2023數(shù)學(xué)高考真題知識(shí)題型38圓錐曲線中的求值與證明問(wèn)題(教師版)

專題38圓錐曲線中的求值與證明問(wèn)題

【高考真題】

E.X2y2

1.(2022?北京)已知橢圓:l(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,1),焦星巨為

(1)求橢圓E的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)P(-2,1)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B,C,直線48,AC分別與x軸交于點(diǎn)M,

N,當(dāng)|MN|=2時(shí)，求上的值.

1.解析⑴依題意可得b=l,2c=2上,又所以。=2.

所以橢圓方程為止+)2=1；

4'

⑵依題意過(guò)點(diǎn)以-2,1)的直線為y-l=k(x+2),設(shè)8冊(cè)，兇)、C(x2(y2),不妨令一24%々(2,

y_[=k(x+2)

由,《2_，消去y整理得(i+4M)/+(16M+犬+16廿+16%=0,

T+v

2

所以△=(16M+8A「-4(l+4k2](16jt2+16A)>0,解得A:vO,

16M+8Z16M+16左

所以X1+為

1+4嚴(yán)1+4%2

y.—1八

直線4B的方程為y-l=^----X,令y=。,解得\一■一

再I(mǎi)f

直線AC的方程為y-i=2」x,令y=0,解得XN=#~

X21-乃

所以|用叫=晶-%|=

IfIf1—[人(巧+2)+l]1-[攵(X]+2)+1]

(%+2)為-*(為+2)2|//

X2

2)+2)

*巧+仙+%(電+2乂占+2)|磯々+2)(均+2)'

所以E-引=|磯々+2)(』+2),

即J(X]+巧)2-4為巧=14[應(yīng)百+2卜2+X])+4].

16M+8416爐+16左_|?16M+16kA16k2+8k

即+2........—+4

1+4M1+4d1+4M

可

即"軟原2+i6k-2(16M+8A)+4(l+4M)].

1+4M

整理得8Q=4網(wǎng)，解得k=T.

92

2.（2022?新高考I）已知點(diǎn)42,1）在雙曲線C:J-T^=1（”>1）上，直線/交C于P,Q兩點(diǎn)，直線

a2a2-l-

AP,AQ的斜率之和為0.

⑴求/的斜率;

⑵若tanNP4Q=2及，求△PAQ的面積.

丫2241

2.解析⑴因?yàn)辄c(diǎn)A（2,1）在雙曲線c：J-T—=1（。>1）上，所以=1,解得『=2,

a2cr-\a2a2-I

即雙曲線C：+-y2=i,易知直線/的斜率存在，設(shè)/:y=Ax+"?,尸（和》）,（?（x2,y2）,

y=kx+m

聯(lián)立可得，（1-2A:2）X2-4tnkx-2^-2=0,

------y2=1、'

2

2

4mk2m+2（2）（2）22

所以，X|+x9，再巧=z,A=16/MV+427M+22^-1>0=>/M-1+2A:>0.

22k22k1

y2-i1.vi-1

所以由+^BP=0可得,=0,即（X]—2）（生+"2—1）+（々-2）（點(diǎn)]+加-1）=0,

—2Xy—2

即lkxx+（加一1-2。（司+x）-4（/?7-l）=0,所以+（團(tuán)一1一2人）（一4mk

{22-4（/n-l）=0,

2k—1\2人27

化簡(jiǎn)得，8廿+4*-4+4m（k+l）=0,即（a+l）（2k-l+，〃）=0,所以左=T或加=1-2人,

當(dāng)加=1一2?時(shí)，直線/:丫=云+加="*一2）+1過(guò)點(diǎn)A（2,1）,與題意不符，舍去，故k=-l.

（2）不妨設(shè)直線以月5的傾斜角為a,因?yàn)橐訮+降「=0,所以￡+4=兀,

因?yàn)閠an/PAQ=2夜，所以tan（/7-a）=2及，即tan2a=-2上,

>/2tan2tz-tancr—5/2=0.解得lana=&,

于是，直線P4:y=V^（x-2）+l,直線P8:y=-&（x-2）+l,

y=>/2（jc-2）+l

聯(lián)立"二,可得，|x2+2（l-2>/2）x+10-4x/2=0,

因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為2,所以4=竺二逑，力=生生Q,

F33

45

同理可得，XQ=二+嚴(yán),y0=-^-.所以PQ:x+y-g=0,四空，

點(diǎn)A到直線P。的距離，2+1-32點(diǎn)，

故APAQ的面積為13、逑=竺也.

