北京市東城區(qū)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試卷（含答案）

北京市東城區(qū)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期一模考試

數(shù)學(xué)2023.3

本試卷共5頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚?/p>

結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

(1)已知集合A={x|f-2<0},且acA,則〃可以為

(A)-2(B)-1

(C)-(D)垃

2

(2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)三對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(3,-1),則2=

i

(A)l+3i(B)3+i

(C)-3+i(D)-l-3i

(3)拋物線4y的準(zhǔn)線方程為

(A)x=l(B)x=-1

(C)y=\(D)y=-l

4

(4)已知x>0,則x—4+2的最小值為

x

(A)-2(B)0

(C)1(D)2V2

(5)在△ABC中，a~2A/6,b=2c,cosA=-—?則S^ABC-

4

(A)—(B)4

2

(C)V15(D)25/15

(6)設(shè)小，〃是兩條不同的直線，a,/7是兩個不同的平面，且根ua,ap,則“加，〃”是

““"”的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

(7)過坐標(biāo)原點作曲線y=e"2+i的切線，則切線方程為

(A)y=x(B)y—2x

(C)y=-^x(D)y-ex

(8)已知正方形ABC。的邊長為2,P為正方形ABC。內(nèi)部(不含邊界)的動點，且滿足=

則CPOP

的取值范圍是

(A)(0,8J(B)[0,8)

(C)(0,4](D)[0,4)

(9)已知％,%，生，右，生成等比數(shù)列，且1和4為其中的兩項，則處的最小值為

(A)-64(B)-8

(10)恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始和微積分的建立稱為十七世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成

就.其中對數(shù)的發(fā)明，曾被十八世紀(jì)法國大數(shù)學(xué)家拉普拉斯評價為“用縮短計算時間延長了天

文學(xué)家的壽命”.已知正整數(shù)N的70次方是一個83位數(shù)，由下面表格中部分對數(shù)的近似值(精

確到0.001)，可得N的值為

M2371113

1gM0.3010.4770.8451.0411.114

(A)13(B)14

(C)15(D)16

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

(11)函數(shù)/(x)=J匚7+Inx的定義域是...

(12)在(x+0)6的展開式中，/的系數(shù)為60,則實數(shù).

X

22

(13)已知雙曲線二-與=l(a>0,b>0)的一個焦點為(逐,0),且與直線曠=±2》沒有公共點，則雙曲線

ab~

的方程可以為_______.

(14)已知數(shù)列｛4｝各項均為正數(shù)，4=34，S“為其前〃項和.若｛底｝是公差為;的等差數(shù)列，則

4=?cin—.

TT

(15)已知函數(shù)/(幻=；15山(2%+9)(2>0,0<9<兀)的部分圖象如圖1所示，A3分別為圖象的最高

點和最低點，過A作x軸的垂線，交x軸于點A',點。為該部分圖象與x軸的交點.將繪有該圖象的

紙片沿龍軸折成直二面角，如圖2所示，此時卜河，貝腹=.

給出下列四個結(jié)論:

②圖2中，AB-4C=5；

③圖2中，過線段AB的中點且與AB垂直的平面與x軸交于點C；

④圖2中，S是△A8C及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合.設(shè)集合7=｛0€用M。|42｝,則T表示的區(qū)域

IT

的面積大于

4

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

(16)(本小題13分)

已知函數(shù)/(x)=sinx+sin(x+§).

(I)求/(x)的最小正周期；

(II)若％=工是函數(shù)y=/(x)-/(x+e)(°>0)的一個零點，求°的最小值.

(17)(本小題13分)

甲、乙兩名同學(xué)積極參與體育鍛煉，對同一體育項目，在一段時間內(nèi)甲進(jìn)行了6次測試，乙進(jìn)行了

7次測試.每次測試滿分均為100分，達(dá)到85分及以上為優(yōu)秀，兩位同學(xué)的測試成績?nèi)缦卤?

7^數(shù)第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次

學(xué)生、\

甲807882869593—

乙76818085899694

(I)從甲、乙兩名同學(xué)共進(jìn)行的13次測試中隨機(jī)選取一次，求該次測試成績超過90分的概率；

(II)從甲同學(xué)進(jìn)行的6次測試中隨機(jī)選取4次，設(shè)X表示這4次測試成績達(dá)到優(yōu)秀的次數(shù)，求X的分布

列及數(shù)學(xué)期望EX；

(III)從乙同學(xué)進(jìn)行的7次測試中隨機(jī)選取3次，設(shè)V表示這3次測試成績達(dá)到優(yōu)秀的次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)

期望EY與(II)中EX的大小.(結(jié)論不要求證明)

(18)(本小題15分)

如圖，在長方體ABCO-A4GA中，AA=AD=2,BR和耳。交于點E,尸為AB的中點.

