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北京市昌平區(qū)2022高三第一學(xué)期期末質(zhì)量抽測(cè)
數(shù)學(xué)試卷
2023.1
本試卷共6頁(yè),共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上,在
試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后,將答題卡交回.
第一部分(選擇題共40分)
一、選擇題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出
符合題目要求的一項(xiàng).
={x|—lWx<2},8={x|x>0},則集合406=()
1.已知集合“二
A.(-00,2)B.[-L+OO)
C.(0,2)D.[T2)
2.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(a,1),且滿(mǎn)足(1—i)?z=2,則。=()
A.1B.-1C.2D.-2
3.下列函數(shù)中,是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)是減函數(shù)的是()
1
A.y=-B.y=-x3
X
y=logx
C.丁=中|D.1
2
4.若a>b>0,c>d>0,則一定有()
ahabahab
A.—>—B.一<一C.—>—D.—<—
cdcddcdc
已知二項(xiàng)式(x+-^的展開(kāi)式中L的系數(shù)是10,則實(shí)數(shù)a=()
5.
I
、XJX
A.-1B.1C.-2D.2
4
6.若sin(兀一a)=--,cosa>0,則tana二()
3344
A.—B.----C.—D.---
4433
7.在平面直角坐標(biāo)系xQy中,角a與角夕均以Qx為始邊,貝心角a與角0的終邊關(guān)于V軸
對(duì)稱(chēng)"是"sina=5皿1”的()
A充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
第1頁(yè)/共19頁(yè)
8.圖1:在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木釘,小木釘之間留有適
當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?,前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入,小球下落的過(guò)程中,每次碰到
小木釘后都等可能的向左或向右落下,最后落入底部的格子中.在圖2中,將小球放入容器
中從頂部下落,則小球落入。區(qū)的路線(xiàn)數(shù)有()
9.設(shè)拋物線(xiàn)C:/=2px(p>0)的焦點(diǎn)為廠,準(zhǔn)線(xiàn)為/.斜率為6的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)少,交拋
物線(xiàn)C于點(diǎn)A,交準(zhǔn)線(xiàn)/于點(diǎn)8(48在x軸的兩側(cè)).若|/3|=6,則拋物線(xiàn)的方程為()
A.y1-lxB.y2=3x
C.y2=4xD.y2=6x
io.己知向量£,就滿(mǎn)足問(wèn)=JI,同=i,G&=7,僅—斗伍—B)=0,則口的最大值是
()
A.V2-1B.
2
c.刨D.6+1
2
第二部分(非選擇題共110分)
二、填空題共5小題,每小題5分,共25分.
11.已知數(shù)列{%}中,q=2,%+|-2%=0(〃eN"),則數(shù)列{/}的通項(xiàng)公式為
12.已知雙曲線(xiàn)工-二=1的焦點(diǎn)為大,居,點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上,則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程
45
為;若|?制=4,則|尸周=.
13.在A/IBC中,a=8,c=7,cosA=—,則6=,NC=.
7
第2頁(yè)/共共頁(yè)
14.若直線(xiàn)歹=履+2與圓(x—l)2+/=a有公共點(diǎn),則。的最小值為.
15.已知正三棱錐P-N5C的六條棱長(zhǎng)均為凡。是底面“8C的中心,用一個(gè)平行于底面
的平面截三棱錐,分別交尸4P8,PC于4,4,G點(diǎn)(不與頂點(diǎn)尸,4民C重合).
給出下列四個(gè)結(jié)論:
①三棱錐。-48cl為正三棱錐;
②三棱錐P-ABC的高為逅”;
3
③三棱錐。-48cl的體積既有最大值,又有最小值;
必=2V
O-A^=j_
PA3VP_ABC27
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.
三、解答題共6小題,共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,演算步驟或證明過(guò)程.
16.已知函數(shù)/.(x)=Jisin2s-cos2ox(0<o<2),再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇
一個(gè)作為已知,
(1)求/(x)的解析式;
(2)當(dāng)xe0,|時(shí),關(guān)于x的不等式/(x)W,〃恒成立,求實(shí)數(shù),〃的取值范圍.
