù)的表達式為.丫=一，

x

（2）把代入）,=2得〃］=一2,

X

“為（-2,-2）：

設直線AV的表達式為：>,=衣+/,,

1=44+6

把點4（4,1）,點8（-2「2）代入得：，

-2=-2k+b

解得：卜斗

|/?=-1

I,

:.\'=二..］，

2

???A8與」軸的交點。(?,T),

，S△八“0=S△人e+=QX1X4+/X1X2=3；

(3)設0點為卜一)，

S~w>=；x(4+2)X-g工+1),

*?*SABP=2sAOR,

；.3(4+2乂：-；工+1)=6或；*(4+2)(；工_1_：)=6,

xx-2,x2=-4,.q=3+y/\l,xA=3—>/T7

；『為(2,2),(Y.-l),(3+后，及嚴

,3-M,

【點暗】本題考查了反比例函數(shù)與幾何，反比例函數(shù)與次函數(shù)，根據(jù)$A",，=2S,0”列空方程是解題的關

鍵

【變式1】如圖，在平面直用坐標系中，拋物線)="2+尿-6(“*0)與x軸交于點4B,與，?軸交于點G

連接AC,Oli=2,對稱軸為直線.r=-2.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點〃是第三象限內拋物線上的動點，連接人。和C。，求&AC。面積的最大值.

【答案】(I))，=；/+2.1-6；

嗚.

【分析】(1)由08=2得8(2,0),結合對稱軸建立方程組求解即可：

(2)如圖，由(1)求出A(-6,0)即0A=6，C(0,-6)即。。=6設。(犬,.丫)是第三象限內拋物線y=；/+2.v-6

上的動點+2x-6),根據(jù)S皿＞=(S*”,+Sa”,)-S.x.用+2x-6)坐標表示三角形面積

即可求解.

【詳解】3)解：08=2,

8(0,2),

對稱軸為x=-2.

4a4-2Z7-6=0

=l

解得:Ia2,

|力=2

拋物線解析式為：)，=；-V2+2x-6：

(2)如圖，拋物線與*軸交丁?點8(2,0),

對稱軸為.v=-2,

A(-6.0)即04=6,

拋物線解析式為：y=l.r+2x-6,

C(0,⑹，即0c=6,

設。(.“)是第三象限內拋物線了,.*+2.「6上的動點,

則C(.r,；x2+2x-6)11,-6<.v<0.；F+2.v-6<0,

S.ACD~S^az)-S.皿.=(S_+S.SA0C

=戰(zhàn)定|/),|+；以同)一夕)COA

=(；X6X(T)+；X6X-f-^x24-2.V-6I//

>-----XOX0

2

3，

=一一N-9o工

2

7、，77

.?.=--(,t+3)+學

Zj

一?,

2

開口向下，

-9_

當,"=-2=一3時sACD有最大值不

97

.AS面積的能大值為:.

【點時】本題考查了代入法求二次函數(shù)解析式、.次函數(shù)的圖像和性質求三角形最大面積：解題的關鍵是

熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質.

【變式2】如圖，在平面直角坐標系X。、，中,拋物線尸aP+b.r-4與x軸交于A（-l.0）,8（4,0）兩點,與y

（1）求拋物線的解析式：

⑵如圖1,連接8C,點a為8c下方拋物線上一動點，連接呂P、CP,當&PBC的面積最大時，請求出/，

點的坐標和一PBC的面積最大值：

（3）如圖2,點.V為線段0C上一點，連接AN,求人N+gcw的最小值.

【答案】（I）,y=.r2-3.v-4

（2）?（2,-6）,8

（3）—+2

2

【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可：

（2）過點P作軸于點。，交BC于點E,利川S淖叱將三角形的面積轉化為二次函

數(shù)求最值，進行求解即可：

（3）過點C在.V軸右側作直線CF交K軸于點F,使/OC廠=30。，過點N作MWJ.C下于點“，貝I］：

MN=-CN,可得：AN+-CN=AN+MN>AM,當A,N.M三點共線時，AN+」CN的值蚊小，即為AM

222

的長,進行求解即可.

【詳解】（1）解：丁拋物線尸療+6-4與*軸交于A（-I,0）,8（4,0）兩點，

|a-/?-4=0,[a=1

?'?〈,Al??解得：n「

[hpa+4〃-4=0[b=-3

y-.v2-3A-4:

（2）解：,v=.v-3.v-4,當、=0時，y=-4,

/.C（0,-4）.

設直線BC的解析式為：尸米+鞏心。），

m--4=-4

則：,解得:

4k+m=0k=l

二篁線BC的解析式為：.y=x-4.

