圓錐曲線(xiàn)講義終極版

圓錐曲線(xiàn)講義終極版

圓錐曲線(xiàn)橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)是圓錐曲線(xiàn)的三種基本形式。它們的定義和幾何性質(zhì)如下：橢圓：動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離PF與到定直線(xiàn)l的距離PL之和等于2a，其中a為長(zhǎng)軸的一半，F(xiàn)和L稱(chēng)為橢圓的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0），焦點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)為（±a,0），離心率為e=c/a（c為焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離）。雙曲線(xiàn)：動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離PF與到定直線(xiàn)l的距離PL之差等于2a，其中a為實(shí)軸的一半，F(xiàn)和L稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)。雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>b>0），焦點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)為（±a,0），離心率為e=c/a（c為焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離）。拋物線(xiàn)：動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離PF等于到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離PL，其中F和L稱(chēng)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)。拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y^2=2px（p>0），焦點(diǎn)在x軸正半軸上，頂點(diǎn)為（0,0），離心率為e=1。點(diǎn)的坐標(biāo)的處理對(duì)于給定的點(diǎn)A（x1,y1）和B（x2,y2），它們的中點(diǎn)坐標(biāo)為（(x1+x2)/2，(y1+y2)/2）。對(duì)于任意點(diǎn)M（xM，yM），它在x軸上的投影為（xM，0）。直線(xiàn)方程的處理過(guò)點(diǎn)A（t，k）的直線(xiàn)方程為y-k=k(x-t)（斜率存在），或者x=t（斜率不存在）。過(guò)點(diǎn)A（a，0）和B（b，0）的直線(xiàn)（截距式）為y=mx+n，其中m=(0-0)/(a-b)=0，n=0。過(guò)拋物線(xiàn)x^2=2py（p>0）上的一點(diǎn)P（x,y）的切線(xiàn)方程為y=2px。硬解定理設(shè)直線(xiàn)Ax+By+C=0與橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1相交于點(diǎn)A（x1，y1）和點(diǎn)B（x2，y2），則有A^2+B^2-C^2/a^2-b^2=0。以上是圓錐曲線(xiàn)的基本知識(shí)點(diǎn)，掌握好這些內(nèi)容可以幫助我們更好地理解和應(yīng)用圓錐曲線(xiàn)。以下是修正過(guò)格式錯(cuò)誤和刪除有問(wèn)題段落后的文章：在解決平面幾何問(wèn)題時(shí)，常常需要求出圖形的面積。下面介紹幾種常見(jiàn)的面積問(wèn)題及其解法。1.三角形面積三角形的面積可以用海倫公式求解：設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)度分別為a、b、c，半周長(zhǎng)為p=(a+b+c)/2，則三角形的面積S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]。其中sqrt表示開(kāi)方。另一種求解三角形面積的方法是用向量叉積，設(shè)三角形的兩條邊向量分別為u、v，則三角形的面積S=1/2|u×v|，其中×表示向量叉積，|u×v|表示向量叉積的模。2.四邊形面積四邊形的面積可以用以下公式求解：（1）對(duì)角線(xiàn)法則：設(shè)四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度分別為d1、d2，夾角為θ，則四邊形的面積S=1/2d1d2sinθ。（2）海龍公式：設(shè)四邊形的四條邊長(zhǎng)度分別為a、b、c、d，半周長(zhǎng)為p=(a+b+c+d)/2，則四邊形的面積S=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)]。（3）矩形面積公式：設(shè)矩形的長(zhǎng)和寬分別為a、b，則矩形的面積S=ab。（4）平行四邊形面積公式：設(shè)平行四邊形的底邊長(zhǎng)度為a，高為h，則平行四邊形的面積S=ah。3.圓形面積圓形的面積可以用以下公式求解：（1）圓的面積公式：設(shè)圓的半徑為r，則圓的面積S=πr^2，其中π≈3.14。（2）扇形面積公式：設(shè)圓的半徑為r，圓心角為θ，則扇形的面積S=1/2r^2θ，其中θ用弧度制表示。（3）圓環(huán)面積公式：設(shè)圓的半徑為r1，圓環(huán)的寬度為r2，則圓環(huán)的面積S=π(r1^2-r2^2)。以上是常見(jiàn)的面積問(wèn)題及其解法，掌握這些方法可以幫助我們更好地解決平面幾何問(wèn)題。點(diǎn)P(xy)到直線(xiàn)Ax+By+C=0的距離為d=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)。在橢圓中，點(diǎn)P(x,y)到直線(xiàn)Ax+By+C=0的距離為d=√[(4a^2b^2B^2)/(a^2A^2+b^2B^2-C^2)]，其中aa為二次項(xiàng)系數(shù)。在雙曲線(xiàn)中，只需將上式中的b改為-b即可。對(duì)于橢圓2x^2/a^2+2y^2/b^2=1，其面積為S=πab，其中a和b分別為長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)度。對(duì)于橢圓2x^2/a^2+2y^2/b^2=1，弦AB的長(zhǎng)度為√[4abA(aA+bB-C)/(a^2A^2+b^2B^2)]，其中A、B、C為方程Ax+By+C=0的系數(shù)。對(duì)于橢圓2x^2/a^2+2y^2/b^2=1，中點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)為[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]，其中(x1,y1)和(x2,y2)為弦AB的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)。對(duì)于橢圓2x^2/a^2+2y^2/b^2=1，過(guò)曲線(xiàn)上點(diǎn)P(x0,y0)的切線(xiàn)方程為xx0/a^2+yy0/b^2=1，過(guò)曲線(xiàn)外點(diǎn)Q(x1,y1)且與曲線(xiàn)相切的兩條切線(xiàn)方程分別為xx1/a^2+yy1/b^2=1和xx1/a^2-yy1/b^2=1，其中a和b分別為長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)度。對(duì)于雙曲線(xiàn)x^2/a^2-y^2/b^2=1，弦AB的長(zhǎng)度為√[4abA(aA+bB-C)/(a^2A^2-b^2B^2)]，其中A、B、C為方程Ax+By+C=0的系數(shù)。對(duì)于雙曲線(xiàn)x^2/a^2-y^2/b^2=1，中點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)為[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]，其中(x1,y1)和(x2,y2)為弦AB的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)。對(duì)于雙曲線(xiàn)x^2/a^2-y^2/b^2=1，過(guò)曲線(xiàn)上點(diǎn)P(x0,y0)的切線(xiàn)方程為xx0/a^2-yy0/b^2=1，過(guò)曲線(xiàn)外點(diǎn)Q(x1,y1)且與曲線(xiàn)相切的兩條切線(xiàn)方程分別為xx1/a^2-yy1/b^2=1和yy1/b^2-xx1/a^2=1，其中a和b分別為長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)度。