條件①:函數(shù)/(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(g,2);
條件②:函數(shù)/(x)的圖象可由函數(shù)g(x)=2sin2x的圖象平移得到;
條件③:函數(shù)/(X)的圖象相鄰的兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為楙.
注:如果選擇條件①、條件②和條件③分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.
17.不粘鍋是家庭常用的廚房用具,近期,某市消費(fèi)者權(quán)益保護(hù)委員會(huì)從市場(chǎng)上購(gòu)買(mǎi)了12
款不粘鍋商品,并委托第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)進(jìn)行檢測(cè),本次選取了食物接觸材料安全項(xiàng)目中與消
費(fèi)者使用密切相關(guān)的6項(xiàng)性能項(xiàng)目進(jìn)行比較試驗(yàn),性能檢測(cè)項(xiàng)目包含不粘性、耐磨性、耐堿性
、手柄溫度、溫度均勻性和使用體驗(yàn)等6個(gè)指標(biāo).其中消費(fèi)者關(guān)注最多的兩個(gè)指標(biāo)“不沾性、耐
磨性”檢測(cè)結(jié)果的數(shù)據(jù)如下:
檢測(cè)結(jié)果
序號(hào)品牌名稱(chēng)不粘性耐磨性
第3頁(yè)/共19頁(yè)
1品牌1I級(jí)I級(jí)
2品牌2II級(jí)I級(jí)
3品牌3I級(jí)I級(jí)
4品牌4II級(jí)II級(jí)
5品牌5I級(jí)I級(jí)
6品牌6II級(jí)I級(jí)
7品牌7I級(jí)I級(jí)
8品牌8I級(jí)I級(jí)
9品牌9II級(jí)口級(jí)
10品牌10II級(jí)II級(jí)
11品牌11口級(jí)n級(jí)
12品牌12II級(jí)1級(jí)
(i級(jí)代表性能優(yōu)秀,n級(jí)代表性能較好)
(1)從這12個(gè)品牌的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取兩個(gè)品牌的數(shù)據(jù),求這兩個(gè)品牌的“不粘性”性能
都是I級(jí)的概率;
(2)從前六個(gè)品牌中隨機(jī)選取兩個(gè)品牌的數(shù)據(jù),設(shè)為性能都是I級(jí)的品牌個(gè)數(shù),求隨機(jī)變
量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)從后六個(gè)品牌中隨機(jī)選取兩個(gè)品牌的數(shù)據(jù),設(shè)y為性能都是I級(jí)的品牌個(gè)數(shù),比較隨
機(jī)變量x和隨機(jī)變量y的數(shù)學(xué)期望的大?。ńY(jié)論不要求證明).
18.如圖,在多面體Z8C-46cl中,側(cè)面工644為矩形,平面CC(±
平面=/C=4,CC]=2,Z8=3.
第4頁(yè)/共19頁(yè)
4
Bi
G
c
B
(1)求證:CG〃平面4844;
(2)求直線(xiàn)4cl與平面所成角的正弦值:
(3)求直線(xiàn)到平面ABC,的距離.
19.已知橢圓。:m+/=1(4">0)過(guò)點(diǎn)(2,0),且離心率是乎.
(1)求橢圓。的方程和短軸長(zhǎng);
(2)已知點(diǎn)尸(1,0),直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)(0,3)且與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)48,問(wèn):是否存在
直線(xiàn)/,使得是以點(diǎn)尸為頂點(diǎn)的等腰三角形,若存在,求出直線(xiàn)/的方程;若不存在,
說(shuō)明理由.
20.已知函數(shù)/(x)=e*+me~x+(m-l)x,m<0.
(1)當(dāng)俄=0時(shí),求曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線(xiàn)方程;
(2)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性;
(3)當(dāng)—eWm<—l時(shí),證明:對(duì)任意的》6(0,+8),/。)2—2恒成立.
fx*[2。(12,、
21.已知數(shù)列{4}滿(mǎn)足:qeN,q<24,且見(jiàn)+|=1"4(〃=1,2,…).記集
合V={a“l(fā)neN,J.
(1)若q=2,寫(xiě)出集合"的所有元素;
(2)若集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù),證明:M的所有元素都是3的倍數(shù);
(3)求集合”的元素個(gè)數(shù)的最大值.