過點，作PD_Lx軸于點D，交BC于點E，設P（，，『-3r-4）,則：￡（/,/-4）,

?.PE=t-4-^r-3/-4）=-/2+4/,

???S亞=；小卜-。=：（-/2+4小4=2（-/+4/）=-2（/-2『+8：

V-2<0.

二?點P為8c下方拋物線上-動點，

/.0</<4.

二當，=2時,%吠的面枳坡大為8,此忖P（2,4-6-4）,即：P（2.-6）；

（3）解：過點C在）'軌右側作直線C/交x軸干點尸，使NOC/=30。，過點N作NMLb于點何，則:

MN'CN.

2

/.AN+-CN=AN+MN>AM,

2

.?.當A,MM三點共線時，AN+gcN的值最小，即為AM的心，如圖：

?；A(T0).C(0,-4),

:.OA=\,OC=4,

?：N?;O=30°,

ZAFM=6t°-CF=0二。=?/，0尸=!。尸=：6■

cos30325

：.AF=OA+OF=\+^,

：.AA/=AF-sin600=1+」一、二-=三-+2：

(3122，

AN+』av的城小值為也+2.

22

【變式3127.如圖，在平面直角坐標系卬，菱形A8C。的頂點C與原點。重合，點B在￥軸的正半軸上,

點A在反比例函數(shù)>=：(k>0,A>0)的圖象上，點D的坐標為(4,3).

(1)求反比例函數(shù)的關系式；

⑵設點M在反比例函數(shù)的圖象("與上，連接MA、A/D,若△MAZ)的面枳是菱形A8s面枳的，求點

M的坐標.

32

【答案】⑴］一

(2)M(8,4)

【分析】（D利用勾股定理求出0。的長，再利用菱形的性質可得到A。的長，進而得出點A的坐標，最后

利用反比例函數(shù)的坐標特征求出k的值：

（2）根據(jù)aMW的面積是菱形A8C7）面積的g列方程即可求得M點的坐標.

【詳解】（1）解：延長人。交,軸于F,則4戶垂直于x軸，如圖1所示.

圖I

:點。的坐標為（4,3）,

:.OF=4.DF=3.

:.OD=VCF2+DF2=%+3'=5-

???四邊形A8C。為菱形，

:.A/)=0/)=5,

點A坐標為（4,8）,

■?1點A在反比例函數(shù).丫=人的圖象上，

X

:.Zr=4x8=32：

反比例的函數(shù)關系式為：v=—;

X

（2）解：由（1）知：反比例函數(shù)的關系式為.Y=?（x＞，）,

AMD的面枳是菱形A8CD面枳的g,

二g,A。?曷-法|=gOB?.%.

」X5X|〃L4[=』X5X4,

22

二，〃=8或，〃=0（舍去）,

A/（8,4）.

【點睛】本題考杳r勾股定理，菱形的性質，反比例困數(shù)圖像上點的坐標特征，菱形與三角形的面積等知

識，掌握菱形的性質以及勾股定理是解題的關鉞.

鞏固訓練

一、單選題

1.如圖，已知三角形48。如圖所示放置在平面宜角坐標系中，其中6（-4.4）.則三角形為8c的面積是（）

432I0?2.14x

.1.

-2?

A.4B.6C.8D.12

【答案】C

【分析】底AB=4,高是點C到x軸的距離，根據(jù)三角形面積公式求得即可.

【詳解】解：由圖象可知，A(0,0),B(4,0).

團力"=4

BC(-4,4),

點C到x軸的距離是4,EABC的高就是4,

051348c=，x4x4=8,

2

故選：C.

【，點睛】本題考查了坐標與圖形性質，三角形的面積，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題

型.

2.在平面直角坐標系X。＞'中，直線.v=-2x+4與坐標軸所圍成的三角形的面積等于()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求解.

【詳解】解：對于直線.r=-2x+4,當x=0時，7=4；當尸。時，、=2

(3克線V=-2V+4與坐標軸的交點為(2.0)和(0.4),

.??直線丫=-2K+4與坐標軸所圍成的三角形的面積等于」x2x4=4.

2

故選：B.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是根據(jù)題意求出囪線與坐標軸的交點坐標.

3.在?為原點的平面直角坐標系中，位于第一象限的點到'軸的距離是3；點M與該坐標

系中另一點N("h〃)連接而成的線段MN〃.丫軸，且三角形OMV的面枳為10,則〃的值為()

A.-2B.-1或9C.8D.-2或8

【答案】D

【分析】根據(jù)位于第一象限的點例(3“-8,?-1)到x軸的距離是3,求得”的值，進而得”點的坐標，再

根據(jù)MN〃.丫軸得，”的值,由另()M/V的面積為10.求得MN,進而便可求得〃的值.

【詳解】解：13位于第一象限的點〃(3“-8,“-1)到x軸的距離是3,

囪-1=3,

函=4,

E/V(4.3),

0/V(m,?),A/N〃)，軸，

0?/=4,

盟。MN的面積為10.

