北京市西城區(qū)北師大版2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題理科含答案

北京市西城區(qū)（北區(qū)）2022—2022學(xué)年下學(xué)期高二期末考試

數(shù)學(xué)試卷（理科）

試卷滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足z（2—i）=7—i,則z等于

A.1+3zB.1—3iC.3—iD.3+，

2.甲騎自行車從A地到B地，途中要經(jīng)過(guò)4個(gè)十字路口，已知甲在每個(gè)十字路口遇到紅

燈的概率都是工，且在每個(gè)路口是否遇到紅燈相互獨(dú)立，那么甲在前兩個(gè)十字路口都沒(méi)有

3

遇到紅燈，直到第3個(gè)路口才首次遇到紅燈的概率是

14八41

A.-B.-C.—D.—

392727

3.函數(shù)/（x）=—的圖象在點(diǎn)（2,/（2））處的切線方程是

A.x-4y=0B.x-4y-2=0

C.x-2y-l=0D.x+4y—4=0

4.從0,1,2,3,4中隨機(jī)選兩個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)，其中偶數(shù)有

A.9個(gè)B.10個(gè)C.11個(gè)D.12個(gè)

5.設(shè)函數(shù)/（》）=辦3+汝2+5+2的導(dǎo)函數(shù)為了，俗，若廣（X）為奇函數(shù)，則有

A.〃H0,C=0B.b=0

C?。=0,cw0D.a1+c~-0

6.已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么它與x軸所圍成的封閉圖形的面積等于

7.將4名男生和4名女生隨機(jī)地排成一行，那么有且只有,2名男生相鄰的概率是

11

AD.

'72856

8.已知函數(shù)/（x）=

①1￥（）￡（0,+00）,%為了（X）的一個(gè)極大值點(diǎn);

(2)VX€(8,+8),/(X)>0o

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A.(4,8]B.[8,+oo)

C.(—8,0)u[8,+oo)D.(-co,0)u(4,8]

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。

9.+五］的二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為。（用數(shù)字作答）

10.如果函數(shù)/（x）=cosx,那么/⑤+/閨=。

11.已知某隨機(jī)變量X的分布列如下（〃，qeR）：

X1-1

ppq

且X的數(shù)學(xué)期望七（x）=；,那么X的方差D（X）=。

12.已知函數(shù)y—的圖象在尤=（）和》=后處的切線互相平行，則實(shí)數(shù)

x+a

13.有一5名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生，現(xiàn)要從中選6名醫(yī)生組成2個(gè)地震醫(yī)療小組，要求每個(gè)

小組有2名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生，那么有種不同的組隊(duì)方法。（用數(shù)字作答）

14.設(shè)函數(shù)￡,（x）=x"+x-l,其中〃eN*,且“22,給出下列三個(gè)結(jié)論：

①函數(shù)人⑴在區(qū)間（；，1）內(nèi)不存在零點(diǎn)；

②函數(shù)〃X)在區(qū)間(g,1)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；

③設(shè)x.(〃>4)為函數(shù)/“(x)在區(qū)間(g,1)內(nèi)的零點(diǎn)，則居<用用。

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為0

三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題滿分13分)

甲、乙兩人練習(xí)投籃，每次投籃命中的概率分別為』，設(shè)每人每次投籃是否命中

32

相互之間沒(méi)有影響。

(I)如果甲、乙兩人各投籃1次，求兩人投籃都沒(méi)有命中的概率；

(II)如果甲投籃3次，求甲至多有1次投籃命中的概率。

16.(本小題滿分13分)

O1

設(shè)函數(shù)/(x)=qr,且4=上，=/(4")，其中〃=1，2,3,…。

x+12

(I)計(jì)算的，。3，。4的值；

(II)猜想數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式，并用數(shù)字歸納法加以證明。

17.(本小題滿分13分)

已知函數(shù)/(x)=e2*T-2》。

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)設(shè)beR,求函數(shù)/(x)在區(qū)間［。，〃+1］上的最小值。

