北師大初中數(shù)學(xué)教案九年級下冊第一章直角三角形的邊角關(guān)系

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授課教師第一周星期日期：2022年—月—日

學(xué)科章節(jié)第一章直角三角形的邊角關(guān)系適用年級九年級課時(shí)數(shù)2課時(shí)

教學(xué)課題§1.1從梯子的傾斜程度談起

1.能夠用表示直角三角形中兩邊的比，1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程，理解正

切、正弦和余弦的意義與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.

教學(xué)目標(biāo)2.能夠運(yùn)用tanA、sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、

坡

度等，外能夠用進(jìn)行簡單的計(jì)算.

1.理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義，密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.

1.理解銳角三角函數(shù)正弦、余弦的意義，并能舉例說明.

教學(xué)重點(diǎn)

2.能用tanA、sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比.

3.能根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡單的計(jì)算.

1.理解正切、正弦和余弦的意義，并用它來表示兩邊的比.

教學(xué)難點(diǎn)

2.用函數(shù)的觀點(diǎn)理解正弦、余弦和正切.

教學(xué)方法引導(dǎo)一探索法教學(xué)用具

授課教師修改的

教學(xué)主要環(huán)節(jié)和內(nèi)容設(shè)計(jì)

主要內(nèi)容

第一課時(shí)

第一組第二組第三組B

二、直角三角形的邊與角的關(guān)系（如圖，回答下列問題）,

⑴和RtAAB2c2有什么關(guān)系？

By

（2）R「R「有什么關(guān)系？//

11.fn22/

⑶如果蟾B2海財(cái)上的位置（如B3c3）呢？f----Q

⑷由此你得出什么結(jié)論

三、正切概念

1、想一想

通過對前面的問題的討論，學(xué)生已經(jīng)知道可以用傾斜角的對邊與鄰邊之比

來刻畫梯子的傾斜程度。當(dāng)傾斜角確定時(shí)，其對邊與鄰邊的比值隨之確

定。這一比值只與傾斜角的大小有關(guān)，而與直角三角形的大小無關(guān)。

B

2、正切函數(shù)

D0

0AD0D

（1）明確各邊的名稱

+/N/的對邊-C----------------

(2)tanA---------———DAOD0

//的鄰邊

（3）明確要求：1）必須是直角三角形；2）是/A的對邊與/A的

鄰邊的比值。

四、例題：

例1、如圖是甲，乙兩個自動

扶梯，哪一個自動扶梯比較

陡？

例2、在△ABC中，ZC=90°,BC=12cm,AB=20cm,求tanA和tanB的值.

五、隨堂練習(xí)：g

1、如圖，/XABC是等腰直角三角形，你能根據(jù)

圖中所給數(shù)據(jù)求出tanC嗎？/1,5\

2、如圖，某人從山腳下的點(diǎn)A走了200m后到達(dá)山辦在~B,知知4到山

腳的垂直距離為55m,求山的坡度.（結(jié)果精確到0.001）

則他所在的位置比原來的位置升高米.

4、如圖，RtZ\ABC是一防洪堤背水坡的橫截面

圖，斜坡AB的長為12m,它的坡角為45°,

為了提高該堤的防洪能力，現(xiàn)將背水坡改造成

坡比為1：1.5的斜坡AD,求DB的長.（結(jié)果保

留根號）

第二課時(shí)

一、引入

二、正弦、余弦函數(shù)

N/的對邊NN的鄰邊

sinA=cosZ

☆鞏固練習(xí)

如圖，在4ACB中，ZC=90°,

1)sinA=；cosA=；sinB=；cosB=

2)若AC=4,BC=3,則sinA=；cosA=；

3)若AC=8,AB=10,則sinA=；cosB=；

三、三角函數(shù)

1、銳角NA的正切、正弦、余弦都是NA的三角函數(shù)。

2、由圖討論梯子的傾斜程度與sinA和cosA的關(guān)系：

sinA的值越大，梯子越陡；

cosA的值越大，梯子越陡

四、講解例題

AA\

例1如圖，在RtaABC中，ZB=90°,AC=200,

sin4=0.6,求BC的長。

分析：本例是利用正弦的定義求對邊的長。A

例2如圖，在RtaABC中，ZC=90°,AC=10,

12

cosA=一，求AB的長及sinB。

13B

分析：通過正切函數(shù)求直角三角形

其它邊的長。

C

五、隨堂練習(xí)

1、在等腰三角形ABC中，AB=AC=5,BC=6,求sinB,cosB,tanB.

