二次函數(shù)與不等式

關(guān)于二次函數(shù)與不等式第1頁，講稿共11頁，2023年5月2日，星期三1.方程

f(x)=0

有兩正根

一、二次方程

ax2+bx+c=0(a>0)

的實根分布問題記

f(x)=ax2+bx+c(a>0),△=b2-4ac≥0.x1+x2=-

>0

abacx1x2=

>0

△=b2-4ac≥0f(0)>0.-

>0

2ab2.方程

f(x)=0

有兩負根

△=b2-4ac≥0.x1+x2=-

<0

abacx1x2=

>0

△=b2-4ac≥0f(0)>0.-

<0

2ab4.方程

f(x)=0

的兩實根都小于

k

△=b2-4ac≥0f(k)>0.-

<k

2ab3.方程

f(x)=0

有一正根一負根

f(0)=c<0.5.方程

f(x)=0

的兩實根一個大于

k,另一個小于

k

f(k)<0.第2頁，講稿共11頁，2023年5月2日，星期三6.方程

f(x)=0

的兩實根都大于

k△=b2-4ac≥0f(k)>0.-

>k

2ab7.方程

f(x)=0

的兩實根都在區(qū)間(m,n)內(nèi)f(m)>0

△=b2-4ac≥0m<

-

<n

2abf(n)>0.8.方程

f(x)=0

的兩實根中,有且只有一個在區(qū)間(m,n)內(nèi).f(m)f(n)<0,或f(m)=0m<

-

<,2abm+n

2<

-

<

n.

2abm+n

2f(n)=0或思考方程的兩根有且只有一個在區(qū)間[m,n]上時等價于?9.方程

f(x)=0

的兩根分別在區(qū)間(m,n)和(p,q)(n<p)內(nèi).f(m)>0

f(n)<0f(p)<0f(q)>0.

注涉及方程

f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的實根分布問題,一般情況下要從四個方面考慮:①

f(x)

圖象的開口方向;②方程

f(x)=0的判別式;④區(qū)間端點處函數(shù)值的符號.

③

f(x)

圖象的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系;第3頁，講稿共11頁，2023年5月2日，星期三例1．已知函數(shù)f(x)=mx2+(m-3)x+1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點的右側(cè)，求實數(shù)m的取值范圍.解題分析：函數(shù)f(x)=mx2+(m-3)x+1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點的右側(cè)，就是表明關(guān)于x的方程mx2+(m-3)x+1=0至少有一個正根，可借助根與系數(shù)的關(guān)系來解。解：若m=0，則f(x)=-3x+1,顯然滿足要求.若m≠0，有兩種情況：綜上可得m∈(-∞,1]第4頁，講稿共11頁，2023年5月2日，星期三例2.已知對于x的所有實數(shù)值，二次函數(shù)的值都非負，求關(guān)于x的方程的根的范圍.解題分析：由已知方程將x表示為a

的函數(shù)，這樣求方程根的問題就轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域的問題。解：由已知得，△≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,原方程化為x=-a2+a+6第5頁，講稿共11頁，2023年5月2日，星期三解：由已知得，△≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,(2)當(dāng)1≤a≤2時，原方程化為x=a2+3a+2它在[1,2]上為增函數(shù)，∴6≤x≤12例2.已知對于x的所有實數(shù)值，二次函數(shù)的值都非負，求關(guān)于x的方程的根的范圍.第6頁，講稿共11頁，2023年5月2日，星期三例3.已知函數(shù)

f(x)=ax2+4x+b(a<0,a,bR).設(shè)關(guān)于

x

的方程f(x)=0

的兩根分別為

x1,x2,

f(x)=x

的兩根分別為,.(1)若|-|=1,求

a,b

滿足的關(guān)系式;(2)若

a,b

均為負整數(shù),且|-|=1,求f(x)的解析式.a2+4ab=9(a<0,a,bR);f(x)=

-x2+4x

-2.第7頁，講稿共11頁，2023年5月2日，星期三練習(xí)1.1.已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍

(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范

2.已知函數(shù)f(x)=x2-(2a-1)x+a2-2與非負軸至少有一個交點，求的取值范圍．第8頁，講稿共11頁，2023年5月2日，星期三練習(xí)23.若不等式(a－2)x2+2(a－2)x－4<0對一切x∈R恒成立，則a的取值范圍是()A(－∞,2] B[－2,2] C(－2,2] D(－∞,－2)4設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,則f(m－1)的值為()A正數(shù) B負數(shù) C非負數(shù) D正數(shù)、負數(shù)和零都有可能5二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為正，且對任意實數(shù)x恒有f(2+x)=f(2－x