新人教版高中數(shù)學(xué)教材例題課后習(xí)題必修二62平面向量的運(yùn)算習(xí)題

6.2平面向量的運(yùn)算習(xí)題復(fù)習(xí)鞏固1.如果表示“向東走”，表示“向西走”，表示“向北走”，表示“向南走”，那么下列向量具有什么意義？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】（1）向東走；（2）向東走；（3）向東北走；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向東南走.【解析】【分析】由向量加法及其幾何意義和位移的關(guān)系可得.【詳解】由題意知：表示“向東走”，表示“向西走”，表示“向北走”，表示“向南走”（1）表示“向東走”（2）表示“向東走”（3）表示“向東北走”（4）表示“向西南走”（5）表示“向西北走”（6）表示“向東南走”【點(diǎn)睛】本題考查向量加法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.2.一架飛機(jī)向北飛行，然后改變方向向西飛行，求飛機(jī)飛行的路程及兩次位移的合成.【答案】飛機(jī)飛行的路程為；兩次位移的合成是向北偏西約53°方向飛行.【解析】【分析】由向量的加減運(yùn)算，即可得出結(jié)論.【詳解】由向量的加減運(yùn)算可知：飛機(jī)飛行的路程是；兩次位移的合成是向北偏西約53°，方向飛行.【點(diǎn)睛】本題考查向量的加法及其幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，區(qū)分路程、位移是關(guān)鍵.3.一艘船垂直于對(duì)岸航行，航行速度的大小為，同時(shí)河水流速的大小為求船實(shí)際航行的速度的大小與方向（精確到l°）.【答案】，方向與水流方向成76°角【解析】【分析】利用向量的加法運(yùn)算，模的運(yùn)算，勾股定理，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)船的航行速度為，水流速度為，船的實(shí)際航行速度為v，v與的夾角為，則由，得.船實(shí)際航行的速度的大小為，方向與水流方向成76°角.【點(diǎn)睛】本題以實(shí)際問題為載體，考查向量的加法運(yùn)算，考查三角函數(shù)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.4.化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.【答案】（1）.（2）（3）.（4）（5）（6）.（7）【解析】【分析】根據(jù)平面向量的加法與減法的運(yùn)算法則，對(duì)每一個(gè)小題進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】解：（1）原式.（2）原式（3）原式.（4）原式（5）原式（6）原式.（7）原式【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的加法與減法的運(yùn)算問題，屬于基礎(chǔ)題.5.作圖驗(yàn)證：（1）（2）【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】根據(jù)向量的平行四邊形法則，畫圖驗(yàn)證即可.【詳解】解：如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)，則.（1）因?yàn)?，所以?）因?yàn)?，所以【點(diǎn)睛】本題考查向量的平行四邊形法則，屬于基礎(chǔ)題.6.（1）已知向量,,求作向量，使.（2）（1）中表示,,的有向線段能構(gòu)成三角形嗎？【答案】（1）見解析.（2）當(dāng)，共線時(shí)，不能構(gòu)成三角形，當(dāng)，不共線時(shí)能構(gòu)成三角形.【解析】【分析】作平行四邊形，使得，，可得，由于，可得，或作，使得，，，即可得出.【詳解】（1）方法一：如圖所示，當(dāng)向量,兩個(gè)不共線時(shí)，作平行四邊形，使得，，則，又，所以，即，方法二：利用向量的三角形法則，如下圖：作，使得，，，則，即，當(dāng)向量,兩個(gè)共線時(shí)，如下圖：使得，，則，，所以，，即.（2）向量,兩個(gè)不共線時(shí)，表示,,的有向線段能構(gòu)成三角形，向量,兩個(gè)共線時(shí)，,,的有向線段不能構(gòu)成三角形.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的三角形法則，平行四邊形法則、分類討論方法，考查了作圖能力，屬于基礎(chǔ)題.7.已知，為兩個(gè)非零向量，（1）求作向量；（2）當(dāng)向量，成什么位置關(guān)系時(shí)，滿足？（不要求證明）【答案】（1）見解析.（2）【解析】【分析】根據(jù)向量的三角形法則，作出圖象即可.【詳解】（1）當(dāng)向量,兩個(gè)不共線時(shí)，作，使得，，，，所以，當(dāng)向量,兩個(gè)同向且共線時(shí)，作，，，所以，當(dāng)向量,兩個(gè)反向且共線時(shí)，作，，，所以，，（2）當(dāng)時(shí)，滿足，如圖，作矩形，作，，所以，，.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的知識(shí)，考查了學(xué)生的動(dòng)手能力，解題的關(guān)鍵是掌握三角形法則的應(yīng)用，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8.化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，對(duì)每一個(gè)小題進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）.（2）.（3）.（4）.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．9..求證.【答案】見解析【解析】【分析】直接由已知結(jié)合向量減法的三角形法則可得.【詳解】證明：因?yàn)?，而，所?【點(diǎn)睛】本題考查共線向量基本定理，考查了向量減法的三角形法則，屬于基礎(chǔ)題.10.填空：（1）若,滿足,則的最大值為____________，最小值為____________；（2）當(dāng)非零向量,滿足_____________時(shí)，平分與的夾角.【答案】①.5②.1③.【解析】【分析】利用即可得到結(jié)論.【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)，同向時(shí)取等號(hào)，又，當(dāng)且僅當(dāng)，反向時(shí)取等號(hào)，.（2）當(dāng)時(shí)，為以,為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線，此時(shí)的平行四邊形為菱形，對(duì)角線恰好平分與的夾角.答案：（1）5，1;（2）【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.11.（1）已知,且與的夾角，求；（2）已知,且,求.【答案】（1）；；（2）；【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積公式和向量的模即可求出；（2）根據(jù)向量的數(shù)量積公式和向量的模即可求出.