第7章737322課時正弦余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)

7.37.3.2第2課時三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必第備7資章料一三鍵轉(zhuǎn)角存函自動數(shù)更新永不過期掌握y＝sin

x，y＝cos

x

的最大值與最小值，并會求簡單三角函數(shù)的值域和最值．(重點、難點)掌握y＝sin

x，y＝cos

x

的單調(diào)性，并能利用單調(diào)性比較大小．(重點)1．通過單調(diào)性與最值的計算，提升數(shù)學運算素養(yǎng)．3．會求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)及y＝2．借助函數(shù)圖象，培養(yǎng)直觀想象素Acos(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間．(重點、養(yǎng)．易錯點)01必備知識·情境導學探新知知識點π3回顧正、余弦函數(shù)的圖象，嘗試探究函數(shù)y＝sin2x－的定義域、值域、單調(diào)性、周期性、奇偶性、對稱軸、對稱中心．2kπ＋π

k∈Z)2(x＝2kπ—π

k∈Z)2(函數(shù)正弦函數(shù)y＝sin

x，x∈R余弦函數(shù)y＝cos

x，x∈R最值π當x＝

2kπ＋2(k∈Z)時，取得最大值

1

；π當x＝2kπ－2(k∈Z)時，取得最小值－1

當

x＝2kπ(k∈Z)時，取得最大值1；當

x＝2kπ＋π(k∈Z)

時，取得最小值

－1

_周期性周期函數(shù)，T＝

2_π周期函數(shù)，T＝

2π

函數(shù) 正弦函數(shù)y＝sin

x，x∈R余弦函數(shù)y＝cos

x，x∈R奇偶性對稱單調(diào)性

π

π2kπ—

，2kπ＋

2

2(k∈Z)上是增函數(shù)；在

π

3π2kπ＋

，2kπ＋

2 2

(k∈Z)在

[2kπ－π，2kπ](k∈Z)

上是增函數(shù)；在

[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)

上是減函數(shù)偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱奇

函數(shù)，圖象關(guān)于原點在

ππ2kπ－2，2kπ＋2

π

3π2kπ＋2，2kπ＋

2

(k∈Z)上是減函數(shù)x＝kπ＋π

k∈Z)2(函數(shù)正弦函數(shù)y＝sin

x，x∈R余弦函數(shù)y＝cos

x，x∈R對稱性關(guān)于x＝kπ

π

k∈Z)成＋2(軸對稱，關(guān)于_(kπ，0)_(k∈Z)

成中心對稱關(guān)于

x＝kπ(k∈Z)

成軸對稱，關(guān)于

π

成中心對稱kπ＋2，0(k∈Z)

π2π2[提示]

不正確．正弦函數(shù)在每個閉區(qū)間2kπ－

，2kπ＋

(k∈Z)上是增函數(shù)，并不是在整個定義域上是增函數(shù)，同樣的，余弦函數(shù)在每個閉區(qū)間[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是減函數(shù)，并不是在整個定義域上是減函數(shù)．[提示]π由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性可知m＝2，n＝π．[提示]

π

2(1)∵y＝sinx＋＝cos

x，∴是偶函數(shù)．(2)T＝2π

π．f(－x)＝3sin(－2x)＝－3sin

2x，故為奇函數(shù)．2

＝

π2π2(3)y＝sin

x在－，上是增函數(shù)．(4)y＝cos

x的值域為[－1,1]．[答案]

(1)×

(2)√

(3)×(4)×2，1

321212[由sin

x∈[－1,1]，得sin

x∈－，12，121

32

2所以

sin

x＋1∈

，

．]kπ

2，0，k∈Z[y＝sin(2x＋π)＝－sin

2x，2由2x＝kπ

得x＝kπ(k∈Z)，kπ

2

∴y＝sin(2x＋π)的對稱中心為

，0，k∈Z．]02關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難類型1

類型2類型3π[解]