E-A//Vx4=10,

2

[WN=5,

0|n-3|=5.

回"=8或-2,故D正確.

故選：D.

【點睹】本題主要考查了直角坐標系中點的坐標特征，三角形的面枳，平行或垂直坐標軸的直線的坐標特

征，關鍵是根據(jù)數(shù)形結合，根據(jù)坐標特征列出方程解決問題.

4.在平面直角坐標系中有點力(0,-2)和點8(3,0),過點8作與.￥軸平行的直線，點。是直線上一點，

若三角形花。的面枳為6,則點。的案標為()

A.（3.4）或（3,-4）B.（3.-4）C.（3,4）D.（3,4）或（-3,-4）

【答案】A

【分析】先根據(jù)題意得到點C的橫坐標為3,再根據(jù)三角形/Z?C的面積求出BC的長即可得到答案.

【詳解】解：歷過點8作與j，軸平行的直線，點C是直線匕一點，

曬C的橫坐標為3,

的48c的面積為6,點力的坐標為（0,-2）,

IS—8c,a,=6>

2

團心4,

13點。的坐標為（3,4）或（3,-4）,

故選A.

【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，正確求出點C的橫坐標以及8c的長是解題的關鍵.

5.在平面直角坐標系中，。是坐標原點，點M,N的坐標分別為（4,0）和（“，”+1）,且三處形。MW的

面積是8,則〃的值為（）

A.3或-5B.+4C.3D,-5

【答案】A

【分析】利用三角形的面積公式，結合點的坐標列方程求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得：|x4|?+l|=8.

解得：“=3或〃=-5,

故選：A.

【點睛】本題主要考查了三角形的面積，絕對值方程，結合坐標列出關于“的方程，是解題的關鍵.

6.點4、8是平面直角坐標系中x軸上的兩點，且A8=2,有一點戶與人8構成三角形，若▲PA/3的面積為

3,則點尸的縱坐標為（）

A.38.3或一3C.2D.2或-2

【答案】B

【分析】根據(jù)Sw=g"帆|，求解即可.

【詳解】解：（25加=3"|%|，

回，

2kli=3,

解得：.%=土3,

故選：B.

【點暗】本題考查圖形與坐標，三角形面積，解題的關健是學會利用參數(shù)構建方程解決問題.

7.在平面直角坐標系中，0為原點，直線M=爪+。交y軸于B(0,5),交x軸于A,且三角形AOB的面積

為10,則k=()

5C.-2或一4D.-鴻

A.1B.-

4

【答案】D

(分析】由SAAOB=1O可得;08k卜10.據(jù)此求得a=4或勺=-4,

從而得出點A的坐標，再利用待定系數(shù)

法分別求得函數(shù)解析式.

【詳解】解：0B(0.5),

0OB=3,

由SAAO8=1O可行；OB|x/=lO.即:x5x|“=IO

解得：心=4或梟=4

則點A的坐標為(4,0)或(40),

當點A坐標為(4,0)時，把A、B坐標代入*="+。可得:

0=4k+b

點解得：(-4：

b=5

當點A坐標為(-4,0)時，把A、B坐標代入.%=&+〃町得:

.5

0==-4k+hA=

,解得：1一7：

b=5

故選D.

【點睛】本題主要考杳待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解題的關鍵是根據(jù)三角形的面積得出點B坐標的兩

種情況.

8.如圖，在平面直角坐標系中，點8在函數(shù)y=x圖象上，點/在、?軸的正半軸上，等腰直為三角形8C。

的頂點C在//上，點D在函數(shù)y=—第一象限的圖象上若AQ4A/BCD面積的差為2,則k的值為()

y

B

O\Ax

A.8B.4C.2D.1

【答案】B

【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征得出。力=/8,由是等腰直角三角形，可得C0=8D設

OA=a,。。=〃，則點。的坐標為（"+〃，a-b）,根據(jù)反比例函數(shù)v=上的圖象經(jīng)過點。，即可得到蘇

?X

=k,進而得出AO48與△SCO的面積之差=）/-g〃=gA=2,即可求出k.

（詳解］解：13點8在函數(shù)y=x圖象上，

^OA=ABt

WBCD是等腰汽向三知形，

^CD=BD.

設04=mCD=h,則點。的坐標為（a+b,〃?力），

團反比例函數(shù)「=-的圖象經(jīng)過點D,

X

團（a+力）（。-/＞）=?--h-=k,

O3O/J8與△8C￡）的面積之差=；-“：-三b2=；k=2、

縱=4,

故選：B.

【點睛】此題考查的是求反比例函數(shù)的比例系數(shù)和等腰直角三角形的性質，掌握反比例函數(shù)的比例系數(shù)與

圖形面積的關系是