多階段決策過(guò)程mulisedecisionr

1第七局部最短路徑〔Shortest-paths〕7．1問(wèn)題描述在一個(gè)帶權(quán)的無(wú)向或者有向圖中，如果從圖中某頂點(diǎn)〔稱源點(diǎn)〕到達(dá)另頂點(diǎn)〔稱為終點(diǎn)〕的路徑可能不止一條，如何找到一條路徑使得沿此路徑上各邊上的權(quán)值總和到達(dá)最小。

實(shí)際應(yīng)用中，有把交通運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)作為一個(gè)圖，圖中頂點(diǎn)表示城市，圖中各邊表示城市之間的交通運(yùn)輸線。邊上的權(quán)值就根據(jù)具體需要，可以用各種代價(jià)表示，比方路程，運(yùn)費(fèi)，時(shí)間。同時(shí)，可以用有向圖表示往返代價(jià)的不一致。計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中，把網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)看成帶權(quán)圖，路由選擇的時(shí)候采用的固定路由算法其中有使用最短路徑算法。此外，最短路徑算法還應(yīng)用于電子導(dǎo)航中，根據(jù)地理網(wǎng)絡(luò)，得出適宜的航線；應(yīng)用于電力、通訊等各種管網(wǎng)、管線的布局設(shè)計(jì)，城市規(guī)劃等等。由于應(yīng)用的需要，最短路徑算法問(wèn)題成為計(jì)算機(jī)科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、地理信息系統(tǒng)和交通誘導(dǎo)、導(dǎo)航系統(tǒng)等領(lǐng)域研究的一個(gè)熱點(diǎn)。在最短路徑問(wèn)題中，給出的是一個(gè)帶權(quán)有向圖G＝(V,E)，加權(quán)函數(shù)w:ER為從邊到實(shí)型權(quán)值的映射。路徑p=(v0,v1,v2,…,vk)的權(quán)是指組成邊的所有權(quán)值之和：w(p)=∑w(vi-1,vi)i=1—k;定義從u到v間的最短路徑的權(quán)為：從頂點(diǎn)u到v的最短路徑定義為權(quán)w(p)=&(u,v)的任何路徑.不帶權(quán)圖的最短路徑問(wèn)題是一個(gè)特例，可將圖視為沒(méi)條邊的權(quán)值均為1的帶權(quán)圖。兩種最常見(jiàn)的最短路徑問(wèn)題：從某個(gè)源點(diǎn)到其余各頂點(diǎn)的最短路徑每對(duì)頂點(diǎn)間的最短路徑7．2松弛技術(shù)Relaxation在后面介紹的幾個(gè)算法中都用到了松弛技術(shù)，現(xiàn)在就來(lái)看看松弛技術(shù)。僅對(duì)于確每個(gè)攔頂點(diǎn)倚v栽∈能V，暖都設(shè)孕置一哥個(gè)屬買性d褲[v顫]，腳用來(lái)星描述傅從源亡點(diǎn)s擠到v籠的最責(zé)短路銹徑上知權(quán)值辨的上俗界，肚稱為刻最短條路徑耕估計(jì)共〔s列ho萬(wàn)rt拘es袋t-刑pa做th衡e治st廈im營(yíng)at寒e〕敬。我達(dá)們用去下面陸的繭Θ芝(V哪)時(shí)筑間的浮過(guò)程丘來(lái)對(duì)魚最短息路徑青估計(jì)美和前視趨進(jìn)佳行初王始化她。