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北京市昌平區(qū)2022高三第一學(xué)期期末質(zhì)量抽測(cè)

數(shù)學(xué)試卷

2023.1

本試卷共6頁(yè),共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上,在

試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后,將答題卡交回.

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出

符合題目要求的一項(xiàng).

={x|—lWx<2},8={x|x>0},則集合406=()

1.已知集合“二

A.(-00,2)B.[-L+OO)

C.(0,2)D.[T2)

2.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(a,1),且滿(mǎn)足(1—i)?z=2,則。=()

A.1B.-1C.2D.-2

3.下列函數(shù)中,是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)是減函數(shù)的是()

1

A.y=-B.y=-x3

X

y=logx

C.丁=中|D.1

2

4.若a>b>0,c>d>0,則一定有()

ahabahab

A.—>—B.一<一C.—>—D.—<—

cdcddcdc

已知二項(xiàng)式(x+-^的展開(kāi)式中L的系數(shù)是10,則實(shí)數(shù)a=()

5.

I

、XJX

A.-1B.1C.-2D.2

4

6.若sin(兀一a)=--,cosa>0,則tana二()

3344

A.—B.----C.—D.---

4433

7.在平面直角坐標(biāo)系xQy中,角a與角夕均以Qx為始邊,貝心角a與角0的終邊關(guān)于V軸

對(duì)稱(chēng)"是"sina=5皿1”的()

A充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

第1頁(yè)/共19頁(yè)

8.圖1:在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木釘,小木釘之間留有適

當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?,前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入,小球下落的過(guò)程中,每次碰到

小木釘后都等可能的向左或向右落下,最后落入底部的格子中.在圖2中,將小球放入容器

中從頂部下落,則小球落入。區(qū)的路線(xiàn)數(shù)有()

9.設(shè)拋物線(xiàn)C:/=2px(p>0)的焦點(diǎn)為廠,準(zhǔn)線(xiàn)為/.斜率為6的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)少,交拋

物線(xiàn)C于點(diǎn)A,交準(zhǔn)線(xiàn)/于點(diǎn)8(48在x軸的兩側(cè)).若|/3|=6,則拋物線(xiàn)的方程為()

A.y1-lxB.y2=3x

C.y2=4xD.y2=6x

io.己知向量£,就滿(mǎn)足問(wèn)=JI,同=i,G&=7,僅—斗伍—B)=0,則口的最大值是

()

A.V2-1B.

2

c.刨D.6+1

2

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題,每小題5分,共25分.

11.已知數(shù)列{%}中,q=2,%+|-2%=0(〃eN"),則數(shù)列{/}的通項(xiàng)公式為

12.已知雙曲線(xiàn)工-二=1的焦點(diǎn)為大,居,點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上,則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程

45

為;若|?制=4,則|尸周=.

13.在A/IBC中,a=8,c=7,cosA=—,則6=,NC=.

7

第2頁(yè)/共共頁(yè)

14.若直線(xiàn)歹=履+2與圓(x—l)2+/=a有公共點(diǎn),則。的最小值為.

15.已知正三棱錐P-N5C的六條棱長(zhǎng)均為凡。是底面“8C的中心,用一個(gè)平行于底面

的平面截三棱錐,分別交尸4P8,PC于4,4,G點(diǎn)(不與頂點(diǎn)尸,4民C重合).

給出下列四個(gè)結(jié)論:

①三棱錐。-48cl為正三棱錐;

②三棱錐P-ABC的高為逅”;

3

③三棱錐。-48cl的體積既有最大值,又有最小值;

必=2V

O-A^=j_

PA3VP_ABC27

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題共6小題,共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,演算步驟或證明過(guò)程.

16.已知函數(shù)/.(x)=Jisin2s-cos2ox(0<o<2),再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇

一個(gè)作為已知,

(1)求/(x)的解析式;

(2)當(dāng)xe0,|時(shí),關(guān)于x的不等式/(x)W,〃恒成立,求實(shí)數(shù),〃的取值范圍.

