北京市海淀區(qū)2023屆高三一模數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2023北京海淀高三一模

數(shù)學(xué)

2023.4

本試卷共4頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？?/p>

試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

(1)已知集合4=3|1<%<3},8={0,1,2},則AB=

(A){2}(B){0,1}(C){1,2}(D){0,1,2}

(2)若。+2i=i(〃+i)/?),其中，是虛數(shù)單位，則〃+/?=

(A)-1(B)1(C)-3(D)3

(3)在等差數(shù)列{”“}中，g=1，/=5,則4=

(A)9(B)11(C)13(D)15

(4)已知拋物線V=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)尸在該拋物線上，且尸的橫坐標(biāo)為4,則歸盟=

(A)2(B)3(C)4(D)5

432

(5)若(工-1)4=a4x+a3x+a2x+qx+g，則aA-a3+4-1=

(A)-1(B)1(C)15(D)16

(6)已知直線y=x+m與圓O:1+y2=4交于4B兩點(diǎn),且AOB為等邊三角形，則加的值為

(A)±V2(B)±V3(C)±2(D)±76

(7)在..A3C中，ZC=90,ZB=30,NE4c的平分線交8c于點(diǎn)D若

AD^AAB+JJAC(A,〃€/?)則一=

11

A-B)x-

3z2

(8)己知二次函數(shù)〃x),對任意的xeR,有/(2x)<2/(x),則〃x)的圖象可能是

第1頁/共4頁

(9)已知等比數(shù)列｛4｝的公比為凡且“Hl,記7；…%(〃=1，2,3…)，則“囚>0且q>l”是

“(7；)為遞增數(shù)列”的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)即不充分也不必要條件

(10)劉老師沿著某公園的環(huán)形跑道(周長大于1km)按逆時針方向跑步，他從起

點(diǎn)出發(fā)，并用軟件記錄了運(yùn)動軌跡，他每跑1km,軟件會在運(yùn)動軌跡上標(biāo)注出相應(yīng)

的里程數(shù)。己知劉老師共跑了11km,恰好回到起點(diǎn)，前5km的記錄數(shù)據(jù)如圖所

示，則劉老師總共跑的圈數(shù)為

(A)7(B)8(C)9(D)10

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

X—1

(11)不等式3>0的解集為_________.

元+2

(12)已知雙曲線C:-4=1的漸近線方程為y=土底,則C的離心率為_________.

ab-

7T

(13)已知函數(shù)/(x)=sin(x+夕)(0<(p<2乃).若“X)在區(qū)間-,7T上單調(diào)遞減，則8的一個取值可以

為.

/(x-a+l)(x+D,x<l,

(14)設(shè)函數(shù)/(x)=〈

\gx-ax>1.

①當(dāng)。=0時，/(/(1))=；

②若/(x)恰有2個零點(diǎn)，則a的取值范圍是.

(15)在,中，NAC3=90,4。=6。=2,。是邊4。的中點(diǎn)，E是邊4?上的動點(diǎn)(不與A,B

重合)，過點(diǎn)后作4。的平行線交于點(diǎn)尸，將.3EF■沿EF■折起，點(diǎn)8折起后的位置記為點(diǎn)P,得到

四棱鏈P-ACFE,如圖所示，給出下列四個結(jié)論：

①AC平面PEF；

②,PEC不可能為等腰三角形；

③存在點(diǎn)E,P,使得PDLAE；

④當(dāng)四棱錐P-ACFE的體積最大時，AE=C.其中所有正確結(jié)論的序號是.

第2頁/共4頁

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

(16)(本小題13分)

如圖，直三棱柱ABC—4與G中，AC=3C=1,A4,=2,AC_LBC,。是

A4,的中點(diǎn).

(I)證明：C|O_L平面8CO；

(II)求直線8與平面8G。所成角的正弦值.

(17)(本小題14分)

在ZV1BC中，Osin2A=V^asinB.

(I)求NA；

(ID若A/U3C的面積為3g,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為己知，使A48c

存在且唯一確定，求。的值.

條件①：sinC=—；條件②：-=—；條件③：cosC=—

7c47

注：如果選擇的條件不符合要求，第(II)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個

解答計分.