4

2、在△ABC中，ZC=90°,sinA=-,BC=20,求△ABC的周長和面積.

5

3、在AABC中.ZC=90°

4、已知：如圖，CD是RtaABC的斜邊AB上的高，求證：BC2=AB-BD.（ffl

正弦、余弦函數(shù)的定義證明）

教學(xué)反思

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授課教師第一周星期日期：2022年—月_日

學(xué)科章節(jié)第一章直角三角形的邊角關(guān)系適用年級九年級課時(shí)數(shù)1課時(shí)

教學(xué)課題§1.230°、45°、60°角的三角函數(shù)值

1.經(jīng)歷探索30°、45。、60。角的三角函數(shù)值的過程，能夠進(jìn)行有關(guān)的推理.進(jìn)一步體會

三角函數(shù)的意義.

教學(xué)目標(biāo)

2.能夠進(jìn)行30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計(jì)算.

3.能夠根據(jù)30°、45°、60°的三角函數(shù)值說明相應(yīng)的銳角的大小.

1.探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值.

教學(xué)重點(diǎn)2.能夠進(jìn)行含30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計(jì)算.

3.比較銳角三角函數(shù)值的大小.

教學(xué)難點(diǎn)進(jìn)一步體會三角函數(shù)的意義.

教學(xué)方法自主探索法教學(xué)用具

授課教師修改的

教學(xué)主要環(huán)節(jié)和內(nèi)容設(shè)計(jì)

主要內(nèi)容

—■、問題引入

［問題］為了測量一棵大樹的高度，準(zhǔn)備了如下測量工具：①含30°和

60°兩個銳角的三角尺；②皮尺.請你設(shè)計(jì)一個測量方案，能測出一棵大樹

的高度.

二、新課

［問題］1、觀察一副三角尺，其中有幾個銳角？它們分別等于多少度？

［問題］2、sin300等于多少呢?你是怎樣得到的?與同伴交流.

［問題］3、cos30°等于多少？tan30°呢？

［問題］4、我們求出了30。角的三個三角函數(shù)值，還有兩個特殊角一

一45°、60°,它們的三角函數(shù)值分別是多少?你是如何得到的？

結(jié)論：

角函數(shù)

角度、

sinacoatana

30°

45°

60°

例1計(jì)算：(1)sin30°+cos45°；(2)1—V3cos30°；

..cos30°-sin45°.、

(3)----------------；(4)

sin600-cos45°

sin260°+cos2450-tan450°

分析：本例是利用特殊角的三角函數(shù)值求解。

例2填空：(1)已知NA是銳角，且cosA=—,則NA=_______,

2

sinA

(2)已知/B是銳角，且2cosA=l,則/B=_______°；

(3)已知NA是銳角，且3tanA-6=0,則NA=_______

O

例3一個小孩蕩秋千，秋千鏈子的長度為2.5m,當(dāng)秋千向兩邊擺動時(shí)，

擺角恰好為60°,且兩邊的擺動角相同，求它擺至最高位置時(shí)與

其擺至最低位置時(shí)的高度之差。

分析：本例是利用特殊角的三角函數(shù)值求解的具體應(yīng)用。A

例4在RtaABC中，ZC=90°,2a=島,求NB、NA。

C

分析：本例先求出比值后，利用特殊角的三角函數(shù)值，再確定角的大

小。

三、隨堂練習(xí)

1.計(jì)算：

(1)sin600-tan45°；(2)cos60°+tan600；

/yI2

(3)sin450+sin60°-2cos45。；(4)----------=---；

2sin30073+1

(5)(72+l)-i+2sin30°-瓜(6)(1+V2)°-Il-sin30°Il+(-)-

2

1.