條件①:函數(shù)/(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(g,2);

條件②:函數(shù)/(x)的圖象可由函數(shù)g(x)=2sin2x的圖象平移得到;

條件③:函數(shù)/(X)的圖象相鄰的兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為楙.

注:如果選擇條件①、條件②和條件③分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

17.不粘鍋是家庭常用的廚房用具,近期,某市消費(fèi)者權(quán)益保護(hù)委員會(huì)從市場(chǎng)上購(gòu)買(mǎi)了12

款不粘鍋商品,并委托第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)進(jìn)行檢測(cè),本次選取了食物接觸材料安全項(xiàng)目中與消

費(fèi)者使用密切相關(guān)的6項(xiàng)性能項(xiàng)目進(jìn)行比較試驗(yàn),性能檢測(cè)項(xiàng)目包含不粘性、耐磨性、耐堿性

、手柄溫度、溫度均勻性和使用體驗(yàn)等6個(gè)指標(biāo).其中消費(fèi)者關(guān)注最多的兩個(gè)指標(biāo)“不沾性、耐

磨性”檢測(cè)結(jié)果的數(shù)據(jù)如下:

檢測(cè)結(jié)果

序號(hào)品牌名稱(chēng)不粘性耐磨性

第3頁(yè)/共19頁(yè)

1品牌1I級(jí)I級(jí)

2品牌2II級(jí)I級(jí)

3品牌3I級(jí)I級(jí)

4品牌4II級(jí)II級(jí)

5品牌5I級(jí)I級(jí)

6品牌6II級(jí)I級(jí)

7品牌7I級(jí)I級(jí)

8品牌8I級(jí)I級(jí)

9品牌9II級(jí)口級(jí)

10品牌10II級(jí)II級(jí)

11品牌11口級(jí)n級(jí)

12品牌12II級(jí)1級(jí)

(i級(jí)代表性能優(yōu)秀,n級(jí)代表性能較好)

(1)從這12個(gè)品牌的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取兩個(gè)品牌的數(shù)據(jù),求這兩個(gè)品牌的“不粘性”性能

都是I級(jí)的概率;

(2)從前六個(gè)品牌中隨機(jī)選取兩個(gè)品牌的數(shù)據(jù),設(shè)為性能都是I級(jí)的品牌個(gè)數(shù),求隨機(jī)變

量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(3)從后六個(gè)品牌中隨機(jī)選取兩個(gè)品牌的數(shù)據(jù),設(shè)y為性能都是I級(jí)的品牌個(gè)數(shù),比較隨

機(jī)變量x和隨機(jī)變量y的數(shù)學(xué)期望的大?。ńY(jié)論不要求證明).

18.如圖,在多面體Z8C-46cl中,側(cè)面工644為矩形,平面CC(±

平面=/C=4,CC]=2,Z8=3.

第4頁(yè)/共19頁(yè)

4

Bi

G

c

B

(1)求證:CG〃平面4844;

(2)求直線(xiàn)4cl與平面所成角的正弦值:

(3)求直線(xiàn)到平面ABC,的距離.

19.已知橢圓。:m+/=1(4">0)過(guò)點(diǎn)(2,0),且離心率是乎.

(1)求橢圓。的方程和短軸長(zhǎng);

(2)已知點(diǎn)尸(1,0),直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)(0,3)且與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)48,問(wèn):是否存在

直線(xiàn)/,使得是以點(diǎn)尸為頂點(diǎn)的等腰三角形,若存在,求出直線(xiàn)/的方程;若不存在,

說(shuō)明理由.

20.已知函數(shù)/(x)=e*+me~x+(m-l)x,m<0.

(1)當(dāng)俄=0時(shí),求曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線(xiàn)方程;

(2)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性;

(3)當(dāng)—eWm<—l時(shí),證明:對(duì)任意的》6(0,+8),/。)2—2恒成立.

fx*[2。(12,、

21.已知數(shù)列{4}滿(mǎn)足:qeN,q<24,且見(jiàn)+|=1"4(〃=1,2,…).記集

合V={a“l(fā)neN,J.