砌IN其IT輔IA拘LI橡ZE攤-S央IN恨GL儀E-箱SO財(cái)U(kuò)R傾CE翼(鋤G,即s海)瞇1傻帳fo夫r誠(chéng)ea扛ch照v掃er臂te追x斃v揉∈男V[擴(kuò)G]盒2胞勝甜d歉o嶄d[縮v]棋←∞語(yǔ)3怕皂吧藏墻π江[v乳]鼓←頸NI痛L覺(jué)4農(nóng)陡d[和s]拾←壞0鐵經(jīng)過(guò)朱初始雷化以遙后，址對(duì)所賠有v式∈斷V，之π誕[v育]=暴NI循L，螺對(duì)v脹∈堅(jiān)V-誓{s忌}，灣有d買[s蛇]=桿0以好及d鑒[v饅]=多∞容。洋在松例弛一農(nóng)條邊蹄(u扔,v攤)的威過(guò)程貢中，誕要測(cè)鞠試是妄否可言以通勤過(guò)u堡，對(duì)賄迄今茶找到漂的v斃的最罰短路紫徑進(jìn)祝行改欣進(jìn)；鋼如果歉可以臂改良偏的話瘡，那么腰更新哲d[前v]于和射π分[v土]。仆一次稻松弛鵲操作肅可以帶減小洲最短橫路徑反估計(jì)秀的值船d[降v]路，并凡更新右v的鉆前趨些域產(chǎn)π嚇[v煉]。愛(ài)下面填的偽恐代碼茄對(duì)邊勻(u廟,v瘡)進(jìn)飼行了潑一步作松弛難操作略。敏RE惹LA海X(吐u,辟v荷,騙w)河1咳擺if勻(d伍[v順]>蜂d[豆u]看+w簡(jiǎn)(u懷,v娃))窗2發(fā)淹子t浩he窄n駕d[固v]禮←弓d[撓u]插+w吐(u塊,v旺)菜3魚撈伴微娘判π草[v恭]技←梯u報(bào)在B截el趕lm峽an騎-F黃or荷d羨al脫go贊ri稍th讓m和嚼Di恩jk傳st冰ra盜’柜s項(xiàng)al思go隆ri柏th廢m都薪會(huì)調(diào)獻(xiàn)用到齊IN憲IT粱IA求LI胳ZE音-S揭IN船GL書E-病SO賠UR幕CE旅(G配,s榆)冒，威然后電重復(fù)易對(duì)邊扁進(jìn)行鵝松弛逃的過(guò)藝程。確另外廁松弛孫是改內(nèi)變最份短路葬徑和辨前趨槐的唯笛一方參式，機(jī)在兩肯個(gè)算娃法之憶間的宋區(qū)別鵝在于茅對(duì)每國(guó)條邊榜進(jìn)行待的松頌弛操撕作的姿次數(shù)豪，以侍及對(duì)晌邊執(zhí)秀行松旋弛操者作的皮次序券不同臂。在爛Di樂(lè)jk蹤st送ra垮’搖s耳al唐go蠶ri返th慚m以徑及關(guān)挽于有黎向無(wú)耐回路餡圖的奸最短炕路徑嘗算法撐中，喝對(duì)每見(jiàn)條邊吉執(zhí)行液情況雹一次席松弛騰操作溝。而衫在神Be權(quán)l(xiāng)l耍ma鵝n-懸Fo紋rd習(xí)算法惠中，矩對(duì)每批條邊銷要執(zhí)際行多袋次松宣弛操惜作。瓣7常．息3靠捐Be撤ll坡ma響n-簽Fo訊rd素a蝕lg狗or為it榨hm璃思想臟：運(yùn)統(tǒng)用松睜弛技諸術(shù)，潮對(duì)每終一個(gè)毒結(jié)點(diǎn)攝v安∈佛V，催逐步恐減少勝?gòu)脑磸豷到桃v的共最短頭路徑子的權(quán)辰的估伏計(jì)值談d[寺v]龜，直功至其眾到達(dá)艇實(shí)際乏最短承路徑竄的權(quán)杏δ(賤s,券v)依。算誠(chéng)法返攝回布拆爾值沫TU滾RE扁當(dāng)且墨僅當(dāng)債圖中擊沒(méi)有中源結(jié)益點(diǎn)可掉達(dá)的疊負(fù)權(quán)財(cái)回路弦。尸優(yōu)點(diǎn)皂：解甜決更突一般打情況索的單頸源最看短路躍徑問(wèn)幟題。須且邊摸的權(quán)秘值可螺以為辮負(fù)，幣可檢坑測(cè)出蝕圖中遺是否靜存在樣一個(gè)族從源床結(jié)點(diǎn)景可達(dá)煉的負(fù)偏權(quán)回查路，店如果聚存在貨負(fù)權(quán)透回路旋那么無(wú)駛解；的否那么趕將產(chǎn)禁生最兔短路啞徑及朵其權(quán)捎。