太原理工微積分與數(shù)學(xué)模型10年修改版第四章理工大高數(shù)

~

函數(shù)的單調(diào)性二 函數(shù)的極值第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值xyoy

=

f

(

x)xyoABf

(

x)

?

0a

bf

(

x)

?

0abBAy

=

f

(

x)若y

=f

(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)上升若y

=f

(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)下降f

(

x)

￡

0一、函數(shù)的單調(diào)性f

(

x)

￡

0定理1

設(shè)函數(shù)y

=f

(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，（1）如果在(a,b)內(nèi)f

￠(x)>0，那末函數(shù)y

=f

(x)在[a,b]上單調(diào)增加；(2)如果在(a,b)內(nèi)f

￠(x)<0，那末函數(shù)y

=f

(x)在[a,b]上單調(diào)減少。1.單調(diào)性的判別法證:"x1

,x2

?

(a,b),

且x1

<x2

,應(yīng)用拉氏定理,得f

(

x2

)

-

f

(

x1

)

=

f

(x)(

x2

-

x1

) (

x1

<

x

<

x2

)

x2

-

x1

>

0若在(a,

b)內(nèi)，f

(

x)

>

0則

f

(x)

>

0\

f

(

x2

)

>

f

(

x1

)y

=f

(x)在[a,b]上單調(diào)增加。若在(a,

b)內(nèi)，f

(

x)

<

0則

f

(x)

<

0\

f

(

x2

)

<

f

(

x1

)y

=f

(x)在[a,b]上單調(diào)減少。函數(shù)在0,+￥

)內(nèi)單調(diào)增加。解：函數(shù)的定義域?yàn)?,+￥

)1

y￠=

x

>

0例1判斷函數(shù)y

=ln

x

的單調(diào)性y

=ln

xyxo1例2判斷函數(shù)

y

=

ex

-

x

的單調(diào)性在(-￥

,0)內(nèi),

y

<

0,\函數(shù)單調(diào)減少；在(0,+￥

)內(nèi),

y>0,

\函數(shù)單調(diào)增加。注1

要用導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上的符號來判定，不能用一

點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性。注2函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個部分區(qū)間上單調(diào)。y

=

e

x

-

1解：

D

:(-￥

,+￥

)5432-3

-2

-1

1

2

3單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。單調(diào)區(qū)間的劃分導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)。用方程f

(x)=0的根及f

(x)不存在的點(diǎn)來劃分函數(shù)f

(x)的定義區(qū)間，然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號。2.單調(diào)區(qū)間的求法例3

確定函數(shù)f

(x)=2x3

-9x2+12x

-3的單調(diào)區(qū)間解：

D

:(-￥

,+￥

)f

(

x)

=

6

x2

-

18

x

+

12

=

6(

x

-

1)(

x

-

2)解方程f

(

x)

=

0

得

x1

=

1,

x2

=

2當(dāng)-

￥

<

x

<

1時，

f

(

x)

>

0,\在(-￥

,1]上單調(diào)增加；當(dāng)1

<x

<2時，f

(

x)

<

0,\在[1,2]上單調(diào)減少；當(dāng)2

<x

<+￥

時，f

(

x)

>

0,\在[2,+￥

)上單調(diào)增加；單減區(qū)間為[1,2]單增區(qū)間為(-￥

,1]，[2,+￥

)例4確定函數(shù)

f

(

x)

=

3

x

2

的單調(diào)區(qū)間解：函數(shù)的定義域?yàn)?-￥

,+￥

)(

x

?

0)233f

￠(

x)

=x當(dāng)x

=0時,導(dǎo)數(shù)不存在當(dāng)-

￥

<

x

<

0時，f

(

x)

<

0,

\

在(-￥

,0]上單調(diào)減少；當(dāng)0

<

x

<

+￥

時，

f

(

x)

>

0,\在[0,+￥

)上單調(diào)增加；x2y

=

3單增區(qū)間為[0,+￥

)單減區(qū)間為(-￥,0]x

>3

-1

成立3.單調(diào)性的應(yīng)用例5

當(dāng)x

>

1時,

試證

2-

1

=

1

(

x x

-

1)x

2

x

21則f

￠(x)=xf

(x

)在[1,+￥

)上連續(xù),且(1,+￥

)可導(dǎo)，故在[1,+￥

)上單調(diào)增加；xx證:

設(shè)f

(

x

)

=

2

x

-

3

+

1

（1，+

￥

）

f

(

1

)

=

0

,

f

(

x

)

>f

(1

)

=

0x\

當(dāng)x

>

1時,2

x

>

3

-

1

成立f

(

x)

>

0,二、函數(shù)的極值f

(

x)

=

2

x

3

-

9

x

2

+

12

x

-

3x1

=1,x

2

=2是函數(shù)增減的分界點(diǎn)在(-￥

,1]上單調(diào)增加；在[1,2]上單調(diào)減少；

在[2,+￥

)上單調(diào)增加；因此，存在著點(diǎn)

x

=

1的一個去心鄰域，對此去心鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)

x,

f

(

x)

<

f

(1)

均成立。存在著點(diǎn)

x

=

2

的一個去心鄰域，對此去心鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)

x,

f

(

x)

>

f

(2)均成立。oxbyy

=

f

(

x)a

x1x2x3

x4x5

x6oxyoxyx0x0一般地1.函數(shù)極值的定義的某鄰域

U x0

)定義

設(shè)函數(shù)

f

x)在點(diǎn)

x0o內(nèi)有定義，若"x

?