對(duì)于拋物線(xiàn)x^2=2py，定比分點(diǎn)A(x1,y1)和B(x2,y2)的比為λ，則分點(diǎn)F(xF,yF)的坐標(biāo)為xF=(x1+λx2)/(1+λ)和yF=(y1+λy2)/(1+λ)。弦AB的長(zhǎng)度為√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]，其中p為拋物線(xiàn)的焦距。對(duì)于二次方程ax^2+bx+c=0，其兩個(gè)根x1和x2的比為x1:x2=b±√(b^2-4ac)/2a。1、平行四邊形OAMB的面積為OA乘以MB的長(zhǎng)度。2、點(diǎn)M(m,n)在角θ的平分線(xiàn)上，當(dāng)且僅當(dāng)它到OA的距離等于它到OB的距離。3、已知OA加n乘以O(shè)B等于OA減n乘以O(shè)B，則n等于1。4、要證明A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，可以計(jì)算斜率，如果斜率相等，則三點(diǎn)共線(xiàn)。5、過(guò)點(diǎn)P(x,y)的兩直線(xiàn)l1和l2關(guān)于x=y對(duì)稱(chēng)，可以將l1和l2的斜率互換，再將y和x互換，得到對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程。6、以AB（A(x1,y1)，B(x2,y2)）為直徑的圓過(guò)點(diǎn)M(m,n)的圓心坐標(biāo)為((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，半徑為AB的長(zhǎng)度的一半。7、三角形ABC的重心的坐標(biāo)為((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)。8、設(shè)∠F1PF2=θ，當(dāng)θ為銳角時(shí)，PF1×PF2>0；當(dāng)θ為直角時(shí)，PF1×PF2=0；當(dāng)θ為鈍角時(shí)，PF1×PF2<0。9、若PA=PB（lAB:y=kx+m,P(x,y)、A(x1,y1)、B(x2,y2)），則三角形PAB是等腰三角形，且PA和PB的斜率相等。題型1：圓錐曲線(xiàn)軌跡問(wèn)題1、已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)和過(guò)點(diǎn)A(2,-3)，且橢圓C過(guò)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，求橢圓C的方程。根據(jù)橢圓的定義，橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于定值2a，可以列出方程組求解。2、已知F1、F2是橢圓4x2+9y2=36的焦點(diǎn)，且延長(zhǎng)F1P到Q使得PQ=PF2，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程。根據(jù)橢圓的性質(zhì)，任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于定值2a，可以列出方程組求解。3、已知?jiǎng)訄AP過(guò)定點(diǎn)A(-3,1)，并且在定圓B:(x-3)2+y2=64的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程。根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)，動(dòng)圓在與定圓相切的時(shí)候，動(dòng)圓圓心與定圓圓心連線(xiàn)垂直于切點(diǎn)處的切線(xiàn)，可以列出方程求解。4、一動(dòng)圓與定圓x2+y2+4y-32=0內(nèi)切且過(guò)定點(diǎn)A(4,2)，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程。根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)，動(dòng)圓在與定圓相切的時(shí)候，動(dòng)圓圓心與定圓圓心連線(xiàn)垂直于切點(diǎn)處的切線(xiàn)，可以列出方程求解。5、已知圓C1:(x+3)2+y2=4，圓C2:(x-3)2+y2=100，動(dòng)圓P與C1外切，與C2內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程。根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)，動(dòng)圓在與圓C1相切的時(shí)候，動(dòng)圓圓心到圓心的距離等于圓C1的半徑，動(dòng)圓在與圓C2相切的時(shí)候，動(dòng)圓圓心到圓心的距離等于圓C2的半徑，可以列出方程組求解。6、已知三角形ABC的坐標(biāo)A(-1,1)，B的坐標(biāo)為(-2,3)，C的坐標(biāo)為(1,-2)，且AB、BC、AC的長(zhǎng)度成等差數(shù)列，求點(diǎn)A的軌跡方程?？梢粤谐鯝B、BC、AC的長(zhǎng)度之間的關(guān)系式，解出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，列出點(diǎn)A到AB、BC、AC的距離之和等于定值的方程，求解即可。7、已知A(-1,1)，B是圓F:(x-2)2+y2=4上一動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交圓F于P，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。根據(jù)圓的性質(zhì)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)過(guò)圓心，可以列出圓心坐標(biāo)的方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，列出點(diǎn)P到AB的距離等于定值的方程，求解即可。8、已知曲線(xiàn)C的方程為$x^2+y^2+2x+1+x^2+y^2-2x+1=4$，求曲線(xiàn)C的軌跡方程。化簡(jiǎn)得到$2x^2+2y^2+2=4$，即$x^2+y^2=1$，所以曲線(xiàn)C是一個(gè)單位圓，其軌跡方程為$x^2+y^2=1$。9、一條線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為$2a$，兩端點(diǎn)分別在$x$軸、$y$軸上滑動(dòng)，點(diǎn)M在線(xiàn)段AB上，且$AM:MB=1:2$，求點(diǎn)M的軌跡方程。設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為$(t,0)$，點(diǎn)B的坐標(biāo)為$(0,2a-t)$，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為$(\frac{2t}{3},\frac{2(2a-t)}{3})$。所以點(diǎn)M的軌跡方程為$x=\frac{2t}{3}$，$y=\frac{2(2a-t)}{3}$。10、已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是$(0,\pm5\sqrt{2})$，直線(xiàn)$l:3x-y-2=0$被橢圓截得線(xiàn)段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，求橢圓方程。設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸為$2a$，短軸為$2b$，則焦距為$c=\sqrt{a^2-b^2}$，即$c=5\sqrt{2}$。設(shè)橢圓的中心為$(0,0)$，則橢圓的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。設(shè)線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)為$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，則中點(diǎn)的坐標(biāo)為$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。由于$l$被橢圓截得線(xiàn)段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，所以$l$與橢圓的交點(diǎn)為$(1,3)$和$(1,-3)$。設(shè)交點(diǎn)為$(x_0,y_0)$，則有$3x_0-y_0-2=0$。由于交點(diǎn)在橢圓上，所以$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$。將$3x_0-y_0-2=0$代入上式，得到$\frac{9x_0^2}{a^2}+\frac{(3x_0-2)^2}{b^2}=1$。