(18)(本小題14分)

網(wǎng)購生鮮蔬菜成為很多家庭日常消費(fèi)的新選擇.某小區(qū)物業(yè)對本小區(qū)三月份參與網(wǎng)購生鮮蔬菜的家庭的網(wǎng)購

次數(shù)進(jìn)行調(diào)查，從一單元和二單元參與網(wǎng)購生鮮蔬菜的家庭中各隨機(jī)抽取10戶，分別記為4組和8組，這

20戶家庭三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜的次數(shù)如下圖：

B組

5

11

1478

359

假設(shè)用頻率估計概率，且各戶網(wǎng)購生鮮蔬菜的情況互不影響.

(I)從一單元參與網(wǎng)購生鮮蔬菜的家庭中隨機(jī)抽取1戶，估計該戶三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)大于20的概

率；

(II)從一單元和二單元參與網(wǎng)購生鮮蔬菜的家庭中各隨機(jī)抽取1戶，記這兩戶中三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜次

數(shù)大于20的戶數(shù)為無估計X的數(shù)學(xué)期望E(X)；

(III)從/組和8組中分別隨機(jī)抽取2戶家庭，記芻為A組中抽取的兩戶家庭三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)大

于20的戶數(shù)，幺為B組中抽取的兩戶家庭三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)大于20的戶數(shù)，比較方差。(。)與

。(自2)的大小,(結(jié)論不要求證明)

第3頁/共4頁

(19)(本小題14分)

22

已知橢圓后：鼻+斗=i(a〉〃>0)的左、右頂點(diǎn)分別為4,4,上、下頂點(diǎn)分別為4,四,|4,因=2,四

邊形4月&小的周長為4指.

(I)求橢圓￡的方程；

(II)設(shè)斜率為左的直線/與x軸交于點(diǎn)P,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M,N,點(diǎn)〃關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為

M',直線"W與〉軸交于點(diǎn)°,若AOPQ的面積為2,求人的值.

(20)(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=em-X,

(I)當(dāng)a=l時，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,7(x))處的切線方程；

(II)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(III)若存在使得/(石)/(%)29,求a的取值范圍.

(21)(本小題15分)

已知數(shù)列｛4｝.給出兩個性質(zhì)：

①對于｛”“｝中任意兩項(xiàng)afl^i>j),在｛4｝中都存在一項(xiàng)ak,使得ak=aiaj；

②對于｛4｝中任意連續(xù)三項(xiàng)《,，―，4+2,均有(4一為+1一勺+2)(見一；《用一%+2)=°?

(I)分別判斷一下兩個數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，并說明理由：

(i)有窮數(shù)列｛4｝：an=2"-'(〃=1,2,3)；

(ii)無窮數(shù)列｛bn｝-.bn=2n-l(n=1,2,3-).

(II)若有窮數(shù)列｛4｝滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，且各項(xiàng)互不相等，求項(xiàng)數(shù)用的最大值；

(III)若數(shù)列｛4,｝滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，且q>0,%<-1，。3=2,求｛?！埃耐?xiàng)公式.

第4頁/共4頁

海淀區(qū)2022—2023學(xué)年第二學(xué)期期中練習(xí)

高三數(shù)學(xué)

參考答案

一、選擇題

題目12345678910

答案ABCDCDBABB

二、填空題

(11).(1,-KO)(12)2

（13）］（答案不唯一，夕仁仁,勺）(14)1；(^?,0][2,+oo)

2O2

(15)①③

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

（16）（本小題13分）

解：（I）由直三棱柱可知BCLCG，又因?yàn)锳C_L3C,且4c|CC.=C,

所以3CJ.平面CGAA.

由GDu平面CGAA，所以BC^G。.

在矩形CGAA中，AD=DA,=l,CCt=2,所以。G=應(yīng),OC=應(yīng).

可得GC2=C￡）2+82,所以GD，C￡>.

又因?yàn)?cCD=C,

所以平面BCD.

（II）由題意可知，C4,C8,CC|兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系C-“z,

高三數(shù)學(xué)參考答案第1頁（共7頁）

則C(0,0,0),￡>(1,0,1),8(0,1,0),G(0,0,2),

80=(11),BC}=(0,-1,2),CD=(1,0,1).

