2021年江蘇省連云港市溫泉中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

2021年江蘇省連云港市溫泉中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.為等差數(shù)列,為前項(xiàng)和,,則下列錯(cuò)誤的是（

）

參考答案：C2.函數(shù)的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)都有，則稱函數(shù)在D上為非減函數(shù)，設(shè)函數(shù)在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個(gè)條件：①；②；③，則等于

（

）

A．

B．

C．1

D．

參考答案：A略3.已知函數(shù)f(x)=cos(2x﹣)(x∈R)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．函數(shù)f（x）的最小正周期為πB．函數(shù)f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱C．函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上是減函數(shù)D．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱參考答案：C【考點(diǎn)】余弦函數(shù)的單調(diào)性．【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對(duì)稱軸處取得函數(shù)的最值，對(duì)稱中心是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，由x的范圍求得函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷選項(xiàng)命題的正誤．【解答】解：函數(shù)，f（x）的最小正周期為T==π，故A正確；當(dāng)x=時(shí)，y=cos（2×﹣）=0，∴f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B正確；x∈[0，]時(shí)，2x﹣∈[﹣，]，f（x）=cos（2x﹣）不是減函數(shù)，C錯(cuò)誤；當(dāng)x=時(shí)，y=cos（2×﹣）=為最大值，∴f（x）的圖象關(guān)于x=對(duì)稱，D正確．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題：三角函數(shù)在對(duì)稱軸處取得函數(shù)的最值，對(duì)稱中心是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)；函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值的求解采用整體處理；是基礎(chǔ)題目．4.已知函數(shù)f（x）=x3﹣x2﹣x+a的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）參考答案：D【分析】求出導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，求出極值，曲線f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化成f（x）極大值＜0或f（x）極小值＞0即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=x3﹣x2﹣x+a的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x2﹣2x﹣1，當(dāng)x＞1或x＜﹣時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；當(dāng)﹣＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．即有f（1）為極小值，f（﹣）為極大值．∵f（x）在（﹣∞，﹣）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x→﹣∞時(shí)，f（x）→﹣∞；又f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，∴當(dāng)f（x）極大值＜0或f（x）極小值＞0時(shí)，曲線f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)．即a+＜0或a﹣1＞0，∴a∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．5.曲線與直線及所圍成的封閉圖形的面積為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D6.設(shè)集合P={x|y=+1}，Q={y|y=x3}，則P∩Q= （

）A.? B.[0，+∞) C.(0，+∞) D.[1，+∞)參考答案：B7.設(shè)實(shí)數(shù)a使得不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則滿足條件的a所組成的集合是(

)A．

B．

C．

D．[－3,3]參考答案：A令，則有，排除B、D。由對(duì)稱性排除C，從而只有A正確。一般地，對(duì)k∈R，令，則原不等式為，由此易知原不等式等價(jià)于，對(duì)任意的k∈R成立。由于，所以，從而上述不等式等價(jià)于。8.已知函數(shù)f（x）=是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是（）A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a(chǎn)≤﹣2 D．a(chǎn)＜0參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】由函數(shù)f（x）上R上的增函數(shù)可得函數(shù)，設(shè)g（x）=﹣x2﹣ax﹣5，h（x）=，則可知函數(shù)g（x）在x≤1時(shí)單調(diào)遞增，函數(shù)h（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，且g（1）≤h（1），從而可求【解答】解：∵函數(shù)是R上的增函數(shù)設(shè)g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1）由分段函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]單調(diào)遞增，函數(shù)h（x）=在（1，+∞）單調(diào)遞增，且g（1）≤h（1）∴∴解可得，﹣3≤a≤﹣2故選B9.設(shè)、都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使成立的充分條件是（