令z＝x－3，則y＝2sin

z．π∵z＝x－3是增函數(shù)，∴y＝2sin

z是增(減)函數(shù)時，

π

3函數(shù)y＝2sin

x－

也是增(減)函數(shù)．π2π2由z∈2kπ－，2kπ＋(k∈Z)，3π

π2π2得x－∈2kπ－，2kπ＋(k∈Z)，6即x∈2kπ－，2kπ＋π

5π6

(k∈Z)，

π

3π6故函數(shù)

y＝2sin

x－的增區(qū)間為2kπ－，2kπ＋5π6

(k∈Z)．

π

3同理可求函數(shù)

y＝2sin

x－

的減區(qū)間為2kπ＋5π

6，2kπ＋116π(k∈Z)．[母題探究]求函數(shù)y＝2sin

π4x—的減區(qū)間．[解]

y＝2sinπ4－x＝－2sin

x—π4，42令

z＝x－π，而函數(shù)

y＝－2sin

z

的減區(qū)間是－π＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)．∴原函數(shù)遞減時，得－24

2π＋2kπ≤x－π≤π＋2kπ(k∈Z)，π

3π得－4＋2kπ≤x≤4

＋2kπ(k∈Z)．4

4π∴原函數(shù)的減區(qū)間是－π＋2kπ，3π＋2k

(k∈Z)．求正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的策略結(jié)合正、余弦函數(shù)的圖象，熟記它們的單調(diào)區(qū)間.在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，應(yīng)采用“換元法”整體代換，將“ωx＋φ”看作一個整體“z”，即通過求

y＝Asin

z

的單調(diào)區(qū)間而求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.求形如

y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間同上.[跟進訓練]1．求下列函數(shù)的增區(qū)間：(1)y＝cos

2x；[解]

由

2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)，2所以kπ－π≤x≤kπ(k∈Z)，π2所以函數(shù)y＝cos

2x

的增區(qū)間為kπ－，kπ(k∈Z)．π

π6

2

(2)y＝sin

－x，x∈

，2π．π

6－x＝－sinx－

π

6，[解]

因為

y＝sin所以函數(shù)y＝sinπ

6－x的增區(qū)間就是函數(shù)y＝sin

π

6x－的減區(qū)間，由2kπ＋π≤x－π≤2

62kπ＋3π2

，k∈Z，得2kπ＋2π5π3

≤x≤2kπ＋

3

，k∈Z．π2因為

x∈

，2π，所以所求函數(shù)的增區(qū)間為

3，2π

5π3

．[解]

sin

194°＝sin(180°＋14°)＝－sin

14°，cos

160°＝cos(90°＋70°)＝－sin

70°．∵0°<14°<70°<90°，函數(shù)y＝sin

x在區(qū)間(0°，90°)內(nèi)是增函數(shù)，∴sin

14°<sin

70°，∴－sin

14°>－sin

70°，∴sin

194°>cos

160°．2(2)cos

3，sin1

，－cos

7；10

4[解]

sin

1

10＝cosπ2—1

10，－cos74＝cosπ－

7

4，3∵0<π－7 π－

1

<

<π，4<2

10

2函數(shù)y＝cos

x

在(0，π)上是減函數(shù)，

∴cosπ－

>cos

7

π

4

2—101

32>cos

，即－cos

7>sin

1

3．4

10>cos

2(3)sinsin3π8與sincos3π8

．[解]

cos3π8π

π2

8＝cos

－

＝sinπ8．∵0<

<π

3π

π8

8

2

π

2<

，函數(shù)y＝sin

x

在0，內(nèi)是增函數(shù)，π∴sin

8<sin3π

3π

3π8，∴cos

8<sin

8

．8

<sin

8

<1函數(shù)y＝sin

x

在(0,1)內(nèi)是增函數(shù)，∴sincos8

<sinsin3π

3π8

．比較三角函數(shù)值大小的步驟異名函數(shù)化為同名函數(shù)；利用誘導公式把角轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.[跟進訓練]2．比較大?。?1)cos－7π

8

與cos7π6；[解]

cos

－7π

8

＝cos7π8＝cos

π－

π

8＝－cos

π，而

cos

7π6

＝－8

6cos

π，∵

π

π

π

π

π0<8<6<2，∴cos

8>cos

6．∴－cosπ8<－cosπ6，∴cos－7π

8

<cos7π6．(2)sin

7與

cos

5．4

3[解]