2339

22

3.（2022?新高考II）已知雙曲線C:j-t=l（a＞（）,b＞0）的右焦點(diǎn)為F（2,0）,漸近線方程為y=土布x.

a2b2

（1）求C的方程；

（2）過(guò)尸的直線與C的兩條漸近線分別交于4,8兩點(diǎn)，點(diǎn)。（巧，丫2）在（^上，且

百＞電＞0,凹＞0.過(guò)P且斜率為-右的直線與過(guò)。且斜率為6的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選

取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：

①M(fèi)在AB上；②PQ〃4B；③|M4|=|歷例.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

3.解析⑴右焦點(diǎn)為尸（2,0）,.?.c=2,?.?漸近線方程為丫=±怎，二2=白，.?"=也”，

a

c2=a2+h2=4a2=4,a=\,:.b=M.

2

；.C的方程為：A-2---=1；

3

（2）由已知得直線PQ的斜率存在且不為零，直線AB的斜率不為零，

若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線AB的斜率存在且不為零；

若選①③推②，則M為線段AB的中點(diǎn)，假若直線48的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱性可知M在x

軸上，即為焦點(diǎn)F此時(shí)由對(duì)稱性可知尸、。關(guān)于x軸對(duì)稱，與從而百=巧，已知不符；

總之，直線A8的斜率存在且不為零.

設(shè)直線A8的斜率為％,直線A8方程為），=女（》-2）,

則條件①M(fèi)在AB上，等價(jià)于％=%（甌-2）o儂）=M（聞-2）；

兩漸近線的方程合并為3*2-丁=0,

聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理得：（《2一3卜2-4Mx+4&2=0.

設(shè)人（占~3），8（藥，丫4）,線段中點(diǎn)為義（無(wú),為）,則打=超乎」學(xué)，，加=&（加一2）=告，

2k~—3k—3

設(shè)M（X。，%）,則條件③等價(jià)于（聞一巧）2+（%-刈2=（同一々f+bo-yj，

移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：（》3-X4）［2聞-（工3+X4）］+（必-丫4）［2%-（必+丫4）］=。，

［2聞-（看+々）］++"［2%-（%+&）］=0,即M-加+M%-yN）=0,即與+k）b=；

為一工4k-3

由題意知直線PM的斜率為-G,直線QM的斜率為占，

，由凹-%=-石（為-苫0）,丫2-%=6卜2-廂），二》-丫2=-布（為+電-2心），

所以直線尸。的斜率，〃=之工=-8E+X2-2X0）

直線PM:了=一石（工一聞）+%,即丁=為十百人0-6x，

代入雙曲線的方程3--/-3=0,即（氐+y）（瓜-y）=3中，得：（%+屈?）［2瘋v-?+國(guó)）］=3,

解得P的橫坐標(biāo)：西=-Jr---+%+"玉）］,

~2―7-2+%|，/+苫2-2工0

竟-3^)*MT

...條件②尸Q//A8等價(jià)于，〃=&=kyn=3%,

綜上所述：條件①M(fèi)在48上，等價(jià)于故0=/（的-2）；條件②PQ/MB等價(jià)于5=3與；

條件③|4閘=忸刈等價(jià)于與+跳=羋?；

k一3

選①②推③：

由①②解得：Afl=-^--,M+Ay（）=4xo=-^—??③成立；

k2-3jt2-3

選①③推②：

由①③解得：XQ=—,ky=—,；?hb=3與，.?.②成立；

M-30嚴(yán)-3

選②③推①：

【方法總結(jié)】

證明問(wèn)題常用方法

圓錐曲線中的證明問(wèn)題主要有兩個(gè)方面：（1）位置關(guān)系方面的（如證明相切、垂直、過(guò)定點(diǎn)等）；（2）數(shù)量

關(guān)系方面的（如存在定值、恒成立等）.在熟悉圓錐曲線的定義和性質(zhì)的前提下，要多采用直接證明，但有

時(shí)也會(huì)用反證法.