設(shè)平面BCQ的一個法向量為”=(x,y,z),則

n-BD=0,fx-y+z=0,

〈即\

n-BQ=0,+2z=0.

令z=l,則y=2,x=l,得〃=(1,2,1).

設(shè)直線CD與平面BCQ所成角為。，

CDnlg

貝ijsin0=|cos<CD,n>|=---：~-=——，

CD||n|3

所以直線8與平面BQ。所成角的正弦值為日.

(17)(本小題14分)

解：(I)由。sin2A\/5〃sin3及正弦定理，得sinBsin2AV3sinAsinB.

由倍角公式得2sin3sinAcosA73sinAsinB.

在AABC中，sinA0,sinBz0,

得cosA.

2

TT

因?yàn)锳.(0,-),

TT

所以A7.

6

(II)記/\ABC的面積為S△例

選條件②：

由(I)知A又由題知S*=3百，

可得%sc；〃csin4

得be—125/3.

又由條件②，即2巫,解得b3瓜c.4.

c4

由余弦定理，得

高三數(shù)學(xué)參考答案第2頁（共7頁）

a2h2.c22hccosA

:27.162.3^.4.->

2

7

所以a五

選條件③：

又由條件③，即cosC=叵以及CWQTT),可得sinC=也.

77

1V21V327735/21

所以sin3=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=~x+-x

兀

由(I)知4-Z,

6

又由題知S&BC-36,可得—^csinA.

得be12技

由正弦定理得a：6：c=sinA:sinB:sinC=7:3^/21:4y/7.

可設(shè)a=1k,b=3⑨Z,c=48.

由兒'=12石，得k=土

得4=五

(18)(本小題14分)

解：(I)設(shè)該戶網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)超過20次為事件C,在Z組10戶中超過20次的有3戶，由

樣本頻率估計總體概率，則P(C)=.

(II)由樣本頻率估計總體概率，一單元參與網(wǎng)購家庭隨機(jī)抽取1戶的網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)超過20

次概率為上4，二單元參與網(wǎng)購家庭隨機(jī)抽取1戶的網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)超過20次概率為7

1010

X的取值范圍為{0,1,2}.

3721

P(X=0)=(1—)x(1——)=—,

1010100

.._3八7、八3,729

P(X=1)=—x(1-----)+(1-----)x—=—

1010101050

…日、3721

P(X—2)=—x—=----.

1010100

29c211

￡(X)=0x—+lx——+2x^—=1

10050100

高三數(shù)學(xué)參考答案第3頁(共7頁)

（Ill）。&）=。（芻）.

19.（本小題14分）

解：（1）依題意可得：

'2b=2,

4yla2+4=4而

解得上=技

橢圓E的方程為《+尸=1

5

（II）依題意，可設(shè)直線/方程為丁="+加（初7工0）,M（X］，X）,陽和%）?

V2_

聯(lián)立方程彳+y=L

y=lex+m.

W(5k2+i)x2+\0kmx+5m2-5=0.

A=(10km)2-4?(5k2+l)(5w2-5)=100A:2-20m2+20>0,BP5k2>nr-l.

\0km5m2-5

…"訴T「=赤F

在直線/方程y=fcv+m中，令y=0,得》=-生，得P(-%,0).

kk

依題意得M'(F，乂)，得直線M'N方程為丫=江&(x+xj+y.

馬+西

令x=0,得y.

x]+x2

所以△0尸°的面積為人“2=F七八?

xiy2+x2y1=Xj(kx2+tri)+x2(kxA+/n)=2kx[x2+m(玉+x2)

22

-2c,k__5_m___-_5____\_0_k_m__—__-_1_0_4_

-5公+15k2+\~5k2+l'

即打"0=!：|」粵|=2,解得％=±：,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

2k\|10AT??|4

所以k的值為±L.

4

高三數(shù)學(xué)參考答案第4頁（共7頁）

(20)(本小題15分)

解：(I)當(dāng)4=1時，/(x)=ev-x,

則f(O)=L

求導(dǎo)得r(x)=ev-l,

得尸(0)=0.

