上海復(fù)旦大學(xué)視覺藝術(shù)學(xué)院附屬高級(jí)中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

上海復(fù)旦大學(xué)視覺藝術(shù)學(xué)院附屬高級(jí)中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=，則f（）的值為（） A． B． ﹣ C． D． 18參考答案：A考點(diǎn)： 分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；函數(shù)的值．專題： 計(jì)算題；分類法．分析： 當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=x2+x﹣2；當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）=1﹣x2，故本題先求的值．再根據(jù)所得值代入相應(yīng)的解析式求值．解答： 解：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=x2+x﹣2，則f（2）=22+2﹣2=4，∴，當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）=1﹣x2，∴f（）=f（）=1﹣=．故選A．點(diǎn)評(píng)： 本題考查分段復(fù)合函數(shù)求值，根據(jù)定義域選擇合適的解析式，由內(nèi)而外逐層求解．屬于考查分段函數(shù)的定義的題型．2.不等式的解集是（

）（A）{} （B）{}（C）{或} （D）{或}參考答案：A7.若,則等于A.

B.

C.

D.參考答案：A略4.一艘船上午在A處，測(cè)得燈塔S在它的北偏東300處，且與它相距海里，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東750，此船的航速是(

)

參考答案：D5.下圖是長(zhǎng)和寬分別相等的兩個(gè)矩形．給定下列三個(gè)命題：①存在三棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如右圖；②存在四棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如右圖；③存在圓柱，其正(主)視圖、俯視圖如右圖．其中真命題的個(gè)數(shù)是()A．3

B．2C．1

D．0參考答案：A6.已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|﹣2＜x＜1，x∈z}，則A∩B=（）A．{0} B．[﹣1，1] C．{﹣1，0，1，2} D．D=[﹣2，3]參考答案：A【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】列舉出B中的元素確定出B，找出A與B的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|﹣2＜x＜1，x∈Z}={﹣1，0}，∴A∩B={0}，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．7.已知集合，等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B8.若a＞b，則下列四個(gè)不等式中必成立的是（

）A.ac＞bc B.＞C.a2＞b2 D.＞參考答案：D【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，逐一分析選項(xiàng)是否恒成立.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，不等式不成立；B.當(dāng)時(shí)，不等式不成立；C.當(dāng)時(shí)，不等式不成立；D.因?yàn)椋什坏仁奖爻闪?，故選：D.【點(diǎn)睛】本題以命題的真假判斷為載體，考查了不等式恒成立，不等式的基本性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.9.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足，，，則（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A∵，，，

∴，即是公比為3的等比數(shù)列，

當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，是公比為3的等比數(shù)列，首項(xiàng)為，

當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，是公比為3的等比數(shù)列，首項(xiàng)為，

則前2018項(xiàng)中含有1009個(gè)偶數(shù)，1009個(gè)奇數(shù)，

則故選A．

10.已知中，的對(duì)邊分別為，若且，則(

)A.2

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)f（x﹣1）=3x﹣1，則f（x）=．參考答案：3x+2【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法．【分析】由題意需要設(shè)x﹣1=t，再用t表示x，代入f（x﹣1）=3x﹣1進(jìn)行整理，然后再用x換t．【解答】解：設(shè)x﹣1=t，則x=t+1，代入f（x﹣1）=3x﹣1得，f（t）=3（t+1）﹣1=3t+2，∴f（x）=3x+2，故答案為：3x+2．12.如圖，曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)是

A．y=|sinx| B．y=sin|x| C．y=－sin|x| D．y=－|sinx|參考答案：C略13.（5分）若角θ的終邊過點(diǎn)P（﹣4，3），則sinθ+cosθ等于