【題型突破】

1.（2019?全國(guó)I）已知拋物線C：V=3x的焦點(diǎn)為尸，斜率為2的直線/與C的交點(diǎn)為A,B,與x軸的交點(diǎn)

為P.

(1)若|AE+|BF]=4,求/的方程;

(2)若祚=3而，求|A8|.

1.解析設(shè)直線/：y=^x+t9A(xi,yi),8(知”).

⑴由題設(shè)得雄，0),故|"1+|M=XI+X2+/又|Afl+|8/q=4,所以Xi+X2=|.

y=^x+t,..4f—1

由f2可得9/+12(/—l)x+4產(chǎn)=0,則xi+x2=——；-.

y=3x

4L15737

從而―一=/，解得，=一左所以/的方程為丁=尹一

⑵由#=3聞可得yi=-3y2.由卜―/十八可得J_2y+2r=0,

[)2=3X

所以yi+y2=2,從而一3?+沖=2,故》=—1,9=3.

代入C的方程得為=3,及=；,即A(3,3),-1).故網(wǎng)=耳叵.

3

2.已知拋物線C：V=3x的焦點(diǎn)為F,斜率為2的直線/與C的交點(diǎn)為A,B,與x軸的交點(diǎn)為P.

(1)若以用+田目=4,求/的方程;

(2)若力=3而,求質(zhì)劇.

2.解析設(shè)直線/：y=|x+f,A(x),yi),8(小”).

⑴由題設(shè)得尼，0),故|"]+|8F|=XI+X2+|.又IAF1+I即=4,所以R+X2=/

'=3x+(

由」"‘可得9f+l2(f-l)x+4尸=0,其中/=144(1-2。>0,即f<1,

/=3%

則X|+X2=一l~\1).從而」，D=l，得尸一索滿足/>0).

37

所以直線/的方程為j=p-g.

(2)由#=3方可得％=—3)，2.①

y==(+/,

由.2可得>2—2y+2f=0,所以6+y2=2.②

y=3x

由①②聯(lián)立，得》=3,且竺=一1.代入C的方程得為=3,X23

2!2

故|AB|=A/(XI-x2)+(yi->2)=3^-

?2

3.已知橢圓C：,+9=1的左、右焦點(diǎn)分別為外，F(xiàn)i,過(guò)點(diǎn)尸2的直線/交橢圓C于A,B兩點(diǎn).

(1)若△Q4B的面積為誓，求直線/的方程；

(2)若病=2易，求|A8|.

3.解析(1)當(dāng)直線/斜率為0時(shí)，不滿足題意.

當(dāng)直線/斜率不為0時(shí)，設(shè)Ag,?),8(X2,m)，設(shè)直線/的方程為x=/ny+l,

代入橢圓。的方程消去x,得(5,772+6川2+10〃?)-25=0,/＞0=＞加￡R,

由根與系數(shù)的關(guān)系得9+”=京節(jié)，①，品，②

則2川力一”|=124(》+”)2_4“)2=[4x4^^=^^

49

整理得50加1一川―49=0,解得團(tuán)2=1或/=—硒(舍去)，

故直線/的方程為x±y-1=0.

(2)若存2=2層1,則(1—工2,—y2)=2(xi—1,yi),所以”=-2yi.

2

代入上式①②得y產(chǎn)牖，2)仁品，消去小得2(盤(pán))二島，解得『地，

所以|48|=吊1+加|)，1一四=小僅1_)引=3小僅11=3小X5胃26=氣國(guó)

/丫24兀

4.己知橢圓C，+$=1伍泌＞1)的焦距為2,過(guò)短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)的圓的面積為藍(lán)，過(guò)橢圓C

的右焦點(diǎn)作斜率為曲后0)的直線/與橢圓C相交于4,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為P.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P且垂直于A8的直線與x軸交于點(diǎn)。傳，0),求我的值.

4.解析(1)由題中條件，可得過(guò)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)的圓的半徑為羋.

2c=2,

—力—2|—^2

,

{N+V

又因?yàn)榱Γ?,解得4=2,。=小，C=lf

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為3+1=1.