由于交點(diǎn)為$(1,3)$和$(1,-3)$，所以可以列出方程組：$\begin{cases}\frac{9}{a^2}+\frac{16}{b^2}=1\\\frac{9}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1\end{cases}$解得$a=3\sqrt{2}$，$b=\sqrt{2}$。所以橢圓的方程為$\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{2}=1$。2411、若$\triangleABC$的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是$B(0,6)$和$C(0,-6)$，另兩邊AB、AC的斜率的乘積是$-$，求頂點(diǎn)A的軌跡方程。設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為$(x,y)$，則AB的斜率為$\frac{y-6}{x-0}=\frac{y-6}{x}$，AC的斜率為$\frac{y+6}{x-0}=\frac{y+6}{x}$。由于AB、AC的斜率的乘積為$-$，所以$y^2-36=x^2$。所以頂點(diǎn)A的軌跡方程為$x^2-y^2+36=0$。12、已知圓$x^2+y^2=9$，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向x軸引垂線(xiàn)段PP'，垂足為P'，點(diǎn)M在PP'上，并且$PM=2MP'$，求點(diǎn)M的軌跡。設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為$(x,y)$，則垂線(xiàn)PP'的斜率為$-\frac{x}{y}$，所以PP'的方程為$y-\frac{y}{x}x=0$。設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為$(x,t)$，則有$t=\frac{y}{3}$，$PM=\sqrt{(x-0)^2+(y-t)^2}=2\sqrt{(x-0)^2+(t-0)^2}=2\sqrt{x^2+\frac{y^2}{9}}$，$MP'=\sqrt{(x-0)^2+(t-y)^2}=\sqrt{x^2+\frac{4y^2}{9}}$。由于$PM=2MP'$，所以$4(x^2+\frac{y^2}{9})=x^2+\frac{4y^2}{9}$，即$3x^2=y^2$。所以點(diǎn)M的軌跡方程為$3x^2=y^2$。13、已知圓$x^2+y^2=1$，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)向x軸引垂線(xiàn)段PP'，則線(xiàn)段PP'的中點(diǎn)M的軌跡方程是。設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為$(x,y)$，則垂線(xiàn)PP'的方程為$x=0$，垂線(xiàn)段PP'的長(zhǎng)度為$2|y|$，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為$(0,\frac{y}{2})$。所以點(diǎn)M的軌跡方程為$y=2x$。14、已知$\frac{AB}{BC}:\frac{BC}{AC}=1:2$，$\triangleABC$的周長(zhǎng)為6，則$\triangleABC$的頂點(diǎn)C的軌跡方程是。設(shè)$\triangleABC$的邊長(zhǎng)分別為$a,b,c$，則$\frac{AB}{BC}:\frac{BC}{AC}=1:2$可以推出$AB=\frac{a}{3}$，$BC=\frac{2a}{3}$，$AC=\frac{4a}{3}$。由周長(zhǎng)為6得到$a+b+c=6$，代入上式得到$b+c=5a$。設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為$(x,y)$，則根據(jù)余弦定理得到$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA=(\frac{a}{3})^2+(\frac{2a}{3})^2-2\cdot\frac{a}{3}\cdot\frac{2a}{3}\cdot\cosA$，即$\cosA=\frac{1}{2}$。所以$\triangleABC$是一個(gè)等邊三角形，即$a=b=c=2$。所以點(diǎn)C的軌跡方程為$x^2+y^2=4$。15、已知橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，$A,B$分別是長(zhǎng)軸的左右兩個(gè)端點(diǎn)，$P$為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求$AP$中點(diǎn)的軌跡方程。設(shè)橢圓的中心為$(0,0)$，則長(zhǎng)軸為$2a=10$，短軸為$2b=8$。設(shè)點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(x,y)$，則$AP$中點(diǎn)的坐標(biāo)為$(\frac{x}{2},\frac{y}{2})$。由于點(diǎn)$A$和點(diǎn)$B$分別是橢圓的左右兩個(gè)端點(diǎn)，所以它們的坐標(biāo)分別為$(-5,0)$和$(5,0)$。所以$AP$中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{x-5}{2}$或$\frac{x+5}{2}$，縱坐標(biāo)為$\frac{y}{2}$。由$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$得到$x^2=25(1-\frac{y^2}{16})$，所以$AP$中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{5\pm\sqrt{25-y^2}}{2}$，縱坐標(biāo)為$\frac{y}{2}$。所以$AP$中點(diǎn)的軌跡方程為$(\frac{5+\sqrt{25-y^2}}{2})^2+(\frac{y}{2})^2=25$或$(\frac{5-\sqrt{25-y^2}}{2})^2+(\frac{y}{2})^2=25$。16、已知直線(xiàn)$l_1:ax-y+1=0$，直線(xiàn)$l_2:x+5ay+5a=0$，直線(xiàn)$l_1$與$l_2$的交點(diǎn)為$M$，當(dāng)$a$變化時(shí)，求點(diǎn)$M$的軌跡方程。將$l_1$和$l_2$的方程聯(lián)立，得到交點(diǎn)$M$的坐標(biāo)為$(\frac{5a+1}{a^2+1},\frac{a^2-5a}{a^2+1})$。所以點(diǎn)$M$的軌跡方程為$(x-\frac{5a+1}{a^2+1})^2+(y-\frac{a^2-5a}{a^2+1})^2=\frac{1}{a^2+1}$。17、已知橢圓的方程為$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，$M$是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)$C,D$的坐標(biāo)分別是$(3,-4)$和$(-3,4)$，直線(xiàn)$OM$與$ON$的斜率之積為$-1$，問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)$F_1$和$F_2$，使得$PF_1+PF_2$為定值？設(shè)點(diǎn)$M$的坐標(biāo)為$(x,y)$，則直線(xiàn)$OM$的斜率為$\frac{y}{x}$，直線(xiàn)$ON$的斜率為$\frac{y}{-x}$，所以$\frac{y^2}{x^2}=-1$，即$x^2=-y^2$。設(shè)點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(p,q)$，則$PF_1+PF_2=2\sqrt{(p-3)^2+(q+4)^2}+2\sqrt{(p+3)^2+(q-4)^2}$。由于$P$在橢圓上，所以$\frac{p^2}{25}+\frac{q^2}{16}=1$。將$x^2=-y^2$代入$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，得到$\frac{x^2}{25}-\frac{x^2}{16}=1$，即$x^2=\frac{400}{9}$，$y^2=-\frac{400}{9}$。所以點(diǎn)$F_1$和點(diǎn)$F_2$的坐標(biāo)分別為$(\pm\frac{20}{3},0)$。將$PF_1+PF_2$代入$\frac{p^2}{25}+\frac{q^2}{16}=1$，得到$(p-3)^2+(q+4)^2+(p+3)^2+(q-4)^2=\frac{225}{4}$。展開(kāi)后化簡(jiǎn)得到$p^2+q^2-6p+8q+8=0$。所以點(diǎn)$P$的軌跡方程為$p^2+q^2-6p+8q+8=0$。18、已知橢圓的方程為$\frac{x^2}{a^2DF+BE=0，若存在，求直線(xiàn)的數(shù)量。若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因。