所以曲線y=f(x)在(0,/(0))處的切線方程為y=l.

(II)求導(dǎo)得f\x)=-1.

當(dāng)a<0時，/(x)<0恒成立，此時/(x)在R上單調(diào)遞減.

當(dāng)4>0時.，令/(x)=o,解得x=-回.

a

“X)與f'(x)的變化情況如下：

,ln〃、Ina/Ina、

X(-00,------------)(----收)

aaa

r(x)—0+

〃x)極小值/

由上表可知，f(x)的減區(qū)間為(-00,-史4),增區(qū)間為(-史0,+00).

aa

綜上，當(dāng)“40時，/(x)的減區(qū)間為(fo,go),無增區(qū)間；

當(dāng)a>0時，f(x)的減區(qū)間為(-8,-.)，增區(qū)間為(一皿,+8).

aa

(III)將/(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值記為/(x)max,最小值記為/(x)mjn.

由題意，若玄使得|/(x)但3成立，即/(冷皿23或/。濡4-3.

當(dāng)x時，/(x)=e01-x>-x>-1.

所以若3XG[-1,1],使得|/(x)|23成立，只需/(x)ma*23.

由(n)可知，(%)在區(qū)間[-1」]上單調(diào)或先減后增，故/(冷鵬為/(T)與/⑴中的較大者，

所以只需當(dāng)/(-1)23或八1)23即可滿足題意.

即f(-l)=e-"+123或/⑴=e"-123.

解得a〈—ln2或aNln4.

綜上所述，。的取值范圍是(fo,-ln2][ln4,y).

高三數(shù)學(xué)參考答案第5頁(共7頁)

(21)(本小題15分)

解：(I)(i)不滿足.令，=j=3,4%=16不是數(shù)列｛an｝中的項(xiàng).

(ii)滿足.對于任意如:(閆),響=(2i-1)(2j-l)=2(2y-i-j+l)-l.

由于24-i-/+l之I，故令k=2ij-i-j+l即可.

(ID(1)對于有窮數(shù)列他“｝記其非零項(xiàng)中，絕對值最大的一項(xiàng)為冊，絕對值最小的一項(xiàng)為4.

故令i=/=p時，存在一項(xiàng)14|=|aiaj|=a；.

又<是數(shù)列｛4｝非零項(xiàng)中絕對值最大的，所以|<生<2,即區(qū)1.

再令i=j=q時,存在一項(xiàng)|akHaflj1=a：.

又％是數(shù)列｛凡｝非零項(xiàng)中絕對值最小的，所以區(qū)42,即21.

又兇q區(qū)1,

所以數(shù)列所有非零項(xiàng)的絕對值均為1.

又?jǐn)?shù)列｛%｝的各項(xiàng)均不相等，所以其至多有共3項(xiàng).

所以，〃W3.

(2)構(gòu)造數(shù)歹1"。"｝:0,-1』.

其任意兩項(xiàng)乘積均為0,7,1之一，滿足性質(zhì)①.

其連續(xù)三項(xiàng)滿足0-(-1)-1=0,滿足性質(zhì)②.

又其各項(xiàng)均不相等，所以該數(shù)列滿足條件，此時加=3.

(3)由(1)(2),帆的最大值為3.

(HI)(1)首先證明：當(dāng)4>0,4<-1時，數(shù)列滿足%_1>0,%<0,且IqIV%1/=1，2,3,-(*)

因?yàn)閷τ谌我鈹?shù)列的連續(xù)三項(xiàng)a”,a“+i，%+2，總有(??-a?+l-all+2)(a?-an+l-an+2)=0.

即a-/或,—9M.不論是哪種情形，均有

當(dāng)4>°>4用時，%+2-an~\>%>0，即I4+21>1??1-

當(dāng)為<°<4+1時，%+244"一萬見+1<”“<0，亦有I4+234,I?

又4>0>-1>4，故性質(zhì)(*)得證.

(2)考慮々［，4，《三項(xiàng)，有〃3=4_。2或。3=。1-g02.

若〃3=4-%，則4=%+%<1，此時令i=J=l,有ajvq,由性質(zhì)(*)知不存在k使得

%>0，且％.V4.

高三數(shù)學(xué)參考