(2)由題意，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)的直線/的方程為y=Z(x—l)(原0),將其代入5+^=1,

得(3+4乃)f-8Mx+4產(chǎn)-12=0.

j2

設(shè)4(xi，yi),B(X2,”)，顯然/＞0,則XI+X2=".4戶為也=不無(wú)？,

所以)1+y2=&(xi+x2)-24=享育聲

因?yàn)镻為線段48的中點(diǎn)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為1，在泰)

又因?yàn)橹本€P。的斜率為一%所以直線P。的方程為)'一三告5=一如-3：；標(biāo))?

令y=0,得x=3上p，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為。1則J衰=:,解得-±1.

5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：，+:=1(心心0)過(guò)點(diǎn)P(2,1),且離心率6=坐.

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線/的斜率為;，直線/與橢圓C交于4,8兩點(diǎn).若依8|=小，求直線/的方程.

02〃2—/3

5.解析(D??/=”=~~=4f,,”2=4/?2.

又橢圓C:%+*=l(a>b>0)過(guò)點(diǎn)P(2,1),1,...。2=8,b2=2.

故所求橢圓方程為

OZ

(2)設(shè)/的方程為)，=%+"?,點(diǎn)A(xi,_yi),B(xi,V2),

整理，得/+2〃a+2后:-4=0.

."=4廿一8評(píng)+16>0,解得依|V2.

=

^X]+x2~~2mfX|X2=262-4.

22

則1+|Xyl(x\+x2)—4X\X2=^/5(4—w)=^5,解得加=士\「.

所求直線/的方程為y=5±4.

6.(2017?全國(guó)I)設(shè)A,8為曲線C：y=匕兩點(diǎn)，A與8的橫坐標(biāo)之和為4.

4

(1)求直線4B的斜率；

(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且求直線AB的方程.

27

6.解析(1)設(shè)4(X|,J1),8(X2,竺)，則X#X2,>1=.,Xi+X2=4,

于是直線A8的斜率仁忘=中

⑵由y=，，得〉，=去設(shè)M(X3,券)，由題設(shè)知5=1,解得*3=2,于是M(2,l).

設(shè)直線A8的方程為y=x+"7,故線段AB的中點(diǎn)為M2,2+"?),|MN|=|,”+1].

將y=x+，"代入y="得x2—4x—4，"=0.當(dāng)/=16(〃?+1)>0,即”?>一1時(shí)，xt,2—2±2y[m+\.

從而|AB|=啦|內(nèi)一切=4y2(,〃+1).

由題設(shè)知|A8|=2|MN],即4,2(切+1)=2(/?+1),解得,”=7.

所以直線48的方程為y=x+7.

7.(2021?天津)已知橢圓u+/=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為凡上頂點(diǎn)為8,離心率為沫，且|8月=小.

(1)求橢圓的方程；

(2)直線/與橢圓有唯一的公共點(diǎn)M,與)，軸的正半軸交于M過(guò)N與BF垂直的直線交x軸于點(diǎn)P.若

MP//BF,求直線/的方程.

7.解析(1)易知點(diǎn)尸(c,0),8(0,b),故[BR=后兩=a=木.

因?yàn)闄E圓的離心率9=§=邛^,故c=2,b=y/a2—c2=l,

因此，橢圓的方程為5+V=L

J

2

(2)設(shè)點(diǎn)加(M),兌)為橢圓，+>2=1上一點(diǎn)，先證明直線MN的方程為等+yoy=l.

-+yoy=1,

聯(lián)立V^+/=1,消去y,泗并整理得■r2-2wr+需=0,/=4需-4x8=0,

IJ.+M-=i,

因此，橢圓，+y2=1在點(diǎn)M(M),泗)處的切線方程為管'+)夢(mèng)=1.

在直線MN的方程中，令x=0,可得y=5，由題意可知yo>O,即點(diǎn)A(0,J.

直線8尸的斜率為％/=—§=一：,所以直線PN的方程為y=2x+《.

在直線PN的方程中，令y=0,可得》=一土，即點(diǎn)1一六，0)

因?yàn)閯t如戶=依「，即一_1整理可得(xo+SyoynO,所以xo=-5y().

+:Wo+12

2yo

又因?yàn)?+4=1,所以6濟(jì)=1.因?yàn)殂簦?,故yo=*，x()=—*杏，

所以直線/的方程為一*x+乎y=l,即x—y+港=0.

