第一章集合和簡(jiǎn)易邏輯

第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)§1.1

集合及其運(yùn)算內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)題型分類 深度剖析易錯(cuò)警示系列思想方法 感悟提高練出高分基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)1.集合與元素(1)集合中元素的三個(gè)特征：

確定性、

互異性、

無(wú)序性.(2)元素與集合的關(guān)系是或?qū)儆?/p>

不兩屬種于，用符號(hào)

或

∈表示?.(3)集合的表示法：列舉法、

描述法、

圖.

示法(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)

NN*(或N＋)

Z

QR知識(shí)梳理1答案2.集合間的基本關(guān)系關(guān)系自然語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言Venn圖子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，則x∈B)A?B

(或B?A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個(gè)元素不在集合A中

A

B

(或B

A)集合相等集合A，B中元素相同或集合A，B互為子集

A＝B答案3.集合的運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集圖形符號(hào)A∪B＝{x|x∈A

或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且

x∈B}?UA＝{x|x∈U，

且x?A}答案4.集合關(guān)系與運(yùn)算的常用結(jié)論若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集個(gè)數(shù)為

2n

個(gè)，非空子集個(gè)數(shù)為

2n－1

個(gè)，真子集有

2n－1

個(gè).A?B?A∩B＝

A

?A∪B＝

B

.答案判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(

×

)若{x2,1}＝{0,1}，則x＝0,1.(

×

){x|x≤1}＝{t|t≤1}.(

√

)對(duì)于任意兩個(gè)集合A，B，關(guān)系(A∩B)?(A∪B)恒成立.(√

)(5)若A∩B＝A∩C，則B＝C.(

×

)(6)含有n個(gè)元素的集合有2n個(gè)真子集.(

×

)思考辨析答案1.(2015·四川)設(shè)集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，則A∪B等于(

A

)A.{x|－1＜x＜3}

B.{x|－1＜x＜1}C.{x|1＜x＜2}

D.{x|2＜x＜3}解析

借助數(shù)軸知A∪B＝{x|－1＜x＜3}．考點(diǎn)自測(cè)12345解析答案22.已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B為整數(shù)集，則A∩B等于(

A

)A.{－1,0,1,2}

B.{－2，－1,0,1}C.{0,1}

D.{－1,0}解析

因?yàn)锳＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因?yàn)榧螧為整數(shù)集，所以集合A∩B＝{－1,0,1,2}，故選A.12345解析答案A.[0,1]C.[0,1)B.(0,1]D.(－∞，1]解析

由題意得M＝{0,1}，N＝(0,1]，故M∪N＝[0,1]，故選A.3.(2015·陜西)設(shè)集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg

x≤0}，則M∪N等于

(

A

)12345解析答案4.(教材改編)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，則?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}

.解析

∵A∪B＝{x|2<x<10}，∴?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}.12345解析答案5.已知集合A＝{(x，y)|

x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，則A∩B的元素個(gè)數(shù)為

2

.解析

集合A表示圓心在原點(diǎn)的單位圓，集合B表示直線y＝x，易知直線y＝x和圓x2＋y2＝1相交，且有2個(gè)交點(diǎn)，故A∩B中有2個(gè)元素.12345解析答案返回題型分類 深度剖析例1

(1)已知集合A＝{0,1,2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個(gè)B.3

C.5

D.9解析

當(dāng)x＝0，y＝0時(shí)，x－y＝0；當(dāng)x＝0，y＝1時(shí)，x－y＝－1；當(dāng)x＝0，y＝2時(shí)，x－y＝－2；當(dāng)x＝1，y＝0時(shí)，

x－y＝1；當(dāng)x＝1，y＝1時(shí)，x－y＝0；當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，

x－y＝－1；當(dāng)x＝2，y＝0時(shí)，x－y＝2；當(dāng)x＝2，y＝1時(shí)，

x－y＝1；當(dāng)x＝2，y＝2時(shí)，x－y＝0.根據(jù)集合中元素的互異性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5個(gè).題型一

集合的含義數(shù)是(

C

)A.1解析答案解析由題意得m＋2＝3

或2m2＋m＝3，－3(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則m的值為

2

.則m＝1

或m＝－3，當(dāng)m＝－3時(shí)，m＋2＝1，而2m2＋m＝3，2

22當(dāng)m＝1時(shí)，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意；2故m＝－3.解析答案思維升華思維升華(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型集合；(2)集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問(wèn)題時(shí)要特別注意.分類討論的思想方法常用于解決集合問(wèn)題.(1)設(shè)集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，則M中的元素個(gè)數(shù)為(

B

)A.3

B.4

C.5

D.6解析

因?yàn)榧螹中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以當(dāng)b＝4時(shí)，a＝1,2,3，此時(shí)x＝5,6,7.當(dāng)b＝5時(shí)，a＝1,2,3，此時(shí)x＝6,7,8.所以根據(jù)集合元素的互異性可知，x＝5,6,7,8.即M＝{5,6,7,8}，共有4個(gè)元素.跟蹤訓(xùn)練1解析答案baba解析