∵cos53＝sin2＋π

53，π

7

π

5

3

2<4<2＋3<2π，π2又

y＝sin

x

在

，3π2

上是減函數(shù)，∴sin74>sin2π

53＋

＝cos53，即sin74>cos53．[解]

∵－π≤x≤π，6

6∴0≤2x＋π≤2π3 3

，π3∴0≤sin2x＋

≤1，π3∴當sin2x＋＝1

時，取得最大值2；π3當sin2x＋＝0

時，取得最小值0．π6(2)求函數(shù)

y＝－2cos2x＋2sin

x＋3，x∈

，5π6

的值域．[解]

y＝－2(1－sin2x)＋2sin

x＋3＝2sin2x＋2sin

x＋121212＝2sin

x＋

＋

．∵x∈π6，5π6

，1∴2≤sin

x≤1．當sinx＝1

時，取得最大值5；1

5當sin

x＝2時，取得最小值2．5

2

∴函數(shù)

y＝－2cos2x＋2sin

x＋3的值域為

，5．[母題探究]π

π

ππ1．(變條件)將本例(1)中“－6≤x≤6”改為“－3≤x≤6”，求yπ3＝2sin2x＋的最值．[解]

∵－π≤x≤π，3

6∴－π≤2x＋π≤2π3

3 3，2∴－

3≤sin2x＋π3≤1，∴當sin2xπ3＋

＝1

時，取得最大值2，當sin2x＋3π

32＝－

時，取得最小值－3．2．(變條件)本例(2)中“y＝－2cos2x＋2sin

x＋3”改為“y＝－2cos2x＋2cosx＋3”，其它條件不變，求值域．21272[解]

y＝－2cos

x－

＋

，π∵x∈

，5π6 6

，∴－ 3≤cos

x≤

3．2

2當cos

x＝12時，取得最大值27．當

cos

x＝－

3 3－

3．2

時，取得最小值2求形如y＝Asin

x＋B

或y＝Acos

x＋B

型的三角函數(shù)的最值問題，一般運用三角函數(shù)的有界性求最值．求最值時要注意三角函數(shù)的定義域，尤其要注意題目中是否給定了區(qū)間．求解形如y＝asin2x＋bsin

x＋c(或y＝acos2x＋bcos

x＋c)，x∈D的函數(shù)的值域或最值時，通過換元，令t＝sin

x(或cos

x)，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t

的二次函數(shù)，利用配方法求值域或最值即可．求解過程中要注意t＝sin

x(或cos

x)的有界性．[跟進訓練]3．求下列函數(shù)的值域．(1)y＝cos

x＋

π

，x∈0，

π

6

2；

π

π

6

2π6

π[解]

由

y＝cos

x＋

，x∈0，

可得

x＋

∈

，2π6 3

，π6因為函數(shù)

y＝cos

x

在區(qū)間

，2π3

上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的值域為2－

，1

32

．(2)y＝cos2

x－4cos

x＋5．[解]

y＝cos2

x－4cos

x＋5，令

t＝cos

x，則－1≤t≤1．y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，當t＝－1，函數(shù)取得最大值10；t＝1

時，函數(shù)取得最小值2，所以函數(shù)的值域為[2,10]．學習效果·課堂評估夯基礎(chǔ)03π2π21．函數(shù)y＝－cos

x

在區(qū)間－，上是()A．增函數(shù)C．先減后增函數(shù)B．減函數(shù)D．先增后減函數(shù)π2π2C

[因為y＝cos

x

在區(qū)間－，上先增后減，π2π2所以y＝－cos

x

在區(qū)間－，上先減后增．])2．正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R

的圖象的一條對稱軸是(A．y

軸

B．x

軸2C．直線

x＝π

D．直線

x＝πC

[當x＝π時，y

取最大值，∴x＝π是一條對稱軸．]2

2π33．函數(shù)

y＝sin2x－的增區(qū)間是

．kπ－1212，kπ＋

(k∈Z)π

5π

π2π

π3

2[令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)得kπ－π≤x≤5π＋kπ(k∈Z)．]12

124．將

cos

150°，sin

470°，cos760°按從小到大排列為

．cos

150°＜cos

760°＜sin

470°

[cos

150°＜0，sin

470°＝sin

11