8.(2020?全國(guó)IH)已知橢圓C：卷+樂(lè)=1(0＜機(jī)＜5)的離心率為呼，A,B分別為C的左、右頂點(diǎn).

(1)求C的方程；

(2)若點(diǎn)尸在C上，點(diǎn)。在直線x=6上，且|BP|=|BQ|,BPLBQ,求△AP。的面積.

77

8.解析5^+^2=1(0＜/77＜5),??.a=5,b=m,

根據(jù)離心率e=5=d_呼=71一(即解得m=1或加=一卷(舍去)，

?"的方程為卦肅=1，即各嗡=L

(2)過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線，垂足為M,設(shè)直線x=6與x軸的交點(diǎn)為N,根據(jù)題意畫(huà)出圖象，如圖.

■：\BP\=\BQ\,BPLBQ,NPMB=NBNQ=90。,：.ZPBM+ZQBN=90°,NBQN+/QBN=90。,

：.NPBM=ZBQN.：.APMBq/\BNQ.

f16\'

:橢圓方程為三+節(jié)-=1.；.B(5,0),??.|PM=|BN|=6-5=1.

v***16

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為的，yp),不妨設(shè)w>0,可得尸點(diǎn)縱坐標(biāo)為沖=1,將其代入蕓+炭-=1,

可得芳+H=1,解得Xp=3或x戶=-3,點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1)或(一3,1).

①當(dāng)戶點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1)時(shí)，|M8|=5—3=2,

■:叢PMBmABNQ,：.\MB\=\NQ\=2,；.Q點(diǎn)坐標(biāo)為(6,2),

畫(huà)出圖象，如圖.

由A(—5,0),。(6,2),可求得直線A0的方程為可-11>+10=0,

,,,Hr,.|2x3—llxl+10||5|y[5

點(diǎn)P到直線AQ的距離為d=-^2，+112—=<茂=5,

IAQI=^(6+5)2+(2—0)2=5A/5，二△APQ面積為:x5小x坐■='.

②當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(一3,I)時(shí)，|MB|=5+3=8,

?:/XPMB必BNQ，，|M2|=|NQ|=8,，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(6,8).畫(huà)出圖象，如圖.

由4—5,0),0(6,8),可求得直線A。的方程為8x—lly+40=0,

占。刎古冬，c的花直隊(duì)18x(-3)-11x1+401一_5_一瘟

點(diǎn)尸到直線AQ的距離為d-丁+112一向—37,

\AQ\=叱6+5)2+(8—0)2川詼,/.△AP。面積為|爐x,v由曙=|.

綜上所述，AAPQ的面積為義

9.(2020?北京)己知橢圓C：，+:=1過(guò)點(diǎn)A(—2,-1),且。=24

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)8(—4,0)的直線/交橢圓C于點(diǎn)M,N,直線MA,岫分別交直線x=-4于點(diǎn)尸，Q,求震的

值.

4141、

9.解析(1)由橢圓過(guò)點(diǎn)A(—2,-1)?得了+/=1.又a=2b,二加2+,—1,解得6=2,

72

.?.。2=4/?2=8,.,.橢圓C的方程為卷+'=1.

OZ

(2)當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，顯然不合題意.設(shè)直線/：y=k(x+4),

'y=k(x+4),

由寶+止_]得aF+Df+szdx+MQ-sR.由/>0,得一gy；.

,一32儲(chǔ)64——8

設(shè)M(X1,y。，N(X2,丫2),則nl由+》2=不干，X|X2=4,+i?

Vl+1一2()，|-)-1)

又?..直線AM：y+l=J^(x+2),令x=-4,得沖=1.

X\~v1X]+2

奴u八心x汨一(2k+l)(xi+4)—(2左+1)(及+4)

將％=k(xi+4)代入，付加=---------------同理)'。=-----6工-----

(x\+4及+4、2笛戈2+6(戈1+12)+16

?"+因=-3+1)(病+/|=一(24+1〉：

(XI+2)(X2+2)

2(64^~8),6x(-32^)

4—+1+4P+1

_128，-16—192M+64F+16

=一(22+>

(X|+2)(X2+2)一=~(2k+1)?—(4—+I)(XI+2)(X2+2)—=°

：.\PB\=\BQ\t

10.已知橢圓C：，+卓=13>匕>0)的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)A作斜率為小的直線與橢圓C相交

于A,8兩點(diǎn)，且A8J_OB,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓的離心率e；

(2)若6=1,過(guò)點(diǎn)尸作與直線AB平行的直線/,/與橢圓C相交于P,。兩點(diǎn)，

①求直線OP的斜率與直線OQ的斜率乘積；

②點(diǎn)M滿足2而=5>,直線M。與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N,求㈱的值.