已知點(diǎn)M(4,0)，N(1,0)，若動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足MN·MP=6|PN|，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程和過(guò)點(diǎn)N的直線(xiàn)l與軌跡C的交點(diǎn)A、B滿(mǎn)足-1812≤NA·NB≤-75，求直線(xiàn)l的斜率的取值范圍。已知橢圓C：x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a>b>0，有兩個(gè)焦點(diǎn)F1(-1,0)和F2(1,0)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x,y)。(1)求橢圓C的離心率；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A(x,2)的直線(xiàn)l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是線(xiàn)段MN上的一點(diǎn)，且|AQ|^2/|AM|^2+|AQ|^2/|AN|^2=211/33，求點(diǎn)Q的軌跡方程。已知橢圓C：x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a>b>0，有一個(gè)焦點(diǎn)為F(5,0)，離心率為e=√(3/4)。(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線(xiàn)相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程。在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)且斜率為k的直線(xiàn)l與橢圓x^2/4+y^2/2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q。求k的取值范圍，并判斷是否存在常數(shù)k，使得向量OP+OQ與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B且共線(xiàn)。若存在，求k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因。已知雙曲線(xiàn)x^2-y^2=2的左右焦點(diǎn)分別為F1和F2，過(guò)點(diǎn)F2的動(dòng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn)。(1)若動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足F1M=F1A+F1B+F1O（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)M的軌跡方程；(2)在x軸上是否存在定點(diǎn)C，使得CA·CB為常數(shù)？若存在，求出C點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因。1、已知曲線(xiàn)C：（5-m）x^2+y^2=8m，若曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓，則m的取值范圍為m<5/2或m>5/2。如果m=4，曲線(xiàn)C與y軸的交點(diǎn)為A,B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線(xiàn)y=kx+4與曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)M,N，直線(xiàn)y=1與直線(xiàn)BM交于點(diǎn)G。證明A,G,N三點(diǎn)共線(xiàn)。2、已知圓C：(x+1)^2+y^2=8，定點(diǎn)A(1,0)，M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿(mǎn)足AM=2AP，NP·AM=14，點(diǎn)N的軌跡為曲線(xiàn)E。求曲線(xiàn)E的方程；過(guò)定點(diǎn)F(0,2)的直線(xiàn)交曲線(xiàn)E于不同的兩點(diǎn)G,H（點(diǎn)G在點(diǎn)F,H之間），且滿(mǎn)足FG=λFH，求λ的取值范圍。3、已知點(diǎn)F(1,0)，直線(xiàn)l:x=-1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)Q，且QP·QF=FP·FQ。求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交軌跡C于A,B兩點(diǎn)，交直線(xiàn)l于點(diǎn)M，已知MA=λ1AF，MB=λ2BF，求λ1+λ2的值。4、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn)y=1/2x的焦點(diǎn)，離心率為5/4。求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)作直線(xiàn)l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若MA=λ1AF，MB=λ2BF，求證：λ1+λ2=-10。5、已知雙曲線(xiàn)C：x^2/9-y^2/16=1與橢圓E：x^2/4+y^2/9=1有相同的焦點(diǎn)，直線(xiàn)y=3x為雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)。求雙曲線(xiàn)C的方程；過(guò)點(diǎn)P(2,4)的直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)C于A,B兩點(diǎn)，交x軸于Q點(diǎn)（Q點(diǎn)與雙曲線(xiàn)C的頂點(diǎn)不重合），當(dāng)PQ=λ1QA=λ2QB且λ1+λ2=-3時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)。6、在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2。F2也是拋物線(xiàn)C2：y^2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且|MF2|=3。求C1的方程；平面上的點(diǎn)N滿(mǎn)足MN=MF2，直線(xiàn)l//MN，且與C1交于A,B兩點(diǎn)，若OA·OB=4/3，求直線(xiàn)l的方程。過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)AP的垂線(xiàn)，垂足為Q。首先求直線(xiàn)AP的斜率。由于BQ是AP的垂線(xiàn)，所以BQ與AP的斜率之積為-1，即k_AP*k_BQ=-1。因此，k_AP的取值范圍為所有不等于0的實(shí)數(shù)。其次，根據(jù)勾股定理，有|PA|*|PQ|=PQ^2+AQ^2。因?yàn)锳Q是定值，所以要求|PA|*|PQ|的最大值，只需求PQ^2的最大值。由于PQ是AP的垂線(xiàn)，所以PQ的長(zhǎng)度等于AB的長(zhǎng)度，即17。因此，|PA|*|PQ|的最大值為17*|PA|。均值不等式：a+b>=2*sqrt(a*b)（一正二定三相等）考慮式子2x^2+4x+6/(2x^2+4x+6)。將分子和分母同時(shí)除以2，得到(x^2+2x+3)/(x^2+2x+3)。因?yàn)榉肿雍头帜赶嗟?，所以式子的值恒?。因此，無(wú)論x取什么值，式子的值都為1。已知橢圓C:x^2/a^2+y^2/b^2=1的離心率為e，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3。首先根據(jù)離心率的定義，有e=sqrt(a^2-b^2)/a。代入已知條件，得到b^2=a^2-9。因此，橢圓C的方程為x^2/a^2+y^2/(a^2-9)=1。其次，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，點(diǎn)O(0,0)到直線(xiàn)l的距離為3/sqrt(1+k^2)。設(shè)直線(xiàn)l與橢圓C的交點(diǎn)分別為A和B，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，AO和BO分別是橢圓C的長(zhǎng)軸和短軸。因此，三角形AOB的面積為1/2*AO*BO=1/2*a*sqrt(a^2-9)。根據(jù)勾股定理，有AB^2=4a^2/(1+k^2)，因此，|PA|*|PB|=AB^2/4=a^2/(1+k^2)。由于k為常數(shù)，所以要求|PA|*|PB|的最大值，只需求a^2的最大值。因?yàn)閎^2=a^2-9，所以a^2=b^2+9。因此，要使a^2最大，只需使b^2最大，即取a=3，b=0。此時(shí)，橢圓退化為一個(gè)點(diǎn)，因此，三角形AOB的面積為0，|PA|*|PB|的最大值也為0。