18.(本小題滿分13分)

箱中裝有4個(gè)白球和初(meN*)個(gè)黑球。規(guī)定取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得

1分，現(xiàn)從箱中任取3個(gè)球，假設(shè)每個(gè)球被取出的可能性都相等。記隨機(jī)變量X為取出的3

個(gè)球所得分?jǐn)?shù)之和。

(I)若P(X=6)=g,求加的值；

(II)當(dāng)加=3時(shí)，求X的分布列和數(shù)字期望E(X)。

19.(本小題滿分14分)

請(qǐng)先閱讀：

設(shè)平面向量a=(q,%)，〃=(仿也)，且a與人的夾角為。，

因?yàn)?|aII)|cos。，

所以a/Sa||b|°

即axb{+a2b2<Ja：+a；xQb；+b；，

當(dāng)且僅當(dāng)。=0時(shí)，等號(hào)成立。

(I)利用上述想法(或其他方法)，結(jié)合空間向量，證明：對(duì)于任意卬，勺，心，仇，

2

b2,打e/?,都有(<2也+a2b2+a3b3)<(a：+af+旅:+區(qū)+區(qū))成立；

(II)試求函數(shù)y=y[x+yj2x—2+-8-3x的最大值。

20.(本小題滿分14分)

已知函數(shù)/(x)=-fr(2)x,g(x)=lnx-^x2o

(I)求函數(shù)/(x)的解析式；

(ID若對(duì)于任意無(wú)￡(o,+00),都有/(x)+g(x)<a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

12

(III)設(shè)玉，x2>0,a”/￡[°，1]，且4+%=1，求證：xf^2<。內(nèi)+a2x2。

【試題答案】

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。

1.D2.C3.D4.B5.D6.C7,A

8.A

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

9.16010.11.-12.-113.9014.②③

24

注：第14題多選、少選均不得分。

三、解答題：本大題共6小題，共80分。（如有其他方法，仿此給分）

15.（本小題滿分13分）

（I）解：記“甲、乙兩人各投籃1次，且都沒(méi)有命中”為事件A。（1分）

因?yàn)榧酌看瓮痘@命中的概率為1,

3

_12

所以甲投籃一次且沒(méi)有命中的概率為=（2分）

33

同理，乙投籃一次且沒(méi)有命中的概率為1-工=,。（3分）

22

所以-{1=（

答：甲、乙兩人各投籃1次，且都沒(méi)有命中的概率為（6分）

3

（IDW：記“甲投籃3次，且至多有1次投籃命中”為事件B。（7分）

因?yàn)榧酌看瓮痘@命中的概率為1,

3

所以甲投籃3次，且都沒(méi)命中的概率為=—,（9分）

3I3）27

4

11

I分

=

甲投籃3次，且恰有1次投籃命中的概率為C；x^x1--9-

3313

QA

所以P⑻虧+y20

27

20

答：甲投籃3次，且至多有1次投籃命中的概率為（13分）

27

16.（本小題滿分13分）

（I）解：由題意，得。〃+]

因?yàn)閝=—,

12

一、24Q

所以=彳，，。4-?（3分）

9

2〃+i

（II）解：由名,a-,,a,,猜想a,,=——：——（5分）

1404t〃2"T+1

0W-1

以下用數(shù)字歸納法證明：對(duì)任何的〃eN*,a“=—：—

"2"-'+1

證明：①當(dāng)〃=1時(shí)，由已知，左邊=L,右邊=」一=」，所以等式成立。（7分）

21+12

）左一]

②假設(shè)當(dāng)〃=H%eN*）時(shí)等式成立，即4=后1，（8分）

0左一?