10.解析⑴由已知得|O4|=a,\OB\=^,ZBAF=^,則一余冬j,

2Q22

代入橢圓C的方程得意1+三次=1,，方=5,a=y[5h,.,.c=yja2—h2=2b,

故橢圓的離心率e=》=￥.

(2)①由(1)可得力=1,a=鄧,。=2,，橢圓C的方程為5+.廿=1.

依題意，得直線/為x=45y+2,設(shè)尸(M,yi),。(k2,、2).

[x=y[3y+2.廠,S1

聯(lián)立<>)t得8)廣+4小y—'1=0,/>0怛成立.則yi+y2=—：,)叮2=一五.

Ur+5V=51°

，1/2=(小力+2)(小力+2)=3yly2+2小8+了2)+4=彥.因此kop-koQ=\^=

②設(shè)點(diǎn)M%3,丫3),設(shè)所以麗=』旗(。4<1).

又因?yàn)?成=辦，所以點(diǎn)Afg,3，則滿足而/=(?—X3,5―a)N力=。2—*3,”一券).

X]—2ZX2—2(1一4)總，

y\~2b2=2(1—z)j3,

,vi~2ZV22益2

所以％3=,且y3=

2(IT)2(IT)

,:P,。，N在橢圓上，,好+5貨=5,強(qiáng)+5貨=5,京+5y*=5,

32

U(A-I-2AX2),(yi~2/lv2)

從而4(1一4)2+5,4(|-1)2-5,

x?+5)7+4A2(X?+5月)-4A(X]X2+5yLy2)=20(1—2)2.

由①可知?及+5州”=0,，1+4乃=4(1—，)2,.?.a=|,所以號(hào)言=看

r2v2、巧

11.設(shè)橢圓@京+$=13泌>0)的離心率為竽人,&是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，加是橢圓上任意一點(diǎn),且4叱但

的周長(zhǎng)是4+2小.

(1)求橢圓C的方程；

⑵設(shè)橢圓G的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,過(guò)橢圓G上的一點(diǎn)。作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)E,若點(diǎn)C

滿足贏_L正，AD//OC,連接AC交OE于點(diǎn)P,求證：\PD\=\PE\.

11.解析(1)由6=坐，知;=坐，所以。=坐。,

因?yàn)锳MQB的周長(zhǎng)是4+2小，所以2a+2c=4+2小，所以a=2,c=小，所以序="-/=],

所以橢圓G的方程為:

(2)由(1)得&-2,0),8(2,0),

設(shè)￡>(沏，yo),所以E(xo,0),因?yàn)榍黖L覺(jué)，所以可設(shè)C(2,力),

所以無(wú)力=(沏+2,州)，OC=(2,yi),

由無(wú)力〃求可得：(xo+2)yi=2yo,即yi=

M)十幺

所以直線AC的方程為士=0整理得y=吐(x+2).

2y()_2—(—2)?2(xo十2)

xo+2

又點(diǎn)P在DE上,將x=xo代入直線AC的方程可得：y=f,即點(diǎn)尸的坐標(biāo)為Qo,

所以P為。￡的中點(diǎn)，\PD\=\PE\.

12.已知拋物線C：產(chǎn)=22彳經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(l,2),其焦點(diǎn)為F.M為拋物線上除了原點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過(guò)M的直

線/與x軸，)，軸分別交于A,B.

(1)求拋物線C的方程以及焦點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若△8MF與AABF的面積相等，求證：直線/是拋物線C的切線.

12.解析(1)因?yàn)閽佄锞€C：9=2*經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(l,2),所以22=2p,p=2.

所以拋物線C的方程為產(chǎn)=4x,焦點(diǎn)F點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).

(2)證因?yàn)椤鰾MF與AABF的面積相等，所以所以B為AM的中點(diǎn).