(1)若q=2,寫(xiě)出集合"的所有元素;

(2)若集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù),證明:M的所有元素都是3的倍數(shù);

(3)求集合”的元素個(gè)數(shù)的最大值.

第5頁(yè)/共19頁(yè)

數(shù)學(xué)試卷參考答案

一、選擇題共10小題,每小題4分,

1.【答案】C

【分析】根據(jù)交集的知識(shí)求得正確答案.

【詳解】依題意4cs={x[0<x<2}.

故選:C

2.【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得z=l+i,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可得z=a+i,由此求得

答案.

【詳解】由(l-i)-z=2得2=占=@/=1+「

又復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是即z=a+i=1+i,.?.a=l,

故選:A

3.【答案】B

【分析】根據(jù)反例或基本初等函數(shù)的性質(zhì)可得正確的選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,設(shè)/(x)=g,貝=⑴=,

故/(x)=:在定義域內(nèi)不是減函數(shù),故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,設(shè)g(x)=—x3,其定義域?yàn)镽且g(_x)=_(—x)3=x3=_g(x),

故8(力=一X3為奇函數(shù),而y=x,為R上的增函數(shù),

故g(x)=-/為R上的減函數(shù),故B正確.

對(duì)于C,設(shè)〃(x)=x|x|,因?yàn)椤?1)=1<4=〃(2),故〃(x)=x|x|在定義域內(nèi)不是減函數(shù),

故c錯(cuò)誤.

對(duì)于D,N=l°g廣的定義域?yàn)?0,+8),故該函數(shù)不是奇函數(shù),故D錯(cuò)誤.

故選:B

4.【答案】C

【分析】利用特例法,判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】解:不妨令。=3,6=Lc=l,a=,,

3

第6頁(yè)/共共頁(yè)

則@=3,2=3,.'A、B不正確;

cd

巴=9,2=1,r.D不正確,C正確.

dc

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查不等式比較大小,特值法有效,是基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求得正確答案.

【詳解】二項(xiàng)式卜+@)的展開(kāi)式為=屋仁―/2"

令5—2r=—1,解得r=3,

所以/,優(yōu)=10/=]O,q=i

故選:B

6.【答案】D

【分析】利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得正確答案.

4

【詳解】sin(7i-<z)=sina=--,cosa>0,

所以cosa=-sin2a=—,

cosa3

故選:D

7.【答案】A

【分析】判斷命題“角a與角£的終邊關(guān)于夕軸對(duì)稱(chēng)”和“sina=sin/?”之間的邏輯推理關(guān)系,

可得答案.

【詳解】由題意知,角a與角廠的終邊關(guān)于J軸對(duì)稱(chēng)時(shí),則&+夕=兀+2E,左eZ,

故a=兀一/+2版,后€Z,則sina=sin(兀一/7+2E)=sin£/eZ,即sina=sin〃:

當(dāng)a=P+2E#eZ時(shí),此時(shí)sina=sin/7,角a與角,的終邊不關(guān)于V軸對(duì)稱(chēng),

即“sina=sin/?”成立不能得出“角a與角£的終邊關(guān)于夕軸對(duì)稱(chēng)”成立,

故”角a與角§的終邊關(guān)于V軸對(duì)稱(chēng)”是“sina=sin尸”的充分而不必要條件,

故選:A

8.【答案】C

【分析】由上而下依次歸納小球到每一層相鄰兩球空隙處的線(xiàn)路數(shù)后可正確的選項(xiàng).

【詳解】第一層只有一個(gè)小球,其左右各有一個(gè)空隙,小球到這兩個(gè)空隙處的線(xiàn)路數(shù)均為1;

第7頁(yè)/共19頁(yè)

第二層有兩個(gè)小球,共有三個(gè)空隙,小球到這三個(gè)空隙處的線(xiàn)路數(shù)從左到右依次為:1,2,1,

第三層有三個(gè)小球,共有4個(gè)空隙,小球到這四個(gè)空隙處的線(xiàn)路數(shù)從左到右依次為:

