空間向量與平行、垂直關(guān)系

3.2立體幾何中的向量方法空間向量與平行、垂直關(guān)系本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第1頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分課標(biāo)要求素養(yǎng)達(dá)成1.理解直線的方向向量與平面的法向量,并能運(yùn)用它們證明平行問題和垂直問題.2.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行關(guān)系和垂直關(guān)系.通過對(duì)空間向量與平行、垂直關(guān)系的學(xué)習(xí),進(jìn)一步提升學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力與問題轉(zhuǎn)化能力.本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第2頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分新知探求素養(yǎng)養(yǎng)成知識(shí)點(diǎn)一如圖(1)所示,直線l∥m,在直線l上取兩點(diǎn)A,B,在直線m上取兩點(diǎn)C,D.直線的方向向量和平面的法向量圖(1)本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第3頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分如圖(2)所示,直線l⊥平面α,直線l∥m,在直線m上取向量n.圖(2)本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第4頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分梳理

(1)直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線

的向量,一條直線的方向向量有無數(shù)個(gè).(2)平面的法向量直線l⊥α,取直線l的方向向量a,則向量a叫做平面α的法向量.平行或共線本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第5頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分知識(shí)點(diǎn)二空間平行關(guān)系的向量表示如圖(3)所示,直線l∥平面α,直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n.圖(3)如圖(4)所示,平面α∥平面β,平面α的法向量為m,平面β的法向量為n.圖(4)本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第6頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分問題2:(1)在圖(3)中,向量a與向量n的關(guān)系是怎樣的?(2)在圖(4)中,向量m與向量n的關(guān)系是怎樣的?答案:(1)a⊥n.(2)m∥n.本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第7頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分梳理

(1)線線平行設(shè)直線l,m的方向向量分別為a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),則l∥m?a∥b?

?a1=λa2,b1=λb2,c1=λc2(λ∈R).(2)線面平行設(shè)直線l的方向向量為a=(a1,b1,c1),平面α的法向量為u=(a2,b2,c2),l?α,則l∥α?a⊥u?

?a1a2+b1b2+c1c2=0.(3)面面平行設(shè)平面α,β的法向量分別為u=(a1,b1,c1),v=(a2,b2,c2),則α∥β?u∥v?

?a1=λa2,b1=λb2,c1=λc2(λ∈R).a=λba·u=0u=λv本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第8頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分知識(shí)點(diǎn)三空間垂直關(guān)系的向量表示如圖(5)所示,直線l⊥平面α,直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n.圖(5)如圖(6)所示,平面α⊥平面β,平面α的法向量為n,平面β的法向量為m.圖(6)本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第9頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分問題3:(1)在圖(5)中,向量a與向量n的關(guān)系是怎樣的?(2)在圖(6)中,向量m與向量n的關(guān)系是怎樣的?答案:(1)a∥n.(2)m⊥n.梳理

(1)線線垂直設(shè)直線l的方向向量為a=(a1,a2,a3),直線m的方向向量為b=(b1,b2,b3),則l⊥m?a·b=0?

.(2)線面垂直設(shè)直線l的方向向量是a=(a1,b1,c1),平面α的法向量是u=(a2,b2,c2),則l⊥α?a∥u?a=λu?

(λ∈R).(3)面面垂直若平面α的法向量u=(a1,b1,c1),平面β的法向量v=(a2,b2,c2),則α⊥β?u⊥v?u·v=0?