．參考答案：﹣考點(diǎn)： 任意角的三角函數(shù)的定義．專題： 計(jì)算題；三角函數(shù)的求值．分析： 運(yùn)用任意角三角函數(shù)的定義，求出x，y，r，再由sinθ=，cosθ=，計(jì)算即可得到．解答： 角θ的終邊過點(diǎn)P（﹣4，3），則x=﹣4，y=3，r==5，sinθ==，cosθ==﹣，則有sinθ+cosθ=﹣=﹣．故答案為：﹣．點(diǎn)評(píng)： 本題考查任意角三角函數(shù)的定義，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14.若函數(shù)f（x）=|2x﹣1|﹣m有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．參考答案：（0，1）【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】把函數(shù)f（x）=|2x﹣1|﹣m的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|2x﹣1|與y=m的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合得答案．【解答】解：由f（x）=|2x﹣1|﹣m=0，得|2x﹣1|=m，畫出函數(shù)y=|2x﹣1|與y=m的圖象如圖，由圖可知，要使函數(shù)f（x）=|2x﹣1|﹣m有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，1）．故答案為：（0，1）．15.函數(shù)的最小正周期為為___________.參考答案：16.若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是______參考答案：517.函數(shù)f（x）=x2﹣2x+b的零點(diǎn)均是正數(shù)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是．參考答案：（0，1]【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【分析】根據(jù)一元二次函數(shù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2x+b的對(duì)稱軸為x=1＞0，∴要使函數(shù)f（x）=x2﹣2x+b的零點(diǎn)均是正數(shù)，則，即，解得0＜b≤1，故答案為：（0，1]三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱CC1上，已知，，（1）若點(diǎn)M在棱BB1上，且，求證：平面平面；（2）棱AB上是否存在一點(diǎn)E，使得平面證明你的結(jié)論。參考答案：（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）通過證明，進(jìn)而證明平面再證明平面平面；（2）取棱的中點(diǎn)，連接交于，結(jié)合三角形重心的性質(zhì)證明，從而證明平面.【詳解】（1）在直三棱柱中，由于平面，平面，所以平面平面．（或者得出）由于，是中點(diǎn)，所以．平面平面，平面，所以平面．而平面，于是．因?yàn)?，，所以，所以．與相交，所以平面,平面所以平面平面（2）為棱的中點(diǎn)時(shí)，使得平面，證明：連接交于，連接．因?yàn)?，為中線，所以為的重心，．從而．面，平面，所以平面【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明和線面平行的證明.面面垂直的證明要轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，線面平行的證明要轉(zhuǎn)化為證明線線平行.19.（1）（6分）計(jì)算（2）（7分）化簡(jiǎn).參考答案：略20.如圖，PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°.（1）求證：平面PAC⊥平面ABC；（2）求二面角M—AC—B的平面角的余弦值;（3）求三棱錐P—MAC的體積.參考答案：解：（1）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B

∴PC⊥平面ABC

又∵PC平面PAC

∴平面PAC⊥平面ABC（2）取BC的中點(diǎn)N，則CN=1，連接AN，MN，∵PM平行且等于CN，∴MN平行且等于PC，從而MN⊥平面ABC

直線AM與直線PC所成的角為60°

∴∠AMN＝60°

作NH⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于H，連接MH，則由三垂線定理知，AC⊥NH,

從而∠MHN為二面角M—AC—B的平面角,

在△ACN中，由余弦定理得在△AMN中，在△CNH中，,

在△MNH中，

故二面角M—AC—B的平面角余弦值為cosDMHN=（3）由（2）知，PCMN為正方形∴略21.如圖半圓O的直徑為4，A為直徑MN延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，B為半圓周上任一點(diǎn)，以AB為邊作等邊△ABC（A、B、C按順時(shí)針方向排列）（1）若等邊△ABC邊長(zhǎng)為a，，試寫出a關(guān)于的函數(shù)關(guān)系；（2）問為多少時(shí)，四邊形的面積最大？這個(gè)最大面積為多少？參考答案：（1）；（2）θ＝時(shí)，四邊形OACB的面積最大，其最大面積為．【分析】（1）根據(jù)余弦定理可求得（2）先表示出△ABC的面積及△OAB的面積，進(jìn)而表示出四邊形OACB的面積，并化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為正弦型函數(shù)的形式，再結(jié)合正弦型函數(shù)最值的求法進(jìn)行求解．【詳解】（1）由余弦定理得則（2）四邊形OACB的面積＝△OAB的面積+△ABC的面積則△ABC的面積△OAB的面積?OA?OB?sinθ?2?4?sinθ＝4sinθ四邊形OACB