北師大版數(shù)學八年級上冊知識點總結

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第一章勾股定理

1、勾股定理

(1)直角三角形兩直角邊a,b的平方和等于斜邊c的平方，即

a2+b2=c2

(2)勾股定理的驗證：測量、數(shù)格子、拼圖法、面積法，如青朱

出入圖、五巧板、玄

圖、總統(tǒng)證法,,,，(通過面積的不同表示方法得到驗證，也叫等

面積法或等積法)

(3)勾股定理的適用范圍：僅限于直角三角形

2、勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長a,b,c有關系/+從=02,那么這個三角形

是直角三角形。

3、勾股數(shù)：滿足/+匕2=02的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。

常見的勾股數(shù)有：(6,8,10)(3,4,5)(5,12,,13)(9,12,15)

(7,24,25)(9,40,41),,,,

4、勾股數(shù)的規(guī)律：

(1),短直角邊為奇數(shù)，另一條直角邊與斜邊是兩個連續(xù)的

自然數(shù)，

兩邊之和是短直角邊的平方。即當a為奇數(shù)且aVb時，如果

b+c=a2,那么a,b,c

就是一組勾股數(shù).如(3,4,5)(5,12,,13)(7,24,25)(9,40,41)

，，，，

(2)大于2的任意偶數(shù)，2n(n>l)都可構成一組勾股數(shù)分別

是：2n,n2-l,n2+l如:

(6,8,10)(8,15,17)(10,24,26)??

第二章實數(shù)

一、實數(shù)的概念及分類

1、實數(shù)的分類

r呼理數(shù)

r旨鼠數(shù),有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)

實胃負有理數(shù)

r喳理數(shù)

工鼠數(shù)-J無限不循環(huán)小數(shù)

負無理數(shù)

2、無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。

在理解無理數(shù)時，要抓住“無限不循環(huán)”這一時之，歸納起來有

四類：

(1)開方開不盡的數(shù)，如V7,也等；

(2)有特定意義的數(shù)，如圓周率門，或化簡后含有n的數(shù)，如5+8

3

等；

(3)有特定結構的數(shù)，如0.1010010001…等;

(4)某些三角函數(shù)值,如sin60°等

二、實數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值

1、相反數(shù)

實數(shù)與它的相反數(shù)時一對數(shù)(只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相

反數(shù)，零的相反數(shù)是零)，從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應

的點關于原點對稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0,a=-b,

反之亦成立。

2、絕對值

在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應的點與原點的距離，叫做該數(shù)的絕對值。

（|a|20）。零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a,

則a20；若|a|=-a,則aWO。

3、倒數(shù)

如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=l,反之亦成立。倒數(shù)等于本身

的數(shù)是1和T。零沒有倒數(shù)。

4、數(shù)軸

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時，要

注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。

解題時要真正掌握數(shù)形結合的思想，理解實數(shù)與數(shù)軸的點是一一

對應的，并能靈活運用。

5、估算

三、平方根、算數(shù)平方根和立方根

1、算術平方根：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a,即x2=a,

那么這個正數(shù)x就叫做a的算術平方根。特別地，。的算術平方根是

Oo

表示方法：記作“右”，讀作根號a。

性質：正數(shù)和零的算術平方根都只有一個，零的算術平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那

么這個數(shù)x就叫做a的平方根（或二次方根）。

表示方法：正數(shù)a的平方根記做“±6"，讀作“正、負根號a”。

性質：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是

零；負數(shù)沒有平方根。

開平方：求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方。

4a>0

注意&的雙重非負性:

6Z>0

3、立方根

一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a,即(=a那么這個數(shù)x就叫

做a的立方根(或三次方根)。

表示方法：記作必

性質：一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根;

零的立方根是零。

注意：廣=-0，這說明三次根號內的負號可以移到根號外面。

四、實數(shù)大小的比較

1、實數(shù)比較大小：正數(shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負

數(shù)；數(shù)軸上的兩個點所表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大；兩個負數(shù)，

絕對值大的反而小。

2、實數(shù)大小比較的幾種常用方法

(1)數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的

數(shù)大。

(2)求差比較：設a、b是實數(shù)，

a-b>O<^>a>b,

a—b=D=a=b,

a—b<G<=>a<h

(3)求商比較法：設a、b是兩正實數(shù)，

a,a,a.