1,1+2,2+1,1即為1,3,3,1,

第四層有四個(gè)小球,共有5個(gè)空隙,小球到這五個(gè)空隙處的線(xiàn)路數(shù)從左到右依次為:

1,1+3,3+3,3+1,1即為1,4,6,4,1,

第五層有五個(gè)小球,共有6個(gè)空隙,小球到這六個(gè)空隙處的線(xiàn)路數(shù)從左到右依次為:

1,1+4,4+6,6+4,4+1,1即為1,5,10,10,5,1,

第六層有六個(gè)小球,共有7個(gè)空隙,小球到這七個(gè)空隙處的線(xiàn)路數(shù)從左到右依次為:

1,1+5,5+10,10+10,10+5,5+1,1即為1,6,15,20,15,6,1,

故小球落入D區(qū)的路線(xiàn)數(shù)有20條.

故選:C.

9.【答案】B

【分析】根據(jù)直線(xiàn)Z8的斜率以及|4a=6求得P,從而求得拋物線(xiàn)的方程.

7T

【詳解】直線(xiàn)幺8的斜率為⑺,傾斜角為!,

過(guò)A作4/7_L/,垂足為,,連接

由于==所以三角形/〃/是等邊三角形,

所以/川=;|/用=3,

冗13

由于/人“8=—,所以F=一|”周=一,

622

所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為必=3x.

10.【答案】C

【分析】把平移到共起點(diǎn)以B的起點(diǎn)為原點(diǎn),B所在的直線(xiàn)為x軸,B的方向?yàn)閤軸的

第8頁(yè)/共19頁(yè)

正方向,求出癡的坐標(biāo),則根據(jù)伍-個(gè)伍-B)=o得"的終點(diǎn)得軌跡,根據(jù).的意義求

解最大值.

【詳解】把平移到共起點(diǎn),以B的起點(diǎn)為原點(diǎn),B所在的直線(xiàn)為x軸,B的方向?yàn)閤軸

的正方向,見(jiàn)下圖,設(shè)/=&3^=2,雙=入則"一2=%,工—否=就

又.?.4C_L8C則點(diǎn)c的軌跡為以Z8為直徑的圓,又因?yàn)?/p>

同=后,阿=1,(詞=?,所以8(1,0)4(11)故以AB為直徑的圓為

(x-l)2+^-1j=],所以忖的最大值就是以43為直徑的圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大

值,所以最大值為

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題,每小題5分,共25分.

11.【答案】%=2"

【分析】判斷數(shù)列為等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得答案.

【詳解】數(shù)列{4}中,%=2,%+「2a,=0(〃eN*)

則。,,H0,否則與%=2矛盾,

故誓=2,即數(shù)列{%}為首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,

所以%=2",

故答案為:an=T

12.【答案】①.v=±與②.8

2

【分析】求得a,6,由此求得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程,根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義求得忸6|

第9頁(yè)/共19頁(yè)

【詳解】依題意a=2,b=右,所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=土正x,

由于|尸凰=4=2%所以P在雙曲線(xiàn)的左支,所以|P閭=2°+|尸凰=8.

故答案為:V=+^-X!8

2

13.【答案】①.5②.(##60°

【分析】根據(jù)余弦定理可求b,再根據(jù)余弦定理看可求/C.

【詳解】由余弦定理可得64=b2+49-2xbx7x—=/—2b+49,

7

故—2b—15=0,故b=—3(舍)或6=5,

64+25-4917t

故cos/C;一>=上,而/C為三角形內(nèi)角,故NC='.

2x5x823

故答案為:5,.

3

14.【答案】5

【分析】求出直線(xiàn)丁=任+2所過(guò)的定點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)(0,2)在圓上或圓內(nèi)時(shí),直線(xiàn)丁=丘+2與

圓(x—l)2+/總有公共點(diǎn),列出不等式,即可求得答案.