U(x0

)，有f

x)<

f x0

)

或f

x)>

f

x0

),則稱

f

x0

是函數(shù)

f

x)的一個極大值（或極小值）函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。函數(shù)f

(x)=2x3

-9x2

+12x

-3有極大值f

(1)=2和極小值f

(2)=1,點(diǎn)x

=1,x

=2是函數(shù)f

(x

)的極值點(diǎn)。注1

極值是函數(shù)的局部性概念，與最值不同；注2

極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值。2.

函數(shù)極值的求法由費(fèi)馬引理易得函數(shù)取得極值的必要條件，定理1(必要條件)設(shè)f

(x)在點(diǎn)x0

處具有導(dǎo)數(shù),且在x0

處取得極值,那末必定f

￠(x0

)=0例如,y

=

x

3

,

y=

0,

但

x

=

0不是極值點(diǎn)x

=

0x

)=0的實(shí)注1

使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)(即方程f根)，叫做函數(shù)

f

x)的駐點(diǎn)。注2

可導(dǎo)函數(shù)f

(x)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn),但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)。如果x

?

(

x0

-

d,

x0

),有

f

(

x)

>

0;而x

?

(

x0

,

x0

+

d

)有f

￠(x)<0，則f

(x)在x0

處取得極大值。如果x

?

(x0

-d,x0

),有f

￠(x)<0;而x

?

(x0

,x0

+d

)有f

￠(x)>0，則f

(x)在x0

處取得極小值。如果當(dāng)x

?

(

x0

-

d,

x0

)及x

?

(

x0

,

x0

+

d

)時,

f

￠(

x)符號相同,則f

(x)在x0

處無極值。x定理2

(第一充分條件)yoyo

x0x0f

(x)>0

f

(x)

<0f

(x)

<0f

(x)

>0xyx

xyo

ox0x0f

(

x)

>

0f

(

x)

<

0f

(

x)

<

0f

(

x)

>

0(不是極值點(diǎn)情形)求極值的步驟求出導(dǎo)數(shù)

f

(

x);求出f

(

x

)

=

0的點(diǎn),

與f

(

x

)不存在的點(diǎn);考察

f

(

x

)

=

0及f

(

x

)不存在的點(diǎn)左右的 正負(fù)號,

判斷極值點(diǎn)

;求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值。例6求函數(shù)f

(x)=x3

-3x2

-9x

+5

的極值解：(1)

f

￠(

x)

=

3

x

2

-

6

x

-

9

=

3(

x

+

1)(

x

-

3)令f

(

x)

=

0，得駐點(diǎn)

x1

=

-1,

x2

=

3用(2)求出的各點(diǎn)將定義域分成若干子區(qū)間極大值極小值x(-￥

,-1)-1(-1,3)3(3,+￥

)f

(x)>00<00>0f

(x)10-22極小值f

(3)=-22(4)極大值f

(-1)=10,f

(x)=x

3

-3

x

2

-9

x

+5

圖形如下MN\f

(x0

+Dx)-f

(x0)與Dx異號，當(dāng)Dx

<

0時，f

(

x0

+

Dx)

>

f

(

x0

)

=

0<

0000Dxfi

0

f

￠(

x

)

=

limDxf

(

x

+

Dx)

-

f

(

x

)定理3(第二充分條件)設(shè)f(x)在

x0處具有二階導(dǎo)數(shù),

且

f

(

x0

)

=

0,

f

(

x0

)

?

0,

那末當(dāng)

f

(

x0

)

<

0時,函數(shù)f

(x)在

x0處取得極大值;當(dāng)

f

(

x0

)

>

0時,函數(shù)f

(x)在

x0處取得極小值。證：(1)得寸進(jìn)尺：f

(

x0

)

=

0？？？所以,函數(shù)f

(x)在x0

處取得極大值。(2)同理可以證明:當(dāng)

f

(x0

)

>0

時，函數(shù)f

(x)在x0處取得極小值。當(dāng)Dx

>

0時，f

(

x0

+

Dx)

<

f

(

x0

)

=

0解:例7

求函數(shù)

f

(

x

)

=

(

x

2

-

1)

3

+

1

的極值f

(

x

)

=

6

x(

x

2

-

1)2令

f

(

x)

=

0，得駐點(diǎn)x1

=

-1,

x2

=

0,

x3

=

1f

￠(

x