(I)求證：七口》平面4。。14;

(II)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求

(i)平面CEF與平面8CE的夾角的余弦值；

(ii)點A到平面。砂的距離.

條件①：CE工BQ；

條件②：8Q與平面BCC4所成角為四.

4

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

(19)(本小題15分)

已知函數(shù)/(x)=Q?-xlnx.

(I)當(dāng)。=0時，求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(II)設(shè)直線/為曲線y=/(x)的切線，當(dāng)時、記直線/的斜率的最小值為g(a),求g(a)的

最小值；

1311

（III）當(dāng)a〉0時，設(shè)知={'口=/'（?！穩(wěn)（一,一）},N={y|y=/'（x）,xe（一,一）},求證：MGN.

12a4a14a2a

(20)(本小題14分)

已知橢圓E:=?+==l(a>6>0)的一個頂點為40,1),離心率6=亞.

ab3

(I)求橢圓E的方程；

(II)過點P(-后,1)作斜率為火的直線與橢圓E交于不同的兩點B,C,直線A8,AC分別與x軸交于點

M,N.

設(shè)橢圓的左頂點為。，求購的值.

\MN\

(21)(本小題15分)

已知數(shù)表劣“=中的項％(?=1，2；J=1,2,互不相同，且滿足下列條件:

①%e{1,2,,2〃}；

②(-Dra+I(即“-%”,)<0(加=1，2，(?).

則稱這樣的數(shù)表4“具有性質(zhì)P

(I)若數(shù)表劣?具有性質(zhì)P,且〃=4,寫出所有滿足條件的數(shù)表42，并求出為+4的值；

(U)對于具有性質(zhì)P的數(shù)表4,,,當(dāng)4+&++即,取最大值時，最證：存在正整數(shù)使得

axk=2〃；

(HI)對于具有性質(zhì)P的數(shù)表4“，當(dāng)〃為偶數(shù)時，求知+生++%,的最大值.

參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)2023.3

一、選擇題（共10小題，每小題4分,共40分）

(1)B(2)A(3)D(4)B(5)C

(6)B(7)A(8)D(9)B(10)C

二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）

(11)(0,1](12)±2

11

(13)%2—=1(答案不唯一,)(14)-—n—

424

（15）V3②③

三、解答題（共6小題，共85分）

（16）（共13分）

解：(I)因為/(x)=sinx+sin(x+-^)=sinx+—sinx+—cosx=—sinx+—cosx=

V3sin(x+—)

6

所以f\x)的最小正周期為2兀.............6分

(II)由題設(shè)，y-f(x)-f(x+^)=>/3sin(x4--)->/3sin(x+—+^),由工=2是該函數(shù)零

666

點可知，

百sin(—+—)-\/3sin(—+工+9)=0,即sin(—+.)=—.

666632

7T7T2IT

故§+夕=§+2攵兀z￡z或3+中=<+""卜Gz,

TT

解得（p-2E,左￡Z或夕二（+解兀，ZwZ.

7T

因為e>o,所以0的最小值為......13分

（17）（共13分）

解：（I）從甲、乙兩名同學(xué)共進(jìn)行的13次測試中隨機(jī)選取一次，有13種等可能的情形，其中有4次成

績超過90分.則從甲、乙兩名同學(xué)共進(jìn)行的13次測試中隨機(jī)選取一次，該次成績超過90分的概率為

—,?,?3分

13

（II）隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3.

clc31

P（x=l）=吉=丁

3=等=|；

小=3)=號H

則隨機(jī)變量X的分布列為：

X123

1

5

故隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX=lx-1+2x3三+3x±I=2......11分

555

(III)EX>EY......13分

(18)(共15分)

解：(I)連接AR,B.D,,BD.

因為長方體ABC。—44aA中，BB]//。鼻且=DD、,

所以四邊形BBQQ為平行四邊形.

所以￡為8烏的中點，

在△AB。中，因為E,尸分別為和AB的中點,

所以EEA?.

因為￡戶Z平面ADD】A，ARu平面A。。A，

所以EF.平面........

(II)選條件①：CE”D.

(i)連接B|C.

因為長方體中A4=AZ)=2,所以4。=20.

在△CBA中，因為E為用。的中點，CE工BQ,

所以CD=4C=2&.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z,因為長方體中AA=AO=2,CD=242,

則￡>(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2^,0),B(2,2加,0),FQ,&0),耳(2,2血,2),

￡(1,V2,1).

所以CE=(1,—及,1),CF=(2,-A/2,0),CB=(2,0,0).

設(shè)平面CEF的法向量為m=（和%4）,

mCE=0,[x,-5/2y,+z,=0,

則即?\L1

m-CF=0,[2Xj-v2y,=0.