挎BE嶄LL辨MA相N-言FO像RD猶〔G愉,w卡,s躲〕屈1誰(shuí)IN吼IT杏IA恭LI維ZE桂-S愚IN轉(zhuǎn)GL帳E-燙SO援UR于CE爪(猴G,孤s碎)盯2稻fo渣r副i銜1之to只|霜V[潤(rùn)G]督|-漿1兔3圖憂d泊o答fo嬸r擠ea錦ch漆e疾dg澤e(慎u,山v)灑∈搭E[范G]故4訂訊番d摸o墳RE王LA賊X(倆u,耳v,細(xì)w)轎5全fo藍(lán)r逝ea刺ch惡e愿dg宗e(稀u,會(huì)v)歐半∈波E[森G]遼6抗具析d捎o宋if息d袋[v梳]>郵d[訂u]照+w邀(u惠,v玩)棵7稈蹦寸破包th蔥en送r搬et蝶ur絮n滿fa唱ls摔e;經(jīng)8晚re夕tu取rn坐t塘ru勿e宰引理籍姑7.釀3.猶1寺設(shè)秀為帶次權(quán)有房向圖圣，其給源點(diǎn)景為s神，權(quán)緒函數(shù)攔為w糊：E旋R，雅并且婦假定仁G中屬不包綿含從毛s點(diǎn)絹可達(dá)饒的負(fù)礦權(quán)回口路。陳那么經(jīng)BE都LL瘦MA招N-我FO勾RD間第2路—口4行硬循環(huán)率的|遠(yuǎn)V|凡-1預(yù)次迭狼代后誰(shuí)，對(duì)鋒任何迅s可棟達(dá)的道頂點(diǎn)揉v，稀有d硬[v未]=蛋∮鋒(s方,v趟)暗。服推論零：設(shè)抱G=出〔V汪，E轉(zhuǎn)〕為說(shuō)帶權(quán)賤有向練圖，矛源頂織點(diǎn)為熄s，攜加權(quán)唇函數(shù)養(yǎng)為w寬:E堤R，骨對(duì)每謝個(gè)頂務(wù)點(diǎn)v什(v吩∈較V)術(shù)，從毀s到乏v存告在一乒條通焦路，款當(dāng)且棟僅當(dāng)劍對(duì)G聞運(yùn)行眉BE氣LL欠MA撤N-億FO燕RD曾〔G零,w胳,s臣〕算描法，皮算法腔終止省時(shí)，迫有批d[再v]組<院∞虧。納定理掀：設(shè)索G=皂〔V糖，E尺〕為慢帶權(quán)列有向乎圖，離源頂鵝點(diǎn)為爆s，叉加權(quán)咐函數(shù)訴為w仿:E宴R，貢對(duì)該按圖運(yùn)辨行B蘋EL逮LM錄AN姻-F懼OR寨D〔碼G,水w,鑒s〕喂算法咐，假設(shè)葡G不數(shù)包含費(fèi)s可巨達(dá)的脅負(fù)權(quán)魔回路駛，那么皆算法皆返回頃TR半U(xiǎn)E兔，對(duì)轉(zhuǎn)所有墨頂點(diǎn)殊v(蒸v彩∈液V)揉，有騎d[辟v]鉛=范∮茅(s畫,v石)成校立。梳前趨挪子圖姜G是溝以s連為根哪的最穗短路博徑樹配。如罩果G另包含僅從s漂可達(dá)屆的負(fù)老權(quán)回認(rèn)路，紡那么算襪法返樂(lè)回F竿AL畢SE拼。爐Di裙jk需st斧ra唱’慎s靠al神go普ri幫th椒m他目的渡：解插決有吼向加鄉(xiāng)權(quán)圖牧的最煮短路漿徑問(wèn)算題。樂(lè)條件痕：該躍圖的偷所有潮邊的滔權(quán)值洪非負(fù)剝。鑼算法醒思想代：設(shè)革置一褲個(gè)結(jié)敢點(diǎn)集山合S補(bǔ)，從銹源點(diǎn)蟲s到貢集合鐮中結(jié)桿點(diǎn)的串最終差最短乖路徑員的權(quán)小均已統(tǒng)確定滲。算織法反菠復(fù)挑須選出換其最世短路真徑估單計(jì)為魯最小塊的結(jié)宇點(diǎn)u宇∈玻V-暢S，黎把u樂(lè)插入秧到集企合S吼中，裝并對(duì)蒸離開濟(jì)u的崗所有疾邊進(jìn)破行松慘弛。種Di夠jk午st埋ra購(gòu)算法柳總是甜在集淺合V肉-S處中選邀擇根“但最近輛〞諒的結(jié)值點(diǎn)插竊入集誘合S擠中，族它使糊用了貼貪心靠策略沙。葬Di烤jk異st危ra符(G池,w桌,s蕩)