2.某商場有一自動扶梯，其傾斜角為30°.高為7m,扶梯的長度是多少？

3.如圖為住宅區(qū)內(nèi)的兩幢樓，它們的高AB=CD=30m,兩樓間的距離AC=24

m,現(xiàn)需了解甲樓對乙樓的采光影響情況.當(dāng)太陽光與水平線的夾角為30°

時(shí)，求甲樓的影子在乙樓上有多高？(精確到0.1

m,V3?=1,73)聯(lián)￡/

甘、''不

口吃口

甲口口乙

□□

Ar

教學(xué)反思

主備人備課組長簽字教研組長簽字

授課教師第一周星期日期：2022年—月—日

學(xué)科章節(jié)第一章直角三角形的邊角關(guān)系適用年級九年級課時(shí)數(shù)

教學(xué)課題§1.3三角函數(shù)的有關(guān)計(jì)算

1.經(jīng)歷用計(jì)算器由三角函數(shù)值求相應(yīng)銳角的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)的意義.

教學(xué)目標(biāo)

2.能夠運(yùn)用計(jì)算器輔助解決含三角函數(shù)值計(jì)算的實(shí)際問題.

1.經(jīng)歷用計(jì)算器由三角函數(shù)值求相應(yīng)銳角的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)的意義.

教學(xué)重點(diǎn)

2.能夠利用計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)三角函數(shù)值的計(jì)算.

教學(xué)難點(diǎn)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題

教學(xué)方法教學(xué)用具

授課教師修改的

教學(xué)主要環(huán)節(jié)和內(nèi)容設(shè)計(jì)

主要內(nèi)容

第一課時(shí)

一、導(dǎo)入新課

生活中有許多問題要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決。本節(jié)課我們共同探討運(yùn)用三

角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡單實(shí)際問題一§1.3、三角函數(shù)的有關(guān)計(jì)算

二、講授新課

引入問題1：會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小，是每個登山者的心愿。在很多旅游景

點(diǎn)，為了方便游客，設(shè)立了登山纜車。

如圖，當(dāng)?shù)巧嚼|車的吊箱經(jīng)過點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，它走過了[

200m,已知纜車行駛的路線與水平面的夾角Na=30°。：g蜀￡

那么纜車垂直上升的距離是多少？

分析：在RtZ\ABC中，/a=30°,AB=200米，需求出BC.

根據(jù)正弦的定義，sin30°=2="，

AB200

.*.BC=ABsin30°=200X，=100(米).

2

引入問題2：

當(dāng)纜車?yán)^續(xù)由點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，它又走過了200m,纜車由點(diǎn)B到點(diǎn)D的行

駛路線與水平面的夾角是NB=45°,由此你能想到還能計(jì)算什么？

分析：有如下幾種解決方案：

方案一：可以計(jì)算纜車從B點(diǎn)到D點(diǎn)垂直上升的高度.

方案二：可以計(jì)算纜車從A點(diǎn)到D點(diǎn)，垂直上升的高度、水平移動的距離.

三、變式訓(xùn)練，熟練技能

1、一個人從山底爬到山頂，需先爬40°的山坡300m,再爬30°的山坡

100m,求山高.(sin40°=0.6428,結(jié)果精確到0.01m)

解：如圖，根據(jù)題意，可知

BC=300m,BA=100m,ZC=40°,ZABF=30°.

在RtACBD中,BD=BCsin400=300X0.6428=192.84(m)；

在RtZ\ABF中，AF=ABsin300-100Xl=50(m).zfl

2

所以山高AE=AF+BD=192.8+50=242.8(m).

/g

2、求圖中避雷針的長度。(參考數(shù)據(jù)：tan56°"1.4826,tan500七

1.1918)

/1

解：如圖，根據(jù)題意，可知

AB=20m,ZCAB=50°,/DAB=56°

A56A畫

,/sox\

在RtaDBA中，DB=ABtan56°g20X1.4826=29.652(m)；20mB

在RtZkCBA中,CB=ABtan50°??2OX1.1918=23.836(m).

所以避雷針的長度DC=DB-CB=29.652-23.836??5.82(m).

四、總結(jié)反思，情意發(fā)展

談一談：這節(jié)課你學(xué)習(xí)掌握了哪些新知識？通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收

獲和感想？

第二課時(shí)

一、預(yù)習(xí)展示，感悟?qū)?/p>

在欣△力8。中，乙。=90°,乙4乙氏乙。所對的邊分別為a、b、

C?