）A、

B、

C、

D、且

參考答案：CA.可以推得為既不充分也不必要條件；B.可以推得或?yàn)楸匾怀浞謼l件；C．為充分不必要條件；D同B.10.已知集合A={x|﹣1＜x＜5}，B={x|x2≥4}，則?R（A∪B）=（）A．（﹣2，﹣1） B．（2，5） C．（﹣2，﹣1] D．（﹣∞，2）∪[5，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【分析】化簡(jiǎn)集合B，根據(jù)并集和補(bǔ)集的定義寫出運(yùn)算結(jié)果即可．【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜5}，B={x|x2≥4}={x|x≤﹣2或x≥2}，則A∪B={x|x≤﹣2或x＞﹣1}，所以?R（A∪B）={x|﹣2＜x≤﹣1}=（﹣2，﹣1]．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.對(duì)于直線平面，則“”是“”成立的

條件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中選填一個(gè)）．參考答案：必要不充分；12.已知向量，，，，如果∥，則

.參考答案：略13.設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2016，則不等式exf（x）＞ex+2015（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為．參考答案：{x丨x＞0}【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值即可求解．【解答】解：設(shè)g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），則g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞增，∵exf（x）＞ex+2015，∴g（x）＞2015，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=2016﹣1=2015，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，則不等式的解集為：{x丨x＞0}故答案為：{x丨x＞0}．14.在如圖所示的平面圖形中，已知，，，，，則的值為

參考答案：-615.已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)是1，公比為3，等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)是－5，公差為1，把{bn}中的各項(xiàng)按如下規(guī)則依次插入到{an}的每相鄰兩項(xiàng)之間，構(gòu)成新數(shù)列{cn}：，，，，，，，，，，…，即在an和an+1兩項(xiàng)之間依次插入{bn}中n個(gè)項(xiàng)，則

．（用數(shù)字作答）參考答案：1949由題意可得，an=3n﹣1，bn=﹣5+（n﹣1）×1=n﹣6，由題意可得，數(shù)列{cn}中的項(xiàng)為30，﹣5，31，﹣4，﹣3，32，﹣2，﹣1，0，33…，3n時(shí)，共有項(xiàng)為1+2+…+n+（n+1）=+n+1=，當(dāng)n=62時(shí)，=2016即此時(shí)共有2016項(xiàng)，且第2016項(xiàng)為362，∴c2018=b1955=1955﹣6=1949．故答案為：1949．

16.數(shù)列{2n﹣1}的前n項(xiàng)1，3，7，…，2n﹣1組成集合（n∈N*），從集合An中任取k（k=1，2，3，…，n）個(gè)數(shù)，其所有可能的k個(gè)數(shù)的乘積的和為Tk（若只取一個(gè)數(shù)，規(guī)定乘積為此數(shù)本身），記Sn=T1+T2+…+Tn，例如當(dāng)n=1時(shí)，A1={1}，T1=1，S1=1；當(dāng)n=2時(shí)，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1×3=7，試寫出Sn=．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷．【分析】通過計(jì)算出S3，并找出S1、S2、S3的共同表示形式，進(jìn)而利用歸納推理即可猜想結(jié)論．【解答】解：當(dāng)n=3時(shí)，A3={1，3，7}，則T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21，∴S3=T1+T2+T3=11+31+21=63，由S1=1=21﹣1=﹣1，S2=7=23﹣1=﹣1，S3=63=26﹣1=﹣1，…猜想：Sn=﹣1，故答案為：﹣1．17.設(shè)，且，則的最小值為

．參考答案：2+3∵a＞0，b＞0，且ab=2a+b，b=＞0，解得a＞1．則a+b=a+=a﹣1++3≥3+2=3+2，當(dāng)且僅當(dāng)a=+1時(shí)取等號(hào)．∴a+b的最小值為2+3．故答案為：．【考查方向】本題考查了變形利用基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．【易錯(cuò)點(diǎn)】均值不等式中二元化一元的應(yīng)用。【解題思路】a＞0，b＞0，且ab=2a+b，b=＞0，解得a＞1．變形a+b=a+=a﹣1++3，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）已知，滿足．（1）將表示為的函數(shù)，并求的最小正周期；（2）（文）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：解（1）由得…………3分即所以，其最小正周期為．

…………6分（文）（2）,因此的最小值為，…………9分由恒成立，得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

………12分19.（本小題滿分12分）ks5u已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是,且.(1)求的值；(2)求的值.