已知直線(xiàn)x-2y+2=0經(jīng)過(guò)橢圓C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓C的右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)S是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)AS,BS與直線(xiàn)l:x=10分別交于M,N兩點(diǎn)。首先求橢圓C的方程。由于A和D分別為橢圓C的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，所以A和D分別在y軸和x軸上，即A的坐標(biāo)為(0,-b)，D的坐標(biāo)為(a,0)。由于B在x軸上，所以B的坐標(biāo)為(-a,0)。設(shè)點(diǎn)S的坐標(biāo)為(x,y)，則直線(xiàn)AS和BS的方程分別為y=k_1*x-kb和y=k_2*x+kb，其中k_1和k_2為常數(shù)，kb為截距。由于AS和BS分別與直線(xiàn)l交于M和N，所以M和N的坐標(biāo)分別為((10-kb)/k_1,0)和((10+kb)/k_2,0)。根據(jù)距離公式，點(diǎn)O(0,0)到直線(xiàn)l的距離為3/sqrt(2)，因此，有|kb|/sqrt(k_1^2+1)=|10-kb|/sqrt(k_1^2+1)=3/sqrt(2)。解得kb=5sqrt(2)，k_1=1/sqrt(2)，k_2=-1/sqrt(2)。因此，直線(xiàn)AS和BS的方程分別為y=x/sqrt(2)-5sqrt(2)和y=-x/sqrt(2)+5sqrt(2)。其次，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，AS和BS分別交橢圓C于點(diǎn)A'和B'，則線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度為A'B'的長(zhǎng)度。由于A'和B'分別在y軸和x軸上，所以A'的坐標(biāo)為(0,-sqrt(a^2-b^2))，B'的坐標(biāo)為(sqrt(a^2-b^2),0)。因此，A'B'的長(zhǎng)度為a*sqrt(2)。最后，根據(jù)勾股定理，有SB^2=SA^2+AB^2，即(x+a)^2/a^2+y^2/b^2=(x-a)^2/a^2+y^2/b^2+4?；?jiǎn)得到x^2/a^2+y^2/(a^2-b^2)=1，即橢圓C的方程。根據(jù)橢圓的性質(zhì)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a/sqrt(2),-sqrt(a^2-b^2)/sqrt(2))。由于AC和BD分別是橢圓C的長(zhǎng)軸和短軸，所以AC=2a，BD=2b。因此，四邊形ABCD的面積為AC*BD/2=2ab=2a*sqrt(a^2-b^2)。要使四邊形ABCD的面積最小，只需使a^2-b^2最小，即取a=b。此時(shí)，橢圓C退化為一個(gè)圓，四邊形ABCD為一個(gè)正方形，面積為2a^2。已知橢圓C:x^2/a^2+y^2/b^2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2。過(guò)F1的直線(xiàn)交橢圓于B，D兩點(diǎn)，過(guò)F2的直線(xiàn)交橢圓于A，C兩點(diǎn)，且AC⊥BD，垂足為P。首先證明22xy+b^2<a^2。因?yàn)锽在F1的右側(cè)，所以BF1>a。同理，AF2>a。因?yàn)锳C⊥BD，所以四邊形ABCD為菱形，即AB=BC=CD=DA=a。因此，AP=CP=a/sqrt(2)，BP=DP=b^2/(a*sqrt(2))。由于P在橢圓C上，所以有PF1+PF2=2a。代入PF1=sqrt(a^2-b^2)和PF2=sqrt(a^2-b^2)，得到2sqrt(a^2-b^2)=2a，即a^2-b^2=a^2/2。因此，b^2=a^2/2，代入22xy+b^2<a^2，得到22xy<a^2/2。因此，有22xy+b^2/2<a^2/2+b^2/2=a^2/4+3b^2/4=(a^2+3b^2)/4。其次，由于AC⊥BD，所以P是BD的中點(diǎn)，即BP=DP。因此，四邊形ABCD為菱形，面積為AC*BD/2=a*b。要使四邊形ABCD的面積最小，只需使a和b的乘積最小，即取a=b。此時(shí)，橢圓C退化為一個(gè)圓，四邊形ABCD為一個(gè)正方形，面積為a^2。(1)問(wèn)題描述已知平面上的四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D，其中AB和CD互相垂直，求四邊形ABCD的面積最大值。(2)解決思路由于AB和CD互相垂直，所以四邊形ABCD是一個(gè)矩形或平行四邊形，我們只需要求出矩形或平行四邊形的面積即可。首先，我們可以通過(guò)向量的方法求出矩形或平行四邊形的面積。設(shè)向量AB為a，向量BC為b，則四邊形ABCD的面積為|a×b|，其中×表示向量的叉積。由于AB和CD互相垂直，所以a和b一定是相互垂直的向量，因此|a×b|的最大值等于|a|×|b|的最大值。因此，我們只需要求出向量AB和向量CD的長(zhǎng)度，然后將它們相乘即可得到最大面積。其次，我們可以通過(guò)勾股定理求出向量AB和向量CD的長(zhǎng)度。設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1,y1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x2,y2)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x3,y3)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x4,y4)，則有：|AB|^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2|CD|^2=(x4-x3)^2+(y4-y3)^2因此，我們只需要求出x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4的值，然后代入上面的公式即可求出最大面積。(3)代碼實(shí)現(xiàn)假設(shè)已經(jīng)輸入了四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)，則可以用以下代碼求出最大面積：a=[x2-x1,y2-y1]b=[x4-x3,y4-y3]max_area=abs(np.cross(a,b))print(max_area)其中，np.cross(a,b)表示向量a和向量b的叉積，abs()表示取絕對(duì)值。1、已知直線(xiàn)F1P和PF2關(guān)于直線(xiàn)F1F2對(duì)稱(chēng)，且直線(xiàn)PA和PB分別與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)。求P點(diǎn)坐標(biāo)，證明直線(xiàn)AB斜率為定值，求△PAB面積的最大值。2、已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)A(-2,0)、B(2,0)、C(1,2)三點(diǎn)。求橢圓E的方程，若直線(xiàn)l:y=k(x-1)(k≠0)與橢圓E交于M、N兩點(diǎn)，證明直線(xiàn)AM與直線(xiàn)BN的交點(diǎn)在直線(xiàn)x=4上。3、已知點(diǎn)A、B、C是橢圓E:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A(2,3)是橢圓的右頂點(diǎn)，直線(xiàn)BC過(guò)橢圓的中心O，且$\angleACB=90^\circ$，$BC=2AC$。求點(diǎn)C的坐標(biāo)及橢圓E的方程，若橢圓E上存在兩點(diǎn)P、Q，使得直線(xiàn)PC與直線(xiàn)QC關(guān)于直線(xiàn)x=3對(duì)稱(chēng)，求直線(xiàn)PQ的斜率。4、已知橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，斜率為k(k>0)且不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l交橢圓C于A，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為E，射線(xiàn)OE交橢圓C于點(diǎn)G，交直線(xiàn)x=-3B兩點(diǎn)，于點(diǎn)D(-3,m)。求$m^2+k^2$的最小值。若OG=OD×OE，(i)證明：直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)；(ii)試問(wèn)點(diǎn)B、G能否關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)？若能，求出此時(shí)△ABG的外接圓方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。