—>10Q>b\—=I=Q=b\—v1=a<氏

bbb

(4)絕對值比較法：設a、b是兩負實數(shù)，則同

(5)平方法：設a、b是兩負實數(shù)，則/>/720a<匕。

五、算術平方根有關計算(二次根式)

1、含有二次根號”「；被開方數(shù)a必須是非負數(shù)。

2、性質：

(1)(Via)2=a(a>0)

a(a>0)

(2)=時;

—a(a<0)

(3)4ab=4a?>0,/?>0)(4a?4b=4ab(a>0,/?>0))

(4)導與3*°力>°)里書…b>。))

3、運算結果若含有形式，必須滿足：(1)被開方數(shù)的

因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)

或因式

六、實數(shù)的運算

(1)六種運算：力口、減、乘、除、乘方、開方

(2)實數(shù)的運算順序

先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算

括號里面的。

(3)運算律

加法交換律a+b=b+a

加法結合律(a+人)+c=a+(方+c)

乘法交換律ab=ba

乘法結合律(ab)c=a(bc)

乘法對加法的分配律a(b+c)=ab+ac

第三章位置的確定

一、在平面內，確定物體的位置一般需要兩個數(shù)據(jù)。

二、平面直角坐標系及有關概念

1、平面直角坐標系

在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸，組成平面直角坐

標系。其中，水平的數(shù)軸叫做X軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的

數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；X軸和y軸統(tǒng)稱坐標軸。它

們的公共原點。稱為直角坐標系的原點；建立了直角坐標系的平面，

叫做坐標平面。

2、為了便于描述坐標平面內點的位置，把坐標平面被x軸和y軸分

割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四

象限。

注意：x軸和y軸上的點（坐標軸上的點），不屬于任何一個象

限。

3、點的坐標的概念

對于平面內任意一點P,過點P分別x軸、y軸向作垂線，垂足在

上x軸、y軸對應的數(shù)a,b分別叫做點P的橫坐標、縱坐標，有序

數(shù)對（a,b）叫做點P的坐標。

點的坐標用（a,b）表示，其順序是橫坐標在前，縱坐標在后，

中間有“，”分開，橫、縱坐標的位置不能顛倒。平面內點的坐標是

有序實數(shù)對，當awb時一，（a,b）和（b,a）是兩個不同點的坐標。

平面內點的與有序實數(shù)對是一一對應的。

4、不同位置的點的坐標的特征

（1）>各象限內點的坐標的特征

點P（x,y）在第一象限ox>0,y>0

點P(x,y)在第二象限ox<0,y>0

點P(x,y)在第三象限ox<0,y<0

點P(x,y)在第四象限ox>0,y<0

(2)、坐標軸上的點的特征

點P(x,y)在x軸上oy=0,x為任意實數(shù)

點P(x,y)在y軸上。x=0,y為任意實數(shù)

點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上ox,y同時為零，即點P坐

標為(0,0)即原點

(3)、兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征

點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線(直線y=x)上ox與y相

等

點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上ox與y互為相反數(shù)

(4)、和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征

位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同。

位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同。

(5)、關于x軸、y軸或原點對稱的點的坐標的特征

點P與點P'關于x軸對稱。橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)，

即點P(x,y)關于x軸的對稱點為P'(x,-y)

點P與點p'關于y軸對稱o縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)，

即點P(x,y)關于y軸的對稱點為P'(-x,y)

點P與點p'關于原點對稱。橫、縱坐標均互為相反數(shù)，即點P

(x,y)關于原點的對稱點為P'(-x,-y)

(6)、點到坐標軸及原點的距離

點P(x,y)到坐標軸及原點的距離：

(1)點P(x,y)到x軸的距離等于|乂

（2）點P（x,y）到y(tǒng)軸的距離等于k|

（3）點P（x,y）到原點的距離等于用了

三、坐標變化與圖形變化的規(guī)律：

坐標（X,y）的變化圖形的變化

xXa或yXa被橫向或縱向拉長（壓縮）為原來的a

倍

xXa,yXa放大（縮小）為原來的a倍

xX(-1)或yX(-1)關于y軸或x軸對稱

xX(-1),yX(-1)關于原點成中心對稱

x+a或y+a沿x軸或y軸平移a個單位

x+a,y+a沿x軸平移a個單位，再沿y軸平

移a個單

第四章一次函數(shù)