瘡In避it決-S晶in羞gl杏es紐ou捉rc無(wú)e(枕G,雀s)

滑s美=存em姻pt勒y

鑄Q淚=繁V[疑G]

拒wh躲il咱e深(練Q泊!=日e辭mp憂ty挖)

天

柱

投do星u禁=孔e什xt撈ra兄ct稱-m聯(lián)in芹(Q凝)

罵

較

醉

評(píng)

稀s灑=賤s俱an著d粉{u牌}

貌

舍

仍

坑

凱fo豬r隙每個(gè)仗頂點(diǎn)蛛v屬土于A懲dj詞[u廈]

街

撕

叨

色

弦

團(tuán)

槳do梁R此el肝ax姜(u遵,v最,w成)屢Di尸jk仙st蠢ra嫂執(zhí)行施過(guò)程舅：腿定理雀7.禽1煩：D己ij愚ks嶺tr肅a算燈法的母正確臣性證幻明

暴證明漫：將似證明鍵對(duì)每酷一結(jié)器點(diǎn)u晉屬于篇V，慕當(dāng)u伯被插噸入集坦合S網(wǎng)時(shí)有恒d[叔u]汽＝Q曠(s碧,u揪)成化立，騰且此激后該葵等式比一直媽保持激成立屯。

懷偶伐設(shè)u刮為插仙入集尸合S呈中的娃第一陵個(gè)滿芳足d友[u克]!益=Q辜(s益,u選)的陵結(jié)點(diǎn)廊。

扎可知腦u!分=s仿，可由知u晉被插姥入集形合S嚇前S附!=胖空。乘從s京到u截必存吸在某健條通岸路，氧否那么河d[腐u]糖=Q碼(s棵,u格)＝急in稈f，裝與

砌d[雕u]江!=陣Q(怎s,飾u)陜矛盾召。

協(xié)海澇因?yàn)樘Т嬖谒匾粭l忌通路術(shù)，所昂以存五在一邪條最污短路監(jiān)p。搖路徑營(yíng)p聯(lián)航結(jié)集毅合S謝中的壁結(jié)點(diǎn)打S到任V-成S的繩結(jié)點(diǎn)盛u。筒考察澤沿路吊徑p塘的第庫(kù)一個(gè)盾屬于假設(shè)V-烤S的景結(jié)點(diǎn)蹦y。超設(shè)x裕屬于困V是其y的蕩先輩周。路霸徑p此可以罵分解神為s汪~p撥->棒x和餐y~拐p2兵->黃u。首〔假設(shè)邪第一安個(gè)點(diǎn)視為u鑼，那么醒d[溜u]糖=Q植(s影,u張)，擾已得割證〕

捏承餃因?yàn)楸藄到普u的之最短矮路徑燙上y佳出現(xiàn)托在y禿之前恭且所叉有邊鹿的權(quán)蚊均為量非負(fù)那，我半們有伏Q(怎s,礦y)粱<=厲Q(紡s,使u)監(jiān),塘因而西d[瞧y]魯=獄Q利(s售,y俘)棄<=催Q圾(s鏡,u占)思<=情d[瓦u]艱,壞但因追為在雅第5思行選糞擇u切時(shí)結(jié)糊點(diǎn)u錢和y鴉都屬柔于V膏-S畫，所塌以有驢d[病u]國(guó)<=障d[種y]狼。因萌此d喂[u莖]=婚d[和y]保。

素槳綢最后喂得出起結(jié)論第d[屈u]堆=Q屠(s膚,u橫)，象這與律我們叔對(duì)u綢的假絹設(shè)矛航盾。條Di紹jk餐st漏ra笑算法塊效率處：假設(shè)監(jiān)用線鳥性數(shù)遍組實(shí)麥現(xiàn)優(yōu)淺先隊(duì)物列：客每次段Ex待tr聞ac胃t_蠟Mi脾n為鴿O(海v)嘉，存闊在V不次，褲那么為礙O(擔(dān)v^示2)戶。

略屠園fo議r中謠有E檢次迭付代。己所以拆整個(gè)蜜算法棵運(yùn)行拐時(shí)間跨O(著V^禍2)勉。拼稀疏喜圖用約二叉夾堆比工較合跪適。之Ex辛tr蠟ac坦t_距Mi鞭n需釀要O統(tǒng)(l紋gv現(xiàn))，益建立烘需要徑O(胃V)攜。更生改權(quán)花值用剖De投cr牽ea踩se礙_k退ey割。總粘時(shí)間尿?yàn)镺如((格V+香E)強(qiáng)lg習(xí)V)稻。如斃果用護(hù)斐波痛那契算堆可響以進(jìn)氏一步游提高律效率桃至O鎮(zhèn)(V向lg鉗V+沖E)北?？偨Y(jié)耀得豬根據(jù)暴各種膨教材召介紹連，還泳有幾腿種經(jīng)蓄典的胸算法吐，舒所有趣頂點(diǎn)足之間跨的最何短路毫徑〔屯Fl蹦oy忌ed姜算法搖〕、因特定籠兩個(gè)認(rèn)頂點(diǎn)番之間話的最黨短路嬌徑〔圓A*握算法厭〕彈等律。在早上述疼介紹班的輕算法愈，當(dāng)廟減低木問(wèn)題攻規(guī)模渠時(shí)，擴(kuò)為了墳降低端算法禿的時(shí)