(1)邊的關(guān)系：_________________(勾股定理);

(2)角的關(guān)系：_________________________；

(3)邊角關(guān)系：sin/=______,cos/二______,tanZI=______；

s\r\B=,cosB=,tan5=

二、合作探究

隨著人民生活水平的提高,

農(nóng)用小轎車越來越多，為了交“

通安全，某市政府要修建10m高的天橋，為了方便行人推車過天橋，需在

天橋兩端修建40m長的斜道.（如圖所示）。這條斜道的傾斜角是多少？

探究1：在々△力8c中，BC=m,AC=m,

sin/=______________

探究2:已知sinA的值，如何求出4A的大小？

請閱讀以下內(nèi)容，學(xué)會用計(jì)算器由銳角三角函數(shù)值求相應(yīng)銳角的大

小.

已知三角函數(shù)求角度，要用到國、回、畫鍵的第二功能“sin-】，COJ

t,tan-i”和叵叫鍵.

探究3:你能求出上圖中乙力的大小嗎？

解：sin/=!=_______.（化為小數(shù)），

4

三、鞏固訓(xùn)練

1、如圖，工件上有一V形槽，測得它的上口寬20mm，深19.2mm,求V

形角（乙ACB）的大小.（結(jié)果精確到1°）

2、如圖，一名患者體內(nèi)某重要器官后面有一腫瘤.在接受放射性治療時(shí)，

為了最大限度地保證療效，并且防止傷害器官，射線必須從側(cè)面照射腫

瘤.已知腫瘤在皮下6.3cm的A處，射線從腫瘤右側(cè)9.8cm的B處進(jìn)入身

體，求射線的入射角度.

3、某段公路每前進(jìn)1000米，路面就升高50米，求這段公路的坡角.

4、一梯子斜靠在一面墻上.已知梯長4m,梯子位于地面上的一端離墻壁

2.5m,求梯子與地面所成的銳角.

5、

圖中的螺旋形由一系列直角三角形組

成，每個三角形都以點(diǎn)。為一頂點(diǎn).

（1）求乙4（/川/_AXOAZ1/_A^）A

的大小；

（2）已知乙是第一個小于203

的角，求n的值.

教學(xué)反思

主備人備課組長簽字教研組長簽字

授課教師.第一周星期.日期：2022年—月—日

學(xué)科章節(jié)第一章直角三角形的邊角關(guān)系適用年級九年級課時(shí)數(shù)

教學(xué)課題§1.4船有觸礁的危險(xiǎn)嗎

1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險(xiǎn)的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的應(yīng)用.

2.能夠把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能夠借助于計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)三角函數(shù)的計(jì)算，并能

教學(xué)目標(biāo)

對

結(jié)果的意義進(jìn)行說明.

1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險(xiǎn)的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的作用.

教學(xué)重點(diǎn)

2.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決問題的能力.

教學(xué)難點(diǎn)根據(jù)題意，了解有關(guān)術(shù)語，準(zhǔn)確地畫出示意圖.

教學(xué)方法探索一一發(fā)現(xiàn)法教學(xué)用具

授課教師修改的

教學(xué)主要環(huán)節(jié)和內(nèi)容設(shè)計(jì)

主要內(nèi)容

一、問題引入：

海中有一個小島A,該島四周10海里內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航

行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后，到達(dá)該島的南偏

西25°的C處，之后，貨輪繼續(xù)往東航行，你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中

會有觸礁的危險(xiǎn)嗎?你是如何想的?與同伴進(jìn)行交流.

A

東

二、解決問題：

1、如圖，小明想測量塔CD的高度.他在A處仰望塔頂，測得仰角為30°,

再往塔的方向前進(jìn)50m至B處.測得仰角為60°.那么該塔有多高？（小明的

身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到1m）

D

A

AB

2、某商場準(zhǔn)備改善原來樓梯的安全性能，把傾角由40。減至35°,已知

原樓梯長為4m,調(diào)整后的樓梯會加長多少？樓梯多占多長一段地面？（結(jié)果

精確到0.01m）太陽光線

三、隨堂練習(xí)

1.如圖，一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40°夾角，且DB=5

m,現(xiàn)再在C點(diǎn)上方2nl處加固另一條鋼纜ED,那么鋼纜ED的長度為多少？

2.如圖，水庫大壩的截面是梯形ABCD.壩頂AD=6m,坡長CD=8m.坡底BC=

30m,ZADC=135°.