令斗=1,則弘=&，z=i,可得，"=（i,J5,i）.

設(shè)平面BCE的法向量為〃=（%，%，Z2），

則卜CE=0,即卜一瓜+Z2=0,

[n-CB=0,2X2=0.

令必二1，則工2=0，22=桓,所以〃=（0,1,V2）.

設(shè)平面CE尸與平面8CE的夾角為。,

milci.\m-n\V6

則cos0==|cos<m,n>|=------=——.

\tn\\n\3

所以平面CER與平面BCE的夾角的余弦值為逅.

3

（日）因為4尸=（0,行,0）,

所以點A到平面CEF的距離為d="間=1.15分

\m\

TT

選條件②：片。與平面8CG瓦所成角為上.

4

連接80.

因為長方體ABC。—44G。中，CD_L平面6CGg,B|Cu平面BCCg,

所以COLgC.

兀

所以NOBC為直線耳。與平面BCC,B,所成角，即/。4c=4.

所以△DBC為等腰直角三角形.

因為長方體中A4,=AO=2,所以4c=2后.

所以CD=B?=2插.

以下同選條件①.

(19)(共15分)

解：（I）當(dāng)。=0時，，f（x）=-x\nx,定義域為（0,+00）.

/r(x)=-lnx-l,

令/'(x)=。，得工=,，

e

當(dāng)xe(o-)時，r(x)>o,

e

當(dāng)XW(L+8)時，/\x)<0,

e

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,3.............5分

e

(II)h(x)=fr(x)=2ax-\nx-l,

EI,,/、c12ax-}

則h(x)=2a—=------.

xx

當(dāng)。22時，令/f(x)=0,得％=」一.

22a

當(dāng)X￡(0,'-)時，hr(x)<0,人(%)單調(diào)遞減；

2a

當(dāng)X￡(1-,+8)時，h\x)>0,，2(x)單調(diào)遞增；

2a

所以當(dāng)x時,力(幻最小值為g(a)=〃(1-)=ln(2a).

2a2a

e

當(dāng)aZQ時，ln(2a)的最小值為1,

所以g(a)的最小值為1.............11分

1113

(III)由(II)知廣(幻在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

4a2a2a4a

313

又八兀)二5‘不

I3||

所以M=(ln(2a),——In—),N=(ln(2a),——In—),

24a24a

111331

(----In—)-(——In—)=ln--In——l=ln3-l>0,

24a24a4a4a

所以MUN.............15分

(20)(共14分)

b=\,

.￡=也解得a=6

解：(I)由題設(shè)，得

a3

a2=b24-c2.

所以橢圓E的方程為《+V=1.............5分

3

(II)直線8c的方程為y-l=/(x+g).

由卜-1=k(x+⑻，得印2+]*+(6忌2+6k)x+9k2+6限=0.

x2+3j2=3

由4=(66/+6Q2-4X(342+1)X(922+6G%)>0,得Z<0.

2m、c、fii，i,6^3k2+6k9k2+6?

設(shè)8（X|，x）,C（x,y）,貝IJ玉+々=—3汽+]>=

223/<r+,

直線AB的方程為y=—~~-x+1.

令y=0,得點例的橫坐標(biāo)為x,”=——工=----Jb.

X-lk（x、+6）

同理可得點N的橫坐標(biāo)為/=-——=——竺

必一1k(x2+

1zX.%、

+4=一7（-----百十—F）

k馬+，3

12%％2+百（M+工2）

k%|X2+百（X]+工2）+3

始產(chǎn)“竺+6.

,134+1'3標(biāo)+1'

I9a+6?6?+6k、,

3&2+1+W（-3F+1）+3

，?業(yè)_2。

k3

因為點。坐標(biāo)為(-6,0),則點。為線段MN的中點,

所以朗=3?

14分

(21)(共15分)

解：(I)滿足條件的數(shù)表名為(；；)，(；；)(；：),所以知+4的值分別為5,5,6...............5

分

(II)若當(dāng)4]+《2++4”取最大值時，存在使得〃2j=2〃.

由數(shù)表&“具有性質(zhì)P可得j為奇數(shù)，

不妨設(shè)此時數(shù)表為0,2即'].

①若存在外(%為偶數(shù)，14k4”)，使得外＞即，交換陽和2〃的位置，所得到的新數(shù)表也具有

性質(zhì)P,

調(diào)整后數(shù)表第一行和大于原數(shù)表第一行和，與題設(shè)矛盾，所以存在14區(qū)〃，使得與=2”.

②若對任意的4(%為偶數(shù),14么M"),都有知＜如，交換出和町的位置，所得到的新數(shù)表也

具有性質(zhì)P