2x——-----

2k2k

則〃=%+1時(shí)，4+1=+1

Qk-\2A+1

p.+1

2*T+1

所以當(dāng)〃=4+1時(shí)，猜想也成立。（12分）

根據(jù)①和②，可知猜想對(duì)于任何〃eN*都成立。（13分）

17.（本小題滿分13分）

（I）解:因?yàn)閞（x）=2/z—2。（2分）

令r（x）=0,解得（3分）

當(dāng)x變化時(shí)，f（x）與廣（x）的變化情況如下表：

-8,[

X5,+CC

2

（（X）0+

/（X）極小值/

（5分）

所以函數(shù)/（X）在（一8,1）上單調(diào)遞減，在（；，+00）上單調(diào)遞增。（6分）

（II）解：當(dāng)人+14,時(shí)，

2

因?yàn)楹瘮?shù)/（x）在（4〃+1）上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=/?+l時(shí)，函數(shù)/（x）有最小值/0+l）=e2M-26—2。（8分）

當(dāng)匕<!</?+1時(shí)，

2

因?yàn)楹瘮?shù)/（x）在（仇上單調(diào)遞減，在（；，人+1）上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x時(shí)，函數(shù)/（x）有最小值/（￡|=0。（10分）

當(dāng)匕八時(shí)，

2

因?yàn)楹瘮?shù)/（x）在（b,b+\）上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=b時(shí)，函數(shù)/（X）有最小值/［）=e2J—26。（12分）

綜上，當(dāng)。4-g時(shí)，函數(shù)/Q）在近人+1］上的最小值為/0+l）=e2〃+i-2匕—2；

當(dāng)一g<b<g時(shí)，函數(shù)/（x）在囚b+1］上的最小值為=0；；

當(dāng)人2：時(shí)，函數(shù)/（x）在近8+1］上的最小值為/0）=e2i—2"（13分）

18.（本小題滿分13分）

（I）解：由題意，得取出的3個(gè)球都是白球時(shí)，隨機(jī)變量X=6。（1分）

「37

所以P（X=6）=T-=—，（3分）

、C35

j+4J

即c==10,

解得m-\?（5分）

（II）解：由題意，得X的可能取值為3,4,5,6?（6分）

尸1

則2）=才/

P（X=4）=華上，

'）C：35

P（X=5）=,=*

C4

P（X=6）=―y=o（10分）

^^735

X的分布列為：

X3456

184

Pn—?—12

35353535

（11分）

33

所以E（X）=3x-5-+4xU+5x"+6xg==—o（13分）

''353535357

19.（本小題滿分14分）

（I）證明：設(shè)空間向量a=（ai，a2,?3）,b-{bx,b2,勿），且a與b的夾角為

因?yàn)?|a|?|b|cos。，

所以（3分）

即aQ]+a2b2+a3b3<Ja；+g++；.亞十用十年（6分）

所以（4/?]+a2b2+r"+a；+a；X"；+優(yōu)+b；）,

當(dāng)且僅當(dāng)6=0時(shí)，等號(hào)成立。（7分）

（II）解；設(shè)空間向量a=（l,1,1）,b=J2x-2,j8-3x）,且。與b的夾角

為e,（9分）

因?yàn)閥=Vx+>j2x-2+-8-3x=a?b,

222

所以y=?+J2x-2+J8-3x<Vl+1+1?A/x+（2x-2）+（8-3x）,

即yV6?布=3人,（12分）

當(dāng)且僅當(dāng)夕=0（即a與力共線，且方向相同）時(shí)，等號(hào)成立.

所以當(dāng)y=j2x-2=J8-3尤時(shí)，即x=2時(shí)，函數(shù)y=4+缶-2+般一3x有

最大值ymax='歷。(14分)

20.(本小題滿分14分)

(I)解：因?yàn)閒(x)=^x2-f'(2)x,

所以廣(6=%-/⑵。(2分)

令％=2,得r⑵=1,

所以/(x)=^X2-Xo

(II)解：設(shè)/(x)=/(x)+g(x)=lnx-x,

則f(x)=1—l,(5分)

X

令尸'(6=0,解得X=l。(6分)

當(dāng)x變化時(shí)，尸(x)與F(x)的變化情況如下表:

X(0,1)1(1,+°o)

r(6+