主成分分析法例子

關于主成分分析法例子第1頁，講稿共20頁，2023年5月2日，星期三一、主成分分析的基本原理

假定有n個樣本，每個樣本共有p個變量，構成一個n×p階的數(shù)據(jù)矩陣（1）

第2頁，講稿共20頁，2023年5月2日，星期三降維處理?。?！當p較大時，在p維空間中考察問題比較麻煩。降維是用較少的幾個綜合指標代替原來較多的變量指標，而且使這些較少的綜合指標既能盡量多地反映原來較多變量指標所反映的信息，同時它們之間又是彼此獨立的。第3頁，講稿共20頁，2023年5月2日，星期三定義：記x1，x2，…，xP為原變量指標，z1，z2，…，zm（m≤p）為新變量指標(2)

第4頁，講稿共20頁，2023年5月2日，星期三系數(shù)lij的確定原則：

①zi與zj（i≠j；i，j=1，2，…，m）相互無關；②

z1是x1，x2，…，xP的一切線性組合中方差最大者，z2是與z1不相關的x1，x2，…，xP的所有線性組合中方差最大者；

……zm是與z1，z2，……，zm－1都不相關的x1，x2，…xP，的所有線性組合中方差最大者。則新變量指標z1，z2，…，zm分別稱為原變量指標x1，x2，…，xP的第一，第二，…，第m主成分。

第5頁，講稿共20頁，2023年5月2日，星期三

從以上的分析可以看出，主成分分析的實質就是確定原來變量xj（j=1，2，…，

p）在諸主成分zi（i=1，2，…，m）上的載荷

lij（

i=1，2，…，m；

j=1，2，…，p）。從數(shù)學上可以證明，載荷lij分別是相關矩陣的m個較大的特征值所對應的特征向量。第6頁，講稿共20頁，2023年5月2日，星期三二、計算步驟

（一）計算相關系數(shù)矩陣

rij（i，j=1，2，…，p）為原變量xi與xj的相關系數(shù)，rij=rji，其計算公式為：（3）

（4）

第7頁，講稿共20頁，2023年5月2日，星期三

（二）計算特征值與特征向量：

①解特征方程，求出特征值，并使其按大小順序排列；

②

分別求出對應于特征值的特征向量，要求=1，即，其中表示向量的第j個分量。第8頁，講稿共20頁，2023年5月2日，星期三③

計算主成分貢獻率及累計貢獻率

▲貢獻率:▲累計貢獻率:

一般取累計貢獻率達85—95%的特征值所對應的第一、第二、…、第m（m≤p）個主成分。

第9頁，講稿共20頁，2023年5月2日，星期三（6）

④各主成分的得分第10頁，講稿共20頁，2023年5月2日，星期三三、主成分分析方法應用實例表1某農業(yè)生態(tài)經濟系統(tǒng)各區(qū)域單元的有關數(shù)據(jù)

第11頁，講稿共20頁，2023年5月2日，星期三第12頁，講稿共20頁，2023年5月2日，星期三步驟如下：（1）將表1中的數(shù)據(jù)作標準差標準化處理，然后將它們代入公式（4）計算相關系數(shù)矩陣（見表2）。表2相關系數(shù)矩陣第13頁，講稿共20頁，2023年5月2日，星期三

（2）由相關系數(shù)矩陣計算特征值，以及各個主成分的貢獻率與累計貢獻率（見表3）。由表3可知，第一，第二，第三主成分的累計貢獻率已高達86.596%（大于85%），故只需要求出第一、第二、第三主成分z1，z2，z3即可。

第14頁，講稿共20頁，2023年5月2日，星期三表3特征值及主成分貢獻率

第15頁，講稿共20頁，2023年5月2日，星期三

（3）對于特征值=4.6610，=2.0890，=1.0430分別求出其特征向量l1，l2，l3。第16頁，講稿共20頁，2023年5月2日，星期三表4主成分載荷

第17頁，講稿共20頁，2023年5月2日，星期三

①第一主成分z1與x1，x5，x6，x7，x9呈顯出較強的正相關，與x3呈顯出較強的負相關，而這幾個變量則綜合反映了生態(tài)經濟結構狀況，因此可以認為第一主成分z1是生態(tài)經濟結構的代表。

②第二主成分z2與x2，x4，x5呈顯出較強的正相關，與x1呈顯出較強的負相關，其中，除了x1為人口總數(shù)外，x2，x4，x5都反映了人均占有資源量的情況，因此可以認為第二主成分z2代表了人均資源量。

分析：第18頁，講稿共20頁，2023年5月2日，星期三顯然，用三個主成分z1、z2、z3代替原來9個變量（x1，x2，…，x9），描述農業(yè)生態(tài)經濟系統(tǒng)，可以使問題更進一步簡化、明了。③第三主成分z3，與