5、已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4,0)，且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8。(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；(2)已知點(diǎn)B(-1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線(xiàn)l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P、Q，若x軸是∠PBQ的角平分線(xiàn)，證明直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)。6、已知橢圓E:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，過(guò)F1、F2分別作斜率為1的直線(xiàn)l1、l2，交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，且AF2、AB、BF2成等差數(shù)列。求E的離心率，設(shè)點(diǎn)P(0,-1)滿(mǎn)足PA=PB，求E的方程。1、已知實(shí)軸長(zhǎng)為2a，虛軸長(zhǎng)為2b的雙曲線(xiàn)E的焦點(diǎn)在x軸上，直線(xiàn)y=-3x是雙曲線(xiàn)E的一條漸近線(xiàn)，而且原點(diǎn)O，點(diǎn)A(a,0)和點(diǎn)B(0,-b)，使等式|OA|2+|OB|2=4|OA|2·|OB|2/3成立。（I）求雙曲線(xiàn)E的方程；（II）若雙曲線(xiàn)E上存在兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l:y=kx+4對(duì)稱(chēng)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。2、已知橢圓x2/9+y2/4=1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B關(guān)于直線(xiàn)y=mx對(duì)稱(chēng)。（I）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（II）求△AOB面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。3、設(shè)F?、F?分別是橢圓x2/25+y2/4=1的左、右焦點(diǎn)。（I）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PF?·PF?的最大值和最小值；（II）是否存在過(guò)點(diǎn)A(5,0)的直線(xiàn)l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C,D，使得F?C=F?D？若存在，求直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。4、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,-1)，B點(diǎn)在直線(xiàn)y=-3上，M點(diǎn)的滿(mǎn)足：MB//OA，MA·AB=MB·BA，M點(diǎn)軌跡方程為曲線(xiàn)C。（I）求曲線(xiàn)C的方程；（II）P為C上的動(dòng)點(diǎn)，l為C在P點(diǎn)處的切線(xiàn)，求O到l的距離的最小值。5、設(shè)拋物線(xiàn)C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，A為C上一點(diǎn)，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn)。（I）若∠BFD=90°，△ABD的面積為42，求p的值及圓F的方程；（II）若A,B,F三點(diǎn)在同一直線(xiàn)m上，直線(xiàn)n與m平行，且n與C有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值。6、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C過(guò)點(diǎn)(3,0)，焦點(diǎn)F?(-3,0),F?(3,0)，圓O的直徑為F?F?。（I）求橢圓C及圓O的方程；（II）設(shè)直線(xiàn)l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P。①若直線(xiàn)l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②直線(xiàn)l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)。若△OAB的面積為4，求直線(xiàn)l的方程。26、已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，離心率為e，過(guò)F1F2且垂直于x軸的直線(xiàn)被橢圓C截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為l。求橢圓C的方程。解：設(shè)橢圓C的中心為O，長(zhǎng)軸為2a，短軸為2b，則有F1O=OF2=ae，且l=2b√(1-e^2)。由于過(guò)F1F2且垂直于x軸的直線(xiàn)被橢圓C截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為l，因此可以確定橢圓C的位置。橢圓C的方程為(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1。30、已知橢圓C:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，離心率為e，過(guò)F1F2且垂直于x軸的直線(xiàn)被橢圓C截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為l。求：（Ⅰ）橢圓C的方程；（Ⅱ）點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1,PF2。設(shè)∠F1PF2的角平分線(xiàn)PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)Q。（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線(xiàn)l，使得l與M(m,0)相交，求m的取值范圍。解：（Ⅰ）同上題，橢圓C的方程為(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1。（Ⅱ）由于點(diǎn)P在橢圓C上，因此有PF1+PF2=2a。連接F1Q,F2Q，可以得到F1Q=F2Q=b^2/a。又因?yàn)椤螰1PF2的角平分線(xiàn)PM經(jīng)過(guò)橢圓C的長(zhǎng)軸，因此可以確定點(diǎn)Q的位置。設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(Q,0)，則有Q=a^2/b。（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線(xiàn)l，其方程為y=k(x-xP)+yP，其中xP,yP為點(diǎn)P的坐標(biāo)。將直線(xiàn)l與橢圓C聯(lián)立，得到一個(gè)關(guān)于x的二次方程。要使直線(xiàn)l與M(m,0)相交，只需要求出該二次方程有實(shí)根的條件，并求出m的取值范圍。具體而言，該二次方程有實(shí)根的條件是判別式大于等于0，即：(k^2/a^2+1/b^2)(yP^2-b^2)+2kxP(yP/a^2)=0由于點(diǎn)P在橢圓C上，因此有(xP^2/a^2)+(yP^2/b^2)=1。將上式代入該方程，可以得到一個(gè)關(guān)于k的一元二次方程。要使其有實(shí)根，只需要判別式大于等于0，即：4m^2(k^2/a^2+1/b^2)-(k^2-4a^2)(b^2-m^2a^2)>=0解這個(gè)不等式，可以得到m的取值范圍。31、如圖，已知拋物線(xiàn)C1:x^2=4y,C2:x^2=-2py(p>0)，點(diǎn)M(x,y)在拋物線(xiàn)C2上，過(guò)M作C1的切線(xiàn)，切點(diǎn)為A,B(M為原點(diǎn)O時(shí)，A,B重合于O)x=1/2，切線(xiàn)MA的斜率為-。求：（1）p的值；（2）當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線(xiàn)段AB中點(diǎn)N的軌跡方程（A,B重合于O時(shí)，中點(diǎn)為O）。解：（1）由于點(diǎn)M在拋物線(xiàn)C2上，因此有x^2=-2py。又因?yàn)辄c(diǎn)M在C1的切線(xiàn)上，且切線(xiàn)斜率為-，因此可以得到切線(xiàn)方程y=2x。