設(shè)M(xo,yo)(x()yo/0),則A(—x(),0).所以直線/的方程為)=器(\+即)，

與拋物線)?=4x聯(lián)立得y2—丹;)，+4沏=0,

/=等一16的)=嬰一16xo=O,所以直線/是拋物線C的切線.

13.如圖，已知拋物線「V=8x的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為/,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為拋物線「上

一點(diǎn)，直線A。與/交于點(diǎn)C,直線AF與拋物線「的另一個(gè)交點(diǎn)為8.

(1)證明：直線5C〃x軸；

(2)設(shè)準(zhǔn)線/與x軸的交點(diǎn)為E,連接BE,且證明：||Af]—|8儀|=8.

13.解析⑴由丁=81知焦點(diǎn)F(2,0),準(zhǔn)線/為x=-2.設(shè)》)，8強(qiáng)，”)，

Q16

則直線AO為丫=不￥,令工=-2可得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為yc=——.

y\yi

設(shè)直線A3為x="?y+2,代入)?=8無(wú)，得9一8"iy—16=0,所以yi＞2=—16.

從而以=一乎，從而即直線3C〃x軸.

川

(2)設(shè)4(即，yi),仇念，")，由BELBF,則IBEp+i跳干得3+2)2+(刈-2)2+2免=16.

又貫=8x2,則強(qiáng)+8&-4=0,由必＞0,則M=-4+24.

由于A8與x軸不垂直，設(shè)直線48的方程為y=Z(x—2).

fy=k(x—2)9

貝(1由，整理得Ff—(43+8).x+4F=0,???XM2=4,則川=4+24.

1廣=8乂

故||4同一出川|=比一及|=8.

14.已知橢圓C：，+1=1("＞及0)的離心率為乎，過(guò)焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為

2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)己知點(diǎn)A(l,0),8(4,0),過(guò)點(diǎn)A的任意一條直線/與楠圓C交于M,N兩點(diǎn)，求證：|MB|-|NA|=

14.解析(1)因?yàn)閍+*=1,令x=c,得＞2=*,

2

因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為2,所以5b=1,

根據(jù)離心率為坐，得:=乎，結(jié)合。2=〃2+/,解得”=2,b=y[2,

所以楠圓的方程為[+3=1.

(2)證明要證明|M卦|NA|=|MAHNB|,只需證明耨=牌^

過(guò)M,N分別作x軸的垂線段MVf,NN',

易得犒=牒￥所以只需證明揩=儒?，所以只需證明/M8A=NN3A,只需證明公仍+AM=O.

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，易得|M卦\NA\^\MA\-\NB\.

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)其為左,則直線/的方程為)，=A(x—1)，

4+2一'消去y,得Q3+De—dMx+ZF—dnO,

聯(lián)立，

j=k(x—1)

4/23—4

設(shè)”(Xi,yi),Ng,”)，則xi+x2=o0+],x,X2=2ZrT7,

-

,..k(xi-1).,,A3k(X21)

直線MB的斜率心仍=一^-,直線NB的斜率心卡一^r

k(xi-1)k(X2—1)k(xi-1)(也一4)+攵(&一1)(X]-4)

片_4-_

kMB+kNB=X24(xi—4)(及―4)

(2標(biāo)-443.、

(2?詔L?而77+)

A12X]X2-5(X|+l2)+8]

(xi—4)(JQ—4)(XI—4)(JQ—4)

綜上所述，|M用.|帥|=|肪4|.卬用.

15.在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，圓足。—1)2+)2=1外的點(diǎn)尸在y軸的右側(cè)運(yùn)動(dòng)，且尸到圓尸上的點(diǎn)的

最小距離等于它到了軸的距離，記尸的軌跡為E.

(1)求E的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)尸的直線交E于A,8兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓。與平行于y軸的直線相切于點(diǎn)M,線段0M

交E于點(diǎn)N,證明：△AM8的面積是△AMN的面積的四倍.

15.解析法一(1)設(shè)P(x,y),依題意x>0,F(l,0).

因?yàn)镻在圓尸外，所以尸到圓尸上的點(diǎn)的最小距離為|PQ—1,

依題意得|PF|-1=X,即7（X—I）2+尸一］=%,

化簡(jiǎn)得E的方程為丁二標(biāo)?！?。）.