一、函數(shù)：

一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y,如果給定一個x

值，相應地就確定了一個y值，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是

自變量，y是因變量。

二、自變量取值范圍

使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。

一般從整式（取全體實數(shù)），分式（分母不為0）、二次根式（被開

方數(shù)為非負數(shù)）、實際意義幾方面考慮。

三、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點

（1）關系式（解析）法

兩個變量間的函數(shù)關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字

運算符號的等式表示，這種表示法叫做關系式（解析）法。

（2）列表法

把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應值列成一個表來表示函數(shù)

關系，這種表示法叫做列表法。

（3）圖象法

用圖象表示函數(shù)關系的方法叫做圖象法。

四、由函數(shù)關系式畫其圖像的一般步驟

（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應值

（2）描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的

，占、、、

（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲

線連接起來。

五、正比例函數(shù)和一次函數(shù)

1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念

一般地，若兩個變量x,y間的關系可以表示成y=（k,b為

常數(shù)，kxO）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量，y為因

變量）。

特別地，當一次函數(shù)y=中的b=0時（即y=（k為常數(shù),

k^O）,稱y是x的正比例函數(shù)。

2、一次函數(shù)的圖像：所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線

3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：

一次函數(shù)y=的圖像是經過點（0,b）的直線；正比例函數(shù)

y=Zx的圖像是經過原點（0,0）的直線。

k的b的符函數(shù)圖像圖像特征

符號號

y

s

圖像經過一、二、三

b>0象限，y隨x的增大而增

大。

X

k>0L

圖像經過一、三、四

Jr

b<0象限，y隨x的增大而增

X/大。

y

L

<圖像經過一、二、四

b>0象限，y隨x的增大而減

小

X

K<0

L

圖像經過二、三、四

r

b<0象限，y隨x的增大而減

小。

X

注：當b=0時，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的

特例。

4、正比例函數(shù)的性質

一般地，正比例函數(shù)丁=依有下列性質：

(1)當k〉0時，圖像經過第一、三象限，y隨x的增大而增大；

(2)當k<0時，圖像經過第二、四象限，y隨x的增大而減小。

5、一次函數(shù)的性質

一般地，一次函數(shù)y=有下列性質：

(1)當k>0時，y隨x的增大而增大

(2)當k<0時，y隨x的增大而減小

6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定

確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng)=匕(k#O)

中的常數(shù)ko確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式》=匕+匕

(k，0)中的常數(shù)k和b。解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法。

7、一次函數(shù)與一元一次方程的關系：

任何一個一元一次方程都可轉化為：kx+b=0(k、b為常數(shù)，kW

0)的形式.而一次函數(shù)解析式形式正是y=kx+b(k、b為常數(shù)，

kWO).當函數(shù)值為0時、即kx+b=0就與一元一次方程完全相同.

結論：由于任何一元一次方程都可轉化為kx+b=0(k、b為常數(shù),

kWO)的形式.所以解一元一次方程可以轉化為：當一次函數(shù)值為0

時，求相應的自變量的值.

從圖象上看，這相當于已知直線y=kx+b確定它與x軸交點的橫

坐標值.

第五章、二元一次方程組

1、二元一次方程

含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程

叫做二元一次方程。

2、二元一次方程的解

適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方

程的一個解。

3、二元一次方程組

含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一

次方程組。

4二元一次方程組的解

二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組

的解。

5、二元一次方程組的解法

（1）代入（消元）法（2）加減（消元）法

6、一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關系：

（1）一次函數(shù)與二元一次方程的關系：

直線y=kx+b上任意一點的坐標都是它所對應的二元一次方程

kx-y+b=O的解

（2）一次函數(shù)與二元一次方程組的關系：〃

y=_幺玉+旦r

二元一耳擊櫥=q的解可看作兩伉

個一次函數(shù)[…4…

%Q

y———x,H—

和”為b2的圖象的交點。

當函數(shù)圖象有交點時，說明相應的二元一次方程組有解；當函數(shù)

圖象