將點(diǎn)M代入該方程，可以得到y(tǒng)=x^2/2。將這個(gè)結(jié)果代入x^2=-2py，可以得到p=1/2。（2）設(shè)點(diǎn)M在C2上的坐標(biāo)為(2at^2,-2at)，其中t為參數(shù)。由于點(diǎn)M在C1的切線(xiàn)上，且切點(diǎn)為O，因此可以得到切線(xiàn)方程y=-2x。將點(diǎn)M代入該方程，可以得到y(tǒng)=-4at^2。又因?yàn)榍芯€(xiàn)與拋物線(xiàn)C1的交點(diǎn)為A,B，因此可以求出A,B的坐標(biāo)。設(shè)A的坐標(biāo)為(x1,y1)，則有：x1=1/2，y1=1/8設(shè)B的坐標(biāo)為(x2,y2)，則有：x2=-1/2，y2=1/8由于線(xiàn)段AB中點(diǎn)N的坐標(biāo)為((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，因此可以得到N的坐標(biāo)為(0,1/8)。又因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線(xiàn)C2上的坐標(biāo)為(2at^2,-2at)，因此可以得到線(xiàn)段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(at^2,-at)。將這個(gè)結(jié)果代入中點(diǎn)公式，可以得到線(xiàn)段AB中點(diǎn)的軌跡方程為y=1/8。32、已知圓C:(x-a)^2+(y-b)^2=9的圓心C在拋物線(xiàn)x^2=2py(p>0)上，圓C過(guò)原點(diǎn)且與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切。求：（1）該拋物線(xiàn)的方程；（2）過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于A,B兩點(diǎn)，分別在點(diǎn)A,B處作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)交于P點(diǎn)，求三角形PAB面積的最小值及此時(shí)直線(xiàn)l的方程。解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)與y軸交點(diǎn)為Q，圓C的半徑為3。由于圓C過(guò)原點(diǎn)且與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切，因此可以得到圓C的圓心坐標(biāo)為(0,3)。又由于圓C的圓心在拋物線(xiàn)上，因此可以得到拋物線(xiàn)的方程為x^2=12y。（2）設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)，則有：x1+x2=2p，y1+y2=4p將直線(xiàn)l的方程代入拋物線(xiàn)方程，可以得到一個(gè)關(guān)于p的一元二次方程。要使三角形PAB面積最小，只需要求出該方程的根，并驗(yàn)證其滿(mǎn)足三角形存在的條件。具體而言，三角形存在的條件是：x1x2+y1y2>0解出該方程的根，可以得到p的值。將p的值代入上面的方程，可以得到點(diǎn)A,B的坐標(biāo)。由于點(diǎn)P為線(xiàn)段AB的交點(diǎn)，因此可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。最后，將點(diǎn)A,B,P的坐標(biāo)代入三角形面積公式，可以求出面積的最小值。1.已知圓的方程為x2+y2=a2，點(diǎn)M在圓上且在第一象限，過(guò)M作圓的切線(xiàn)交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，證明三角形PFQ的周長(zhǎng)為定值。2.在三角形ABC中，已知B(-2,0)、C(2,0)，AD⊥BC于點(diǎn)D，垂心H將有向線(xiàn)段AD分成比為1:1的兩部分。設(shè)P(-1,0)、Q(1,0)，問(wèn)是否存在點(diǎn)H使得三邊長(zhǎng)滿(mǎn)足等差數(shù)列關(guān)系，若存在，為什么？3.已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為2-√3，離心率為e=2。求橢圓E的方程，并過(guò)點(diǎn)(1,0)作直線(xiàn)l交E于P,Q兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在一個(gè)定點(diǎn)M在x軸上使得MP*MQ為定值，若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。4.已知橢圓C：9x2+y2=m2(m>0)，直線(xiàn)l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M。證明直線(xiàn)OM的斜率與l的斜率的乘積為定值，并且若l過(guò)點(diǎn)(0,m)，延長(zhǎng)線(xiàn)段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB不能為平行四邊形。5.在直角坐標(biāo)系xoy中，已知曲線(xiàn)C：y=x2/4的焦點(diǎn)在x軸上，A是E:x2/9+y2/4=1的左頂點(diǎn)，斜率為1的直線(xiàn)交E于A,M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，且MA⊥NA。(1)當(dāng)t=4且|AM|=|AN|時(shí)，求k(k>0)的直線(xiàn)交E于A,M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上；(2)當(dāng)2AM=AN時(shí)，求k的取值范圍，以及三角形AMN的面積。6.已知拋物線(xiàn)C：y2=2x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線(xiàn)l1、l2分別交C于A,B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線(xiàn)于P,Q兩點(diǎn)。(1)若F在線(xiàn)段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明AR//FQ；(2)若三角形PQF的面積是三角形ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程。4、已知橢圓C上恰有三點(diǎn)，求橢圓C的方程。設(shè)直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)。若直線(xiàn)P2A與直線(xiàn)P2B的斜率的和為-1，證明：直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)。5、設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：x^2+y^2=1上，過(guò)M作x軸的垂線(xiàn)，垂足為N，點(diǎn)P滿(mǎn)足NP=2NM。求點(diǎn)P的軌跡方程；設(shè)點(diǎn)Q在直線(xiàn)x=-3上，且OP·PQ=1。證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線(xiàn)l過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)F。6、設(shè)橢圓C：x^2+y^2=1的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線(xiàn)l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)。當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線(xiàn)AM的方程；設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB。7、設(shè)拋物線(xiàn)C：y^2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線(xiàn)l與C交于A、B兩點(diǎn)，|AB|=8。求l的方程；求過(guò)點(diǎn)A、B且與C的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程。8、已知斜率為k的直線(xiàn)l與橢圓C：x^2+y^2/4=1交于A、B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M(1,m)(m>0)。證明：k<0；設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且FP+FA+FB=|FA|，|FP|，|FB|成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差。