.a1b1+a2b2+a3b3=0a1=λa2,b1=λb2,c1=λc2a1a2+b1b2+c1c2=0本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第10頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分題型一利用空間向量證明平行問題課堂探究

素養(yǎng)提升【例1】

已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,E,F分別是BB1,DD1的中點(diǎn),求證:FC1∥平面ADE.證明:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第11頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第12頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分一題多變:在本例條件下,求證:平面ADE∥平面B1C1F.本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第13頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分方法技巧利用向量法證明幾何中的平行問題可以通過兩條途徑實(shí)現(xiàn),一是利用三角形法則和平面向量基本定理實(shí)現(xiàn)向量間的相互轉(zhuǎn)化,得到向量的共線關(guān)系;二是通過建立空間直角坐標(biāo)系,借助直線的方向向量和平面的法向量進(jìn)行平行關(guān)系的證明.本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第14頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分【備用例1】如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點(diǎn).求證:MN∥平面A1BD.本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第15頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第16頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第17頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分題型二利用空間向量證明線線垂直問題【例2】已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為1,M是底面上BC邊的中點(diǎn),N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn),且CN=CC1.求證:AB1⊥MN.本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第18頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第19頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第20頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分方法技巧用向量法證明空間兩條直線相互垂直,主要思路是證明兩直線的方向向量相互垂直,具體方法為(1)坐標(biāo)法:根據(jù)圖形的特征,建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,準(zhǔn)確地寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),表達(dá)出兩直線的方向向量,證明其數(shù)量積為0.(2)基向量法:利用向量的加減法運(yùn)算,結(jié)合圖形,將要證明的兩直線所在的向量用基向量表達(dá)出來,利用數(shù)量積運(yùn)算證明兩向量的數(shù)量積為0.本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第21頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分即時(shí)訓(xùn)練2-1:如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,求證:AC⊥BC1.本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第22頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分【備用例2】(2018·南通高二期中)如圖,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)AD=1,D1D=λ(λ>0),若棱C1C上存在唯一的一點(diǎn)P滿足A1P⊥PB,求實(shí)數(shù)λ的值.本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第23頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第24頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分題型三利用空間向量證明線面垂直問題【例3】如圖所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,D為CC1的中點(diǎn).求證:AB1⊥平面A1BD.證明:如圖所示,取BC的中點(diǎn)O,連接AO.因?yàn)椤鰽BC為正三角形,所以AO⊥BC.因?yàn)樵谡庵鵄BC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1.本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第25頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第26頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分方法技巧用向量法證明線面垂直的方法及步驟(1)基向量法①確定基向量作為空間的一個(gè)基底,用基向量表示有關(guān)直線的方向向量;②找出平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量,并分別用基向量表示;③分別計(jì)算有關(guān)直線的方向向量與平面內(nèi)相交直線的方向向量的數(shù)量積,根據(jù)數(shù)量積為0,證得線線垂直,然后由線面垂直的判定定理得出結(jié)論.(2)坐標(biāo)法方法一:①建立空間直角坐標(biāo)系;②將直線的方向向量用坐標(biāo)表示;③找出平面內(nèi)兩條相交直線,并用坐標(biāo)表示它們的方向向量;本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第27頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分④分別計(jì)算兩組向量的數(shù)量積,得到數(shù)量積為0.方法二:①建立空間直角坐標(biāo)系;②將直線的方向向量用坐標(biāo)表示;③找出平面的法向量;④判斷直線的方向向量與平面的法向量平行.本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第28頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分即時(shí)訓(xùn)練3-1:如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.證明:A1C⊥平面BB1D1D.本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第29頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第30頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分【備用例3】

在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD=DC,E,F分別是AB,PB的中點(diǎn).(1)求證:EF⊥CD;本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第31頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分(2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G,使GF⊥平面PCB.本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第32頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分題型四利用空間向量證明面面垂直問題【例4】如圖,在四棱錐E-ABCD中,AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE=120°.求證:平面ADE⊥平面ABE.本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第33頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第34頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分方法技巧利用空間向量證明面面垂直通?？梢杂袃蓚€(gè)途徑,一是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直;二是直接求解兩個(gè)平面的法向量,證明兩個(gè)法向量垂直,從而得到兩個(gè)平面垂直.本文檔共40頁(yè)；當(dāng)前第35頁(yè)；編輯于星期二\18點(diǎn)1分即時(shí)訓(xùn)練4-1:三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示,截面為三角形A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC.A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D為BC的中點(diǎn).證明:平面A1AD⊥平面BCC1B1.本文檔共4