（1）求/ABC的大小：

（2）如果壩長100m.那么建筑這個大壩共需多少土石料？（結(jié)果精確到

0.01m3）

3.如圖，某貨船以20海里/時(shí)的速度將一批重要物資由A處運(yùn)往正西方

向的B處，經(jīng)16小時(shí)的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨.此時(shí).接到氣象部

門通知，一臺風(fēng)中心正以40海里/時(shí)的速度由A向北偏西60°方向移動，

距臺風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域（包括邊界）均受到影響.

（1）問：B處是否會受到臺風(fēng)的影響?請說明理由.

（2）為避免受到臺風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時(shí)內(nèi)卸完貨物？（供選用數(shù)

據(jù)：V2^1.4,拒7)

四、課后練習(xí):

1.有一攔水壩是等腰樓形,它的上底是6米,下底是10米,高為2米，求

此攔水壩斜坡的坡度和坡角.

2.如圖，太陽光線與地面成60°角，一棵大樹傾斜后與地面成36°角，這時(shí)

測得大樹在地面上的影長約為10米,求大樹的長（精確到0.1米）.

3.如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且NQPN=30°,點(diǎn)A處有一所學(xué)

校,AP=160米,假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100米以內(nèi)會受到噪聲的影響，那么

拖拉機(jī)在公路MN上沿PN的方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會受到噪聲影響?請說明

理由.

4.如圖，某地為響應(yīng)市政府“形象重于生命”的號召，在甲建筑物上從點(diǎn)A

到點(diǎn)E掛一長為30米的宣傳條幅，在乙建筑物的頂部D點(diǎn)測得條幅頂端A

點(diǎn)的仰角為40°,測得條幅底端E的俯角為26°,求甲、乙兩建筑物的水平

距離BC的長（精確到0.1米）.

5.如圖，小山上有一座鐵塔AB,在D處測得點(diǎn)A的仰角

為/ADC=60°,點(diǎn)B的仰角為/BDC=45°;在E處

測得A的仰角為NE=30°,并測得DE=90米，

求小山高BC和鐵塔高AB（精確到0.1米）.

6.某民航飛機(jī)在大連海域失事,為調(diào)查失事原因，決定派海軍潛水員打撈飛

機(jī)上的黑匣子,如圖所示,一潛水員在A處以每小時(shí)8海里的速度向正東方

向劃行,在A處測得黑匣子B在北偏東60°的方向，劃行半小時(shí)后到達(dá)C處,

測得黑匣子B在北偏東30°的方向，在潛水員繼續(xù)向東劃行多少小時(shí)，距離

黑匣子B最近,并求最近距離.

7.以申辦2010年冬奧會，需改變哈爾濱市的交通狀況，在大直街拓寬工程

中，要伐掉一棵樹AB,在地面上事先劃定以B為圓心,半徑與AB等長的圓形

危險(xiǎn)區(qū)，現(xiàn)在某工人站在離B點(diǎn)3米遠(yuǎn)的D處測得樹的頂點(diǎn)A的仰角為

60°,樹的底部B點(diǎn)的俯角為30°,如圖所示，問距離B點(diǎn)8米遠(yuǎn)的保護(hù)物

是否在危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)？

8.如圖，某學(xué)校為了改變辦學(xué)條件，計(jì)劃在甲教學(xué)樓的正北方21米處的一塊

空地上（BD=21米），再建一幢與甲教學(xué)等高的乙教學(xué)樓（甲教學(xué)樓的高AB=20

米），設(shè)計(jì)要求冬至正午時(shí),太陽光線必須照射到乙教學(xué)樓距地面5米高的二

樓窗口處，已知該地區(qū)冬至正午時(shí)太陽偏南，太陽光線與水平線夾角為

30°，試判斷：計(jì)劃所建的乙教學(xué)樓是否符合設(shè)計(jì)要求?并說明理由.

9.如圖，兩條帶子,帶子a的寬度為2cm,帶子b的寬度為1cm,它們相交成a

角，如果重疊部分的面積為4cm2,求a的度數(shù).

教學(xué)反思

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學(xué)科章節(jié)第一章直角三角形的邊角關(guān)系