因?yàn)閧1，a＋b，a}＝0，

，b，a≠0，所以a＋b＝0，得b＝－1，a所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.(2)設(shè)

a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0， ，b，則

b－a＝

2

.解析答案題型二

集合間的基本關(guān)系例2

(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，則滿足條件A?C?B的集合C的個(gè)數(shù)為(

D

)A.1

B.2

C.3

D.4解析

由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}.由題意知B＝{1,2,3,4}.∴滿足A?C?B的集合C可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4個(gè).解析答案得a≥2016.(2)已知集合A＝{x|x2－2

017x＋2

016<0}，B＝{x|x<a}，若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

[2

016，＋∞)

.解析由x2－2

017x＋2

016<0，解得1<x<2016，故A＝{x|1<x<2

016}，又B＝{x|x<a}，A?B如圖所示，思維升華解析答案思維升華(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時(shí)，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會(huì)造成漏解；(2)已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系.常用數(shù)軸、Venn圖等來(lái)直觀解決這類問(wèn)題.A.A＝BC.A?BB.A∩B＝?D.B?A解析

A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，結(jié)合數(shù)軸可得：B?A.(1)已知集合

A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，則下列結(jié)論正確的是(

D

)跟蹤訓(xùn)練2解析答案x＝

x2－x，x∈R}，B＝{1，m}，若A?B，則m

的C.－1

或2B.－1D.2

或

2x＝x2－2，解析由題意，若x∈A，則x≥0，2x

－2≥0，解得x＝2.由A?B，得x∈B，所以m＝2.故選A.(2)已知集合A＝{x|值為(

A

)A.2解析答案題型三

集合的基本運(yùn)算命題點(diǎn)1

集合的運(yùn)算例3

(1)設(shè)全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，則?U(A∪B)等于(

D

)A.{1,4}

B.{1,5}C.{2,5}

D.{2,4}解析

由題意可知U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，所以?U(A∪B)＝{2,4}.故選D.解析答案)A.{x|2<x<4}C.{x|x≤2或x≥4}B.{x|x≥2}D.{x|x<2或x≥4}解析∵A＝{x|x≥2}，B＝{x|1<x<4}，∴A∩B＝{x|x≥2}∩{x|1<x<4}＝{x|2≤x<4}，?R(A∩B)＝{x|x<2或x≥4}.故選D.(2)已知集合A＝{x|x－2≥0}，B＝{x|0<log2x<2}，則?R(A∩B)是(

D解析答案命題點(diǎn)2

利用集合運(yùn)算求參數(shù)A.0

或

3C.1

或

3B.0

或3D.1

或3例

4

(1)已知集合

A＝{1,3，

m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m

等于(

B

)解析

由

A∪B＝A得

B?A，有m∈A，所以有

m＝

m或

m＝3，即m＝3或m＝1或m＝0，又由集合中元素的互異性知m≠1，故選B.解析答案(2)設(shè)集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍B.a≥1D.a≤0解析由A∩B＝?可得，0?B,1?B，則a≥1，故選B.是(

B

)A.a≤1C.a≥0解析答案思維升華思維升華(1)一般來(lái)講，集合中的元素若是離散的，則用Venn圖表示；集合中的元素若是連續(xù)的實(shí)數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況.(2)運(yùn)算過(guò)程中要注意集合間的特殊關(guān)系的使用，靈活使用這些關(guān)系，會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)化.A.{2,5}C.{2,5,6}B.{3,6}D.{2,3,5,6,8}解析

由題意知，?UB＝{2,5,8}，則A∩(?UB)＝{2,5}，選A.(1)(2015·天津)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，則集合A∩(?UB)等于(

A

)跟蹤訓(xùn)練3解析答案(2)已知集合A＝{x|x>2

或x<－1}，B＝{x|a≤x≤b}，若A∪B＝R，A∩Ba解析由A＝{x|x>2或x<－1}，A∪B＝R，A∩B＝{x|2<x≤4}，可得B＝{x|－1≤x≤4}，則a＝－1，b＝4，a故b＝－4.＝{x|2<x≤4}，則b＝

－4

.解析答案題型四

集合的新定義問(wèn)題例

5

若集合

A

具有以下性質(zhì)：(Ⅰ)0∈A,1∈A；(Ⅱ)若x∈A，y∈A，則x－y∈A，且x≠0

時(shí)，1∈A.x則稱集合

A

是“好集”.下列命題正確的個(gè)數(shù)是(

)(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；(2)有理數(shù)集Q是“好集”；(3)設(shè)集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，則x＋y∈A.A.0

B.1

C.2

D.3解析答案思維升華解析

(1)集合B不是“好集”，假設(shè)集合B是“好集”，因?yàn)椋?∈B,1∈B，所以－1－1＝－2∈B，這與－2?B矛盾.所以有理數(shù)集Q是“好集”.