9、橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e=2，過(guò)左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線(xiàn)交橢圓于A、A'兩點(diǎn)，AA'=4。求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；取垂直于x軸的直線(xiàn)與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P、P'，過(guò)P、P'作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外。若PQ⊥P'Q，求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程。10、設(shè)橢圓E：x^2/4+y^2/9=1的焦點(diǎn)在x軸上。若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓E上的第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線(xiàn)F2P交y軸于點(diǎn)Q，并且F1P⊥F2Q，證明：當(dāng)a變化時(shí)，點(diǎn)P在某定直線(xiàn)上。1、已知圓M：(x+1)+y^2=1，圓N：(x-1)+y^2=9，動(dòng)圓P與M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線(xiàn)C。(1)求C的方程；(2)l是與圓P、圓M都相切的一條直線(xiàn)，l與曲線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求AB。已知圓M的圓心為(-1,0)，半徑為1，圓N的圓心為(1,0)，半徑為3。設(shè)圓P的圓心為(x,y)，半徑為r，則有以下方程組：(x+1)^2+y^2=(1+r)^2(x-1)^2+y^2=(3-r)^2解得x=2r-1，y=2r^2-2r，代入圓心坐標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-2r+1)^2+(y-2r^2+2r)^2=r^2，化簡(jiǎn)得曲線(xiàn)C的方程為x^2+(y-1)^2=1。當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，圓P與圓N的切點(diǎn)即為圓N的右切點(diǎn)，坐標(biāo)為(2,2)。此時(shí)圓P的半徑為2，圓心坐標(biāo)為(3,2)，因此圓心到直線(xiàn)l的距離為1。由于l與圓M相切，因此l的斜率為-1，過(guò)點(diǎn)(3,2)且斜率為-1的直線(xiàn)方程為y-2=-1(x-3)，化簡(jiǎn)得y=-x+5。將y=-x+5代入曲線(xiàn)C的方程中，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為A(-2,3)和B(0,1)。因此AB的長(zhǎng)度為2√2。2、設(shè)橢圓C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為e，過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線(xiàn)被橢圓截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為4/3。(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)A、B分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線(xiàn)與橢圓交于C、D兩點(diǎn)。若AC×DB+AD×CB=8，求k的值。由于橢圓的焦距為c=ae，左焦點(diǎn)為F(-c,0)，因此有c=2/3。代入離心率公式e=c/a，解得橢圓的方程為3x^2+4y^2=12。設(shè)左頂點(diǎn)為A(-a,0)，右頂點(diǎn)為B(a,0)，則有2a=c/e=3/2，解得a=9/8。由于過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線(xiàn)與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，因此可設(shè)該直線(xiàn)方程為y=k(x+c/2)，代入橢圓的方程中解得交點(diǎn)坐標(biāo)為C(-3/5,12k/13)和D(3/5,-12k/13)。根據(jù)題意得到方程式：(9/8+3/5)×(12k/13)×(3/5-(-3/5))+(9/8-3/5)×(-12k/13)×(3/5+(-3/5))=8，解得k=±2。3、已知曲線(xiàn)C的方程為(x^2+y^2+2x+1)+(x^2+y^2-2x+1)=4，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0)作斜率為k的直線(xiàn)l，l與曲線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)，l與直線(xiàn)x=-4交于點(diǎn)D，O是坐標(biāo)原點(diǎn)。（1）若OA+OD=2OB，求k的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使△AOB為銳角三角形？若存在，求k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?；?jiǎn)曲線(xiàn)C的方程得到x^2+y^2+2=2|x|，即x^2+y^2+2=2x(x≥0)，x^2+y^2+2=-2x(x<0)。因此該曲線(xiàn)是以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的圖形，可將問(wèn)題限制在第一象限。將點(diǎn)(-1,0)代入曲線(xiàn)C的方程中解得另一個(gè)交點(diǎn)為(1,0)，因此O為中心，AB為x軸正半軸上的線(xiàn)段，且OB=OA+OD=2。將直線(xiàn)l的方程y=k(x+4)代入曲線(xiàn)C的方程中解得交點(diǎn)坐標(biāo)為A(-2/(k^2+1),-2k/(k^2+1))和B(-2/(k^2+1),2k/(k^2+1))。因此有2/(k^2+1)=1，解得k=±√3。當(dāng)k=√3時(shí)，△AOB為等邊三角形，不是銳角三角形；當(dāng)k=-√3時(shí)，由于A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn)，△AOB不存在。因此不存在實(shí)數(shù)k使△AOB為銳角三角形。4、如圖，橢圓C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2)，離心率e=2/√5，直線(xiàn)l的方程為x=4。(1)求橢圓C的方程；(2)AB是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F的任一弦（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P），設(shè)直線(xiàn)AB與直線(xiàn)l相交于點(diǎn)M，記PA、PB、PM的斜率分別為k1、k2、k3。問(wèn)：是否存在常數(shù)λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，說(shuō)明理由。由于橢圓的離心率為e=2/√5，因此焦距為c=ae=2a/√5，右焦點(diǎn)為F(a-c,0)=(a-2a/√5,0)=(a(√5-2)/√5,0)。由于橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2)，代入橢圓的方程解得a=√5，b=√(5/3)。因此橢圓的方程為5x^2+15y^2=25。設(shè)弦AB的兩個(gè)端點(diǎn)為A(acosθ,bsinθ)、B(-acosθ,-bsinθ)，則有a^2-b^2=c^2=4/5。由于直線(xiàn)l的方程為x=4，因此AB的斜率為btanθ/(acosθ-4)。代入點(diǎn)P(1,2)的坐標(biāo)解得k1=2/b，k2=-b/(a-4cosθ)，k3=(2b-acosθ)/(-asinθ)。因此有2/b-b/(a-4cosθ)=λ(2b-acosθ)/(-asinθ)，解得λ=5/2。因?yàn)棣?5/2不為常數(shù)，所以不存在常數(shù)λ使得k1+k2=λk3。已知橢圓E過(guò)點(diǎn)(0,2)且離心率為e，求橢圓E的方程。解：設(shè)橢圓E的方程為x^2/a^2+y^2/b^2=1，由題意得：2b^2/a=e，即b^2=a^2(1-e^2)又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(0,2)，代入得：4/a^2+4/b^2=1將b^2用a^2和e表示，代入得：4/a^2+4a^2/(a^2(1-e^2))=1整理