【詳解】解：（1）；（2）【點(diǎn)睛】本題考查了向量的模和向量的數(shù)量積，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12.求證：.【答案】見解析【解析】【分析】分，，討論即可得到結(jié)論.【詳解】證明：（1）設(shè)，的夾角為，當(dāng)時(shí)，.成立.（2）當(dāng)時(shí)，與同向，與同向，與的夾角為，與的夾角為.，，成立.（3）當(dāng)時(shí)，與反向，與反向，與的夾角為，與的夾角為.,,,成立.綜上可知，原等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律，屬于基礎(chǔ)題.綜合運(yùn)用13.根據(jù)下列各小題中的條件，分別判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明：（1）；（2）；（3），且.【答案】（1）平行四邊形.見解析（2）梯形，見解析（3）菱形，見解析【解析】【分析】（1）由，可得，，即可判斷出四邊形的形狀；（2）由，可得，，即可判斷出四邊形的形狀；（3）由，且，可得四邊形是有一組鄰邊相等的平行四邊形，即可判斷出四邊形的形狀.【詳解】解：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，證明如下：且.且，∴四邊形ABCD是平行四邊形.（2）四邊形ABCD是梯形，證明如下：.又，，即，∴四邊形ABCD是梯形.（3）四邊形ABCD是菱形，證明如下：且.且，∴四邊形ABCD是平行四邊形.又，∴四邊形ABCD是菱形.【點(diǎn)睛】本題考查了向量相等的意義、特殊四邊形的判定，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題.14.在中，，且與邊AC相交于點(diǎn)E，的中線AM與DE相交于點(diǎn)N.設(shè)，用，分別表示向量.【答案】，.【解析】【分析】直接利用向量共線即可得到結(jié)論.【詳解】如圖，.【點(diǎn)睛】本題考查向量共線的表示，屬于基礎(chǔ)題.15.如圖，在任意四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)．求證：+=2．【答案】證明詳見解析．【解析】【詳解】根據(jù)平面向量的加法意義，得，，又∵E，F(xiàn)分別為AD，BC中點(diǎn)，∴0，0；∴2=（++）+（++）=（+）+（+）+（+）=+，即．16.飛機(jī)從甲地沿北偏西15°的方向飛行1400km到達(dá)乙地，再從乙地沿南偏東75°的方向飛行1400km到達(dá)丙地，畫出飛機(jī)飛行的位移示意圖，并說明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多遠(yuǎn)？【答案】圖見解析，北偏東45°方向，距甲地1400km.【解析】【分析】作出方位示意圖，構(gòu)造等腰三角形，解這個(gè)三角形即可得出答案【詳解】如圖，丙地在甲地的北偏東45°方向，距甲地1400km.設(shè)甲地為，乙地為，丙地為，作出示意圖，則，，，，是等邊三角形，，，，即丙地在甲地北偏東，丙地距甲地.【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用，畫出草圖是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.17.（1）如圖（1），在中，計(jì)算；（2）如圖（2），在四邊形ABCD中，計(jì)算；（3）如圖（3），在n邊形中，證明你的結(jié)論.【答案】（1）（2）（3），見解析【解析】【分析】根據(jù)向量的加法法則直接對(duì)各式計(jì)算即可.【詳解】解：（1）（2）.（3）.證明如下：【點(diǎn)睛】本題考查向量加法的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.18.已知，求與的夾角.【答案】【解析】【分析】根據(jù)可求出，再根據(jù)求夾角，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，即，所以，因此，所以與的夾角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查求向量的夾角，熟記向量的夾角公式，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算法則即可，屬于?？碱}型.19.已知.且.求與的夾角（精確到1°）.（可用計(jì)算工具）【答案】【解析】【分析】先利用模的運(yùn)算得，再利用向量夾角公式即可得到結(jié)論.【詳解】，用計(jì)算器算得.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的模，向量夾角公式，屬于基礎(chǔ)題.20.已知是非零向量，，求證：【答案】見解析【解析】【分析】從向量數(shù)量積相等入手，移項(xiàng)變形，得到數(shù)量積為0即可.【詳解】證法1：證法2：設(shè).先證.由得.即而，所以再證由得.即，因此.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積為0的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.拓廣探索21.已知的外接圓圓心為O,且,則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的運(yùn)算法則將已知等式化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而得到為正三角形，從而得到結(jié)論.【詳解】如圖，由知O為BC的中點(diǎn)，又∵O為的外接圓圓心，又為正三角形，，在上的投影向量為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的含義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量的運(yùn)算法則，本題是基本知識(shí)與技能考查題，主要考查了向量運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.22.如圖，O是平行四邊形ABCD外一點(diǎn)，用表示.【答案】【解析】【分析】由，，，即可得到結(jié)論.【詳解】.【點(diǎn)睛】本題考查向量加法，向量減法，屬于基礎(chǔ)題.23.已知O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且向量滿足等式.（1）作出滿足條件的四邊形ABCD.（2）四邊形ABCD有什么特點(diǎn)？請(qǐng)證明你的猜想.【答案】（1）見解析（2）平行四邊形.見解析【解析】【分析】（1）直接作圖即可；（2）結(jié)論：四邊形ABCD為平行四邊形；將表達(dá)式變形，利用向量減法運(yùn)算法則即可得到結(jié)論.【詳解】（1）作圖，通過作圖可以發(fā)現(xiàn)四邊形ABCD為平行四邊形.（2）四邊形ABCD為平行四邊形，證明如下：因?yàn)?，所以，因?yàn)?所以，即，因此四邊形ABCD為平行四邊形.【點(diǎn)睛】本題考查向量減法的運(yùn)算法則，對(duì)表達(dá)式的靈活