2023新教材高中數(shù)學(xué)課時分層作業(yè)2向量的加法運算新人教A版必修第二冊

課時分層作業(yè)(二)向量的加法運算一、選擇題1．下列等式不正確的是()①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))＝0；③eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))．A．②③B．②C．①D．③B[②錯誤，eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))＝0，①③正確．故選B．]2．在四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))，則一定有()A．四邊形ABCD是矩形B．四邊形ABCD是菱形C．四邊形ABCD是正方形D．四邊形ABCD是平行四邊形D[由eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))得eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))，即AD＝BC，且AD∥BC，所以四邊形ABCD的一組對邊平行且相等，故四邊形ABCD為平行四邊形．故選D．]3．若向量a表示“向東航行1km”，向量b表示“向北航行eq\r(,3)km”，則向量a＋b表示()A．向東北方向航行2kmB．向北偏東30°方向航行2kmC．向北偏東60°方向航行2kmD．向東北方向航行(1＋eq\r(,3))kmB[eq\o(AB,\s\up15(→))＝a表示“向東航行1km”，eq\o(BC,\s\up15(→))＝b表示“向北航行eq\r(,3)km”，根據(jù)三角形法則，∴eq\o(AC,\s\up15(→))＝a＋b，∵tanA＝eq\r(,3)，∴A＝60°，且eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\r(,\r(,3)2＋12)＝2(km)，∴a＋b表示向北偏東30°方向航行2km．故選B．]4．已知向量a，b均為非零向量，則下列說法不正確的個數(shù)是()①向量a與b反向，且|a|＞|b|，則向量a＋b與a的方向相同；②向量a與b反向，且|a|＜|b|，則向量a＋b與a的方向相同；③向量a與b同向，則向量a＋b與a的方向相同．A．0B．1C．2D．3B[對于②，向量a＋b與b的方向相同，故②說法不正確．分析知①③說法正確．]5．a(chǎn)，b為非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則()A．a(chǎn)∥b，且a與b方向相同B．a(chǎn)，b是共線向量且方向相反C．a(chǎn)＝bD．a(chǎn)，b無論什么關(guān)系均可A[根據(jù)三角形法則可知，若非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a|＋|b|，則a∥b，且a與b方向相同．故選A．]二、填空題6．設(shè)a0，b0分別是a，b的單位向量，則下列結(jié)論中正確的是________．(填序號)①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0．③[單位向量不一定相等或相反，也不一定共線，但其模為1，故只有③正確．]7．如圖，已知電線AO與天花板的夾角為60°，電線AO所受拉力|F1|＝24N．繩BO與墻壁垂直，所受拉力|F2|＝12N，則F1與F2的合力大小為________N，方向為________．12eq\r(3)豎直向上[以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形BOAC，則F1＋F2＝F，即eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))，∵∠OAC＝60°，|eq\o(OA,\s\up15(→))|＝24，|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝|eq\o(OB,\s\up15(→))|＝12，∴∠ACO＝90°，∴|eq\o(OC,\s\up15(→))|＝12eq\r(3)，∴F1與F2的合力大小為12eq\r(3)N，方向為豎直向上．]8．如圖所示，已知在矩形ABCD中，|eq\o(AD,\s\up15(→))|＝4eq\r(3)，設(shè)eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(BC,\s\up15(→))＝b，eq\o(BD,\s\up15(→))＝c，則|a＋b＋c|＝________．8eq\r(3)[a＋b＋c＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))．如圖，延長BC至E，使CE＝BC，連接DE，∵eq\o(CE,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))，∴CE綉AD，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(DE,\s\up15(→))，∴eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(DE,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(BE,\s\up15(→))，∴|a＋b＋c|＝|eq\o(BE,\s\up15(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up15(→))|＝2|eq\o(AD,\s\up15(→))|＝8eq\r(3)．]三、解答題9．如圖所示，P，Q是△ABC的邊BC上兩點，且eq\o(BP,\s\up15(→))＋eq\o(CQ,\s\up15(→))＝0．求證：eq\o(AP,\s\up15(→))＋eq\o(AQ,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))．[證明]∵eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BP,\s\up15(→))，eq\o(AQ,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CQ,\s\up15(→))，∴eq\o(AP,\s\up15(→))＋eq\o(AQ,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(BP,\s\up15(→))＋eq\o(CQ,\s\up15(→))．又∵eq\o(BP,\s\up15(→))＋eq\o(CQ,\s\up15(→))＝0，∴eq\o(AP,\s\up15(→))＋eq\o(AQ,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))．1．(多選題)若a＝(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→)))＋(eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(DA,\s\up15(→)))，b是任一非零向量，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)＋b＝aC．a(chǎn)＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|AC[∵a＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(DA,\s\up15(→))＝0，b為任一非零向量，∴a∥b，即A對；0＋b＝b，即B錯，C對；D中|0＋b|＝|b|＝|0|＋|b|，即D錯．故選AC．]2．若在△ABC中，AB＝AC＝1，|eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))|＝eq\r(2)，則△ABC的形狀是()A．正三角形 B．銳角三角形C．斜三角形 D．等腰直角三角形D[設(shè)線段BC的中點為O(圖略)，由平行四邊形法則和平行四邊形對角線互相平分可知|eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))|＝2|eq\o(AO,\s\up15(→))|，又|eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))|＝eq\r(2)，故|eq\o(AO,\s\up15(→))|＝eq\f(\r(2),2)，又BO＝CO＝eq\f(\r(2),2)，所以△ABO和△ACO都是等腰直角三角形，所以△ABC是等腰直角三角形．]3．如圖所示，設(shè)O為正六邊形ABCDEF的中心，則：(1)eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝________；(2)eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(FE,\s\up15(→))＝________．(1)eq\o(OB,\s\up15(→))(2)eq\o(AD,\s\up15(→))[(1)由題圖可知，四邊形OABC為平行四邊形．由向量加法的平行四邊形法則，得eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))．(2)由題圖可知，eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(FE,\s\up15(→))＝eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\o(AO,\s\up15(→))，∴eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(FE,\s\up15(→))＝eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))．]4．若P為△ABC的外心，且eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))＝eq\o(PC,\s\up15(→))，則∠ACB＝________．120°[因為eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))＝eq\o(PC,\s\up15(→))，則四邊形APBC是平行四邊形．又P為△ABC的外心，所以|eq\o(PA,\s\up15(→))|＝|eq\o(PB,\s\up15(→))|＝|eq\o(PC,\s\up15(→))|．因此∠ACB＝120°．]在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O且|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝|eq\o(AD,\s\up15(→))|＝1，eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OD,\s\up15(→))＝0，cos∠DAB＝eq\f(1,2)．求|eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))|與|eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))|．[解]∵eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OD,\s\up15(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up15(→))＝eq\o(CO,\s\up15(→))，eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(DO,\s\up15(→))，∴四邊形ABCD是平行四邊形．又|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝|eq\o(AD,\s\up15(→))|＝1，知四邊形ABCD為菱形．又cos∠DAB＝eq\f(1,2)，∠DAB∈(0°，180°)，∴∠D