（2）設(shè)Mm，泗），&xi,9）,8（X2,yi）,

則。（"丑，嗎超）?當(dāng)直線A3的斜率不存在時(shí)，不合題意，

依題意可設(shè)直線A8的方程為了=左。一1）（際0）,

y=kCx—1),

由1得Mx2—(2d+4)x+3=0.

y=4x

因?yàn)?=（29+4）2—4小=16M+16>0,

,2必+4

所以即+必=~p~,

則有y+及=『故。匕一，力

4F+4

由拋物線的定義知|A8|=M+X2+2=4.

2公+214DI3+22

設(shè)M（XM,加），依題意得加=層所以|MQ|=—'p——工跖又因?yàn)閨Af￡）|=o，所以—p——血=/+2,

解得XM=-1,所以從一1,I),

因?yàn)镹(XO,§在拋物線上，所以xo=(，即*),

”,1F+1

所以5”“8=,仞川)'|一”|=下一回一刈，

111M+1,,

S"MN=^M/V||yLyQl=^M7V|x亦［一”|=婕I)」一)吃1,故S^AMB=4S^AMN.

法二（1）解設(shè)P（x,j）,依題意x>0.

因?yàn)镻在圓尸外，所以P到圓戶上的點(diǎn)的最小距離為IPQ—1.

依題意得點(diǎn)P到圓尸(1,0)的距離伊川等于P到直線X=-1的距離,

所以P在以F(l,0)為焦點(diǎn)，x=-I為準(zhǔn)線的拋物線上.

所以E的方程為)2=4x(x>0).

(2)設(shè)4(xi,力)，8(X2,竺)，

x=ty'+1,

因?yàn)橹本€48過(guò)F(l,0),依題意可設(shè)其方程為x="+l(用))，由得y2—4fy—4=0,

.V=4x,

因?yàn)?=16產(chǎn)+16>0,所以“+丫2=書(shū),

則有為+x2=(r〉l+1)+((X2+1)=4產(chǎn)+2.

因?yàn)椤Ｊ茿8的中點(diǎn)，所以。(2-+1,2t).

由拋物線的定義得|AB|=(Xi+l)+(X2+l)=4產(chǎn)+4,

設(shè)圓力與/：x=〃?相切于M,

因?yàn)?。M與拋物線相交于M所以,”<0,且。

所以即解得布=-1,

設(shè)Mxo，),()).則yo=2/,且(2f)2=4xo,所以x()=?,

,,,2產(chǎn)+l+(-1).“，,,,,.?、

因?yàn)?=F,所以N為DM的中點(diǎn)，所以SAAM°=2SAAMN,

又因?yàn)椤?gt;為AB的中點(diǎn)，SAAMB=2SAAMO,所以SAAM8=4SAAMM

法三(1)同法一.

(2)設(shè)A(xi,%),8(x2,竺)，連接MENF.

因?yàn)橹本€AB過(guò)F(l,0),依題意可設(shè)其方程x=(y+l(厚0),

x=fy+l,

由2'得9_43_4=0,

y=4x,

因?yàn)?=16產(chǎn)+16>0,所以％+)2=4/,所以y“=y?=2t.

因?yàn)閨MZ)|=7L|A8|=即+及+2,

又因?yàn)?2——XM,所以---2---=-2~~XM,解得劉”=一1，所以M(-l,It),

所以左=一1,故ZA/FD-900.

又因?yàn)閃M=|NQ,所以WQ=WC|,從而|MN=WO.所以SAAMM=；SAAMO,

又SAA,W?=2^^><WB,所以S&AMB=4SAAMN.

16.設(shè)橢圓C：，+^=1的右焦點(diǎn)為F,過(guò)尸的直線/與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，求直線4M的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：ZOMA=ZOMB.

16.解析(1)由已知得F(l,0),/的方程為x=l.

則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,乎)或(1,一叫.

又M(2,0),所以直線AM的方程為y=—乎x+也或丫=坐》一小，

即x+也y—2=0或x—y[2y—2=0.

(2)證明：當(dāng)/與x軸重合時(shí)，ZOMA=ZOMB=0°.

當(dāng)/與天軸垂直時(shí)，OM為A3的垂直平分線，所以NOK4=NOM8.

當(dāng)/與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)/的方程為y=Z(x—1)(原0),A(x