(3)因?yàn)榧螦是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，則0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A.答案

C(2)有理數(shù)集Q是“好集”，因?yàn)?∈Q,1∈Q，對(duì)任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0

時(shí)，1x∈Q，思維升華思維升華解決以集合為背景的新定義問(wèn)題，要抓住兩點(diǎn)：(1)緊扣新定義.首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過(guò)程之中，這是破解新定義型集合問(wèn)題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；(2)用好集合的性質(zhì).解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運(yùn)算與性質(zhì).思想方法 感悟提高集合中的元素的三個(gè)特征，特別是無(wú)序性和互異性在解題時(shí)經(jīng)常用到.解題后要進(jìn)行檢驗(yàn)，要重視符號(hào)語(yǔ)言與文字語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)化.對(duì)連續(xù)數(shù)集間的運(yùn)算，借助數(shù)軸的直觀性，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化；對(duì)已知連續(xù)數(shù)集間的關(guān)系，求其中參數(shù)的取值范圍時(shí)，要注意單獨(dú)考察等號(hào)能否取到.對(duì)離散的數(shù)集間的運(yùn)算，或抽象集合間的運(yùn)算，可借助Venn圖.這是數(shù)形結(jié)合思想的又一體現(xiàn).方法與技巧解題中要明確集合中元素的特征，關(guān)注集合的代表元素(集合是點(diǎn)集、數(shù)集還是圖形集).對(duì)可以化簡(jiǎn)的集合要先化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系運(yùn)算.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，時(shí)刻關(guān)注對(duì)空集的討論，防止漏解.解題時(shí)注意區(qū)分兩大關(guān)系：一是元素與集合的從屬關(guān)系；二是集合與集合的包含關(guān)系.Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進(jìn)行集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的常用方法，其中運(yùn)用數(shù)軸圖示法時(shí)要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心.失誤與防范返回練出高分1.下列集合中表示同一集合的是(

)A.M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B.M＝{2,3}，N＝{3,2}C.M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D.M＝{2,3}，N＝{(2,3)}1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516

17

18解析答案解析

選項(xiàng)A中的集合M表示由點(diǎn)(3,2)所組成的單點(diǎn)集，集合N表示由點(diǎn)(2,3)所組成的單點(diǎn)集，故集合M與N不是同一個(gè)集合.選項(xiàng)C中的集合M表示由直線x＋y＝1上的所有點(diǎn)組成的集合，集合N表示由直線x＋y＝1上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M與N不是同一個(gè)集合.選項(xiàng)D中的集合M是數(shù)集，而集合N是點(diǎn)集，故集合M與N不是同一個(gè)集合.對(duì)選項(xiàng)B，由集合元素的無(wú)序性，可知M，N表示同一個(gè)集合.答案

B1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18A.4

B.5

C.6

D.7解析

∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2,3,4,5,6,8.∴B中共有6個(gè)元素.2.設(shè)集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，則集合B中的元素個(gè)數(shù)為(

C

)1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516

17

18解析答案3.(2015·

課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知集合A

＝

{x|x

＝

3n

＋2

，n∈N}，B

＝{6,8,10,12,14}，則集合A∩B中元素的個(gè)數(shù)為(

D

)A.5

B.4

C.3

D.2解析

A＝{…，5,8,11,14,17，…}，B＝{6,8,10,12,14}，集合A∩B中有兩個(gè)元素.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516

17

18解析答案4.(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)A.{－1,0}C.{－1,0,1}B.{0,1}D.{0,1,2}解析

由A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}＝{x|－2＜x＜1}，得A∩B＝{－1,0}，故選A.＜0}，則A∩B等于(

A

)1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516

17

18解析答案5.已知集合A，B均為全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝A.{3}C.{3,4}B.{4}D.?解析

∵U＝{1,2,3,4}，?U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}.又∵B＝{1,2}，∴{3}?A?{1,2,3}，又?UB＝{3,4}，∴A∩(?UB)＝{3}.{1,2}，則A∩(?UB)等于(

A

)1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18解析答案6.設(shè)集合A＝{3，x2}，B＝{x，y}，若A∩B＝{2}，則y的值為(

B

)A.1

B.2C.4

D.3解析

由A∩B＝{2}得x2＝2，∴x＝±

2，故y＝2.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516

17

18解析答案A.2個(gè)

B.4個(gè)

C.6個(gè)

D.8個(gè)解析

∵M(jìn)＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∩N＝{1,3}.∴M∩N的子集共有22＝4個(gè).7.已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，則P的子集共有(

B

)1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

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17

18解析答案8.已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A?B，則a的取值范圍B.[0，＋∞)D.(0，＋∞)解析

用數(shù)軸表示集合A，B(如圖),為(

B

)A.(－∞，0]C.(－∞，0)由A?B得a≥0.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18解析答案解析

∵1?{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.9.已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1]

.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16