【詳解】由題意知左eR,直線(xiàn)歹=代+2過(guò)定點(diǎn)(0,2),

當(dāng)點(diǎn)(0,2)在圓上或圓內(nèi)時(shí),直線(xiàn)y=去+2與圓(x-Ip+/=凡。>o總有公共點(diǎn),

即(0-1尸+2?<a,:.a>5,

即a的最小值為5,

故答案為:5

15.【答案】①②④

【分析】建立正四面體模型,數(shù)形結(jié)合分析.

【詳解】如圖所示

..?用一個(gè)平行于底面的平面截三棱錐,

第10頁(yè)/共19頁(yè)

且P-48C為正三棱錐,O是底面-8C的中心

.?.三棱錐。為正三棱錐,故①正確:

???正三棱錐P-ABC的六條棱長(zhǎng)均為。,。是底面“BC的中心,

三棱錐P一ABC的高為尸。,

的高為C。,且CD=Ba,OC=ZcD=^a,

233

???PO=\a1-=^-a,故②正確

\I3J3

,???4,4,G點(diǎn)不與頂點(diǎn)尸,/,6,c重合,

V6,

—a一h/r

4A=X£(0,4),設(shè)。一4耳。]的高為〃,則一二3,得,7=(a—X),

。。63

——a

3

2

/(x)=—8£=}“環(huán)/=~~x-sin1-y^(x-a)=尋%_x),

f'(x)=^-ax-^-x2=-^-x(2a-3x)>在(0,?)上/"(x)>0,(=,“)上/、'(x)<0,

641233

所以/(x)在(0,g)上遞增,(g,a)上遞減,故在(0,。)上有最大值,無(wú)最小值,故③錯(cuò)誤:

當(dāng)外=*時(shí),點(diǎn)4,4,G分別為線(xiàn)段PA,PB,PC的三等分點(diǎn),

P43

故④正確;

故答案為:①②④

三、解答題共6小題,共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,演算步驟或證明過(guò)程.

TT

16.【答案】(1)/(x)=2sin(2x一一);(2)[2,+a)).

6

JT/兀

【分析】(1)化簡(jiǎn)/(x)=2sin(2(yx-2),若選①,將點(diǎn)彳,2代入求得①=1,可得答

6133/

第11頁(yè)/共19頁(yè)

案;選②,根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變化規(guī)律可得&=1,可得答案;選②,由函數(shù)的最小

正周期可確定0=1,可得答案;

(2)由xe0,[確定學(xué)],從而求得/(X)的范圍,根據(jù)不等式恒成立即可

_2」666

確定實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

/(X)=6sin26yx-cos26yx=2sin(2&)x--^);

選①:函數(shù)/(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(三,2),則25淪(20乂(-*=2,

所以26yx二一二=—+2kn,keZ,則①=l+3k,keZ,

362

由0<。<2,可得。=1,則/(x)=2sin(2x-.;

選②:函數(shù)/(x)的圖象可由函數(shù)g(x)=2sin2x的圖象平移得到,

即/(x)=2sin(2ox-3)的圖象可由函數(shù)g(x)=2sin2x的圖象平移得到,

6

JT

則0=1,貝!l/(x)=2sin(2x——).

6

選③:函數(shù)/.(X)的圖象相鄰的兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為萬(wàn),

2兀

則函數(shù)的最小正周期為兀,故2@=—=2,.?.G=1,

71

故/(x)=2sin(2x--).

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)xw。,彳時(shí),2%一/w[-]乎],則sin(2x—四)w[—,1]?

.2」66662

故/(x)=2sin(2x—U)e[—1,2],

6

又當(dāng)xe0弓時(shí),關(guān)于x的不等式/(x)W7〃恒成立,故加22,

即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為[2,+8).

17.【答案】(1)—

第12頁(yè)/共19頁(yè)

(2)

X012

3

P

555

£(X)=1

(3)E(y)<£(x)

【分析】(1)直接計(jì)算事件發(fā)生概率:

(2)X可能取值為0,1,2,分別計(jì)算出概率,再列分布列,計(jì)算期望值;

(3y可能取值為0,1,2,分別計(jì)算出概率,計(jì)算期望值,再比較大小.