參考答案：（1）解:∵,依據(jù)正弦定理得:,

……………1分即,解得.

……………3分(2)解:∵，

∴.

……………4分

∴.

……………5分∴,

……………6分

.

……………7分∵,∴.

……………8分∴

……………9分

……………10分

.

……………12分20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)M（0，1）的橢圓Γ：（a＞b＞0）的離心率為.（1）求橢圓Γ的方程；（2）已知直線l不過點(diǎn)M，與橢圓Γ相交于P，Q兩點(diǎn)，若△MPQ的外接圓是以PQ為直徑，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）由過點(diǎn)M（0，1）的橢圓Γ：=1（a＞b＞0）的離心率為，得到a，b，c的方程組，解方程組求出a，b，由此能求出橢圓方程．（2）△MPQ的外接圓以PQ為直徑，可得到MP⊥MQ，設(shè)直線MP方程，代入橢圓方程，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，同理求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出直線PQ的方程，即可求出直線PQ過定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵過點(diǎn)M（0，1）的橢圓Γ：=1（a＞b＞0）的離心率為，∴，解得a2=3，b=1，∴橢圓Γ的方程為．（2）證明：∵△MPQ外接圓是以PQ為直徑，故MP⊥MQ，∴直線MP與坐標(biāo)軸不垂直，由M（0，1）可設(shè)直線MP的方程為y=kx+1，直線MQ的方程為y=﹣（k≠0），將y=kx+1代入橢圓Γ的方程，整理，得；（1+3k2）x2+6kx=1，解得x=0，或x=﹣，∴P（﹣，﹣+1），即P（﹣，），同理，求得Q（，），∴直線l的方程為y=（x﹣）+，化簡(jiǎn)，得直線l的方程為y=，∴直線l過定點(diǎn)（0，﹣）．21.三棱錐P﹣ABC，底面ABC為邊長(zhǎng)為的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D為AP上一點(diǎn)，AD=2DP，O為底面三角形中心．（Ⅰ）求證DO∥面PBC；（Ⅱ）求證：BD⊥AC；（Ⅲ）設(shè)M為PC中點(diǎn)，求二面角M﹣BD﹣O的余弦值．參考答案：考點(diǎn)：直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)；二面角的平面角及求法．專題：計(jì)算題；證明題；空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（Ⅰ）連接AO交BC于點(diǎn)E，連接PE，通過DO∥PE，利用直線與平面平行的判定定理，證明求證DO∥面PBC；（Ⅱ）通過證明AC⊥平面DOB，利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明BD⊥AC；（Ⅲ）設(shè)M為PC中點(diǎn)，以EA，EB，EP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出A、B、P、C、D、M的坐標(biāo)，求出向量，，設(shè)出平面BDM的法向量為，利用，求出，利用求二面角M﹣BD﹣O的余弦值．解答： （本小題滿分12分）證明：（Ⅰ）連接AO交BC于點(diǎn)E，連接PE．∵O為正三角形ABC的中心，∴AO=2OE，且E為BC中點(diǎn)．又AD=2DP，∴DO∥PE，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵DO?平面PBC，PE?平面PBC∴DO∥面PBC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）∵PB=PC，且E為BC中點(diǎn)，∴PE⊥BC，又平面PBC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由（Ⅰ）知，DO∥PE，∴DO⊥平面PBC，∴DO⊥AC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣連接BO，則AC⊥BO，又DO∩BO=O，∴AC⊥平面DOB，∴AC⊥BD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，EA，EB，EP兩兩互相垂直，且E為BC中點(diǎn)，所以分別以EA，EB，EP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