【小問(wèn)1詳解】

“不粘性”性能都是I級(jí)的品牌有5個(gè),

記事件A為兩個(gè)品牌的“不粘性”性能都是I級(jí),

C15

則P(4)=|

33

【小問(wèn)2詳解】

前六個(gè)品牌中性能都是I級(jí)的品牌有3個(gè),X可能取值為0,1,2,

p(x=o)=

5

3

P(X=1)=

5

2

p(X=2)=

5

.??X分布列為

X012

3£

P

555

【小問(wèn)3詳解】

后六個(gè)品牌性能都是I級(jí)的品有2個(gè),Y可能取值為0,1,2,

「22

產(chǎn)『。)=才子

第13頁(yè)/共19頁(yè)

pgb等4

p(y=2)爺q;

.?.y數(shù)學(xué)期望為

aQi2

£(r)=Ox-+lx—+2x—=

v7515153v7

18.【答案】(1)證明見(jiàn)解析;

⑶比

5

【分析】(1)先證明平面NBC,進(jìn)而證明//〃CG,從而根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定

理證明結(jié)論:

(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)向量坐標(biāo),求出平面280的法向量,

根據(jù)空間向量的夾角公式即可求得直線(xiàn)4G與平面所成角的正弦值;

(3)結(jié)合(2)的結(jié)果,利用空間距離的向量求法,先求點(diǎn)4到平面N8G的距離,即可

求得直線(xiàn)44到平面Z8G的距離.

【小問(wèn)1詳解】

證明:由題意C/1平面C4u平面Z8C,故平面Z8C人平面

又側(cè)面Z844為矩形,故力/_LZ8,

而N/u平面Z844平面NBCc平面工844=46,

所以//工平面又C£J■平面N8C,

所以z/〃CG,而z/u平面CGa平面/844,

故CG〃平面Z844.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)镃平面/8耳4,Z8u平面故CA1AB,

而Z/1平面/BC,

故以/為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以的方向?yàn)閄軸,y軸,Z軸正方向,建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系,

第14頁(yè)/共19頁(yè)

z

因?yàn)锳AX—AC-4,CC}=2,AB=3,

則力(0,0,0),8(3,0,0),C(0,4,0),C,(0,4,2),A}(0,0,4),

則AB=(3,0,0),AC{=(0,4,2),福=(0,4,-2)

n-AB=0

設(shè)平面/BQ的法向量為石=(x,y,z),貝i"_.,

n-AC}=0

3x=0_

即3+2Z=。'令、=L則〃=(0/,一2),

設(shè)直線(xiàn)4G與平面ABC,所成角為仇。€[0,學(xué),

l??八?/,/,\n,A.C,I84

則sin0=\cos〈〃,4G〉=一_L_L=-7=——產(chǎn)=—.

|〃114Gl275x755

【小問(wèn)3詳解】

因?yàn)閭?cè)面ABBH為矩形,所以/蜴//AB,

而u平面Z8C,44Z平面Z8C,故同4〃平面ABC,

則直線(xiàn)44到平面ABC,的距離即為點(diǎn)4到平面ABC,的距離,

福=(0,4,-2),平面ABC,的法向量為3=(0,1,—2),

故點(diǎn)4到平面ABC}的距離為d=-~?=忑=飛一,

即直線(xiàn)44到平面ABC,的距離為竽.

19.【答案】(1)—+^=1,2vL

42

(2)存在,直線(xiàn)/:x=0.

【分析】(1)由題意橢圓過(guò)點(diǎn)(2,0)可得。=2,根據(jù)離心率求得c,繼而求得6,可得答案.

(2)假設(shè)存在直線(xiàn)/,使得是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形,討論直線(xiàn)斜率是否存在

第15頁(yè)/共19頁(yè)

的情況,存在時(shí)設(shè)出直線(xiàn)方程并聯(lián)立橢圓方程,可得根與系數(shù)的關(guān)系,設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)。,

根據(jù)題意可得左“BX的°=-1,化簡(jiǎn)計(jì)算,求得上的值,進(jìn)行判斷,可得結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

由題意知橢圓。:馬+,=l(a>6>0)過(guò)點(diǎn)(2,0),且離心率是

則。=2,且3=立~,:.c=6,S=a"-c2=2,

a2

故橢圓。的方程為:+券=1,短軸長(zhǎng)為2b=2后.

【小問(wèn)2詳解】

假設(shè)存在直線(xiàn)/,使得AP4B是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形,

由于直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)(0,3),當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí),直線(xiàn)/為x=0,

此時(shí)48為橢圓的短軸上的兩頂點(diǎn),此時(shí)JAB是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形;

當(dāng)直線(xiàn)/斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)方程為丁=任+3,

y=Ax+3

聯(lián)立\x2v2,得(2左2+1)x2+12履+14=0,

—+—=1

142

當(dāng)直線(xiàn)歹=丘+3與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)46時(shí),

7

該方程八=(12左)2—4x14(2左2+1)>0,整理得上2>—,

4

設(shè)ZU,凹),8(々,%),

,12k14

則rlX.+x=---;——,X,X,=―;——,

1-22k2+\-2爐+1

所以凹+外=(履1+3)+(fcc2+3)-k(xx+x2)+6=--

設(shè)Z5的中點(diǎn)為點(diǎn)。,則。(當(dāng)生■,無(wú)及),

6k3

即D(-2公+1'2公+1)則PDLAB,

當(dāng)——3—=1時(shí),尸。斜率不存在,

2k2+\

76k

此時(shí)48的斜率4為0,不滿(mǎn)足《2>,,故--.-#1,

42k2+\

第16頁(yè)/共19頁(yè)

3

由題意可知=—1,即左X—2.+1—=-1,

----0-----1

2公+1

1,71

解得左=—1或4=一一,由于左2>一,故左=—1或左=一一不適合題意,

242

綜合以上,存在直線(xiàn)/:x=0,使得APZB是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解決直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系中是否存在的問(wèn)題時(shí).,一般是先假設(shè)存在,

然后設(shè)直線(xiàn)方程,聯(lián)立橢圓方程,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)求值,解答的關(guān)鍵點(diǎn)是要能根據(jù)

題設(shè)即AP/3是以點(diǎn)尸為頂點(diǎn)的等腰三角形,設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)。,得到e8x%/1o=-l,

然后結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)求值,即可解決問(wèn)題.

20.【答案】(1)y=(e-l)x+l

(2)答案詳見(jiàn)解析(3)證明詳見(jiàn)解析

【分析】(1)利用切點(diǎn)和斜率求得切線(xiàn)方程.

(2)求得/'(x),對(duì)掰分類(lèi)討論,由此來(lái)求得/(x)的單調(diào)區(qū)間.

(3)結(jié)合(2)求得/(x)在區(qū)間(0,+8)上的最小值,由此證得結(jié)論成立.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)加=0時(shí),/(x)=e*-xJ'(x)=ex-1,

/(O)=lJ〈l)=e-l,

所以切線(xiàn)方程為y-1=(e—l)x,j/=(e-l)x+l.

【小問(wèn)2詳解】

依題意,f(x)=ex+me~-Xx+(/n-l)x,m<0,

rv

m/(e-l)(e+/?)

/r(x)=eA-me-x+(7w-l)=eA

——?+(加—)ev

當(dāng)加=0時(shí),/"(x)=e"-1=。,解得x=0,

則/(X)在區(qū)間(一8,0)J'(x)<0J(x)遞減;在區(qū)間(0,+8)J'(x)〉0J(x)遞增.

當(dāng)"?<0時(shí),/"(x)=0解得x=ln(-〃?)或x=0,

當(dāng)一1<加<0時(shí),/(x)在區(qū)間(-0。,皿一〃。),(0,+00),/'(%)>0,/(%)遞增;

在區(qū)間(ln(-〃?),0),/'(x)<0J(x)遞減.

當(dāng)加=-1時(shí),/'(x)N0J(x)在R上遞增.

第17頁(yè)/共19頁(yè)

當(dāng)〃?<-1時(shí),/(X)在區(qū)間(T?,O),(ln(-優(yōu)),+oo),

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