第5頁(yè)/共19頁(yè)
數(shù)學(xué)試卷參考答案
一、選擇題共10小題,每小題4分,
1.【答案】C
【分析】根據(jù)交集的知識(shí)求得正確答案.
【詳解】依題意4cs={x[0<x<2}.
故選:C
2.【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得z=l+i,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可得z=a+i,由此求得
答案.
【詳解】由(l-i)-z=2得2=占=@/=1+「
又復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是即z=a+i=1+i,.?.a=l,
故選:A
3.【答案】B
【分析】根據(jù)反例或基本初等函數(shù)的性質(zhì)可得正確的選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A,設(shè)/(x)=g,貝=⑴=,
故/(x)=:在定義域內(nèi)不是減函數(shù),故A錯(cuò)誤.
對(duì)于B,設(shè)g(x)=—x3,其定義域?yàn)镽且g(_x)=_(—x)3=x3=_g(x),
故8(力=一X3為奇函數(shù),而y=x,為R上的增函數(shù),
故g(x)=-/為R上的減函數(shù),故B正確.
對(duì)于C,設(shè)〃(x)=x|x|,因?yàn)椤?1)=1<4=〃(2),故〃(x)=x|x|在定義域內(nèi)不是減函數(shù),
故c錯(cuò)誤.
對(duì)于D,N=l°g廣的定義域?yàn)?0,+8),故該函數(shù)不是奇函數(shù),故D錯(cuò)誤.
故選:B
4.【答案】C
【分析】利用特例法,判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】解:不妨令。=3,6=Lc=l,a=,,
3
第6頁(yè)/共共頁(yè)
則@=3,2=3,.'A、B不正確;
cd
巴=9,2=1,r.D不正確,C正確.
dc
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查不等式比較大小,特值法有效,是基礎(chǔ)題.
5.【答案】B
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求得正確答案.
【詳解】二項(xiàng)式卜+@)的展開(kāi)式為=屋仁―/2"
令5—2r=—1,解得r=3,
所以/,優(yōu)=10/=]O,q=i
故選:B
6.【答案】D
【分析】利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得正確答案.
4
【詳解】sin(7i-<z)=sina=--,cosa>0,
所以cosa=-sin2a=—,
cosa3
故選:D
7.【答案】A
【分析】判斷命題“角a與角£的終邊關(guān)于夕軸對(duì)稱(chēng)”和“sina=sin/?”之間的邏輯推理關(guān)系,
可得答案.
【詳解】由題意知,角a與角廠的終邊關(guān)于J軸對(duì)稱(chēng)時(shí),則&+夕=兀+2E,左eZ,
故a=兀一/+2版,后€Z,則sina=sin(兀一/7+2E)=sin£/eZ,即sina=sin〃:
當(dāng)a=P+2E#eZ時(shí),此時(shí)sina=sin/7,角a與角,的終邊不關(guān)于V軸對(duì)稱(chēng),
即“sina=sin/?”成立不能得出“角a與角£的終邊關(guān)于夕軸對(duì)稱(chēng)”成立,
故”角a與角§的終邊關(guān)于V軸對(duì)稱(chēng)”是“sina=sin尸”的充分而不必要條件,
故選:A
8.【答案】C
【分析】由上而下依次歸納小球到每一層相鄰兩球空隙處的線(xiàn)路數(shù)后可正確的選項(xiàng).
【詳解】第一層只有一個(gè)小球,其左右各有一個(gè)空隙,小球到這兩個(gè)空隙處的線(xiàn)路數(shù)均為1;
第7頁(yè)/共19頁(yè)
第二層有兩個(gè)小球,共有三個(gè)空隙,小球到這三個(gè)空隙處的線(xiàn)路數(shù)從左到右依次為:1,2,1,
第三層有三個(gè)小球,共有4個(gè)空隙,小球到這四個(gè)空隙處的線(xiàn)路數(shù)從左到右依次為:
1,1+2,2+1,1即為1,3,3,1,
第四層有四個(gè)小球,共有5個(gè)空隙,小球到這五個(gè)空隙處的線(xiàn)路數(shù)從左到右依次為:
1,1+3,3+3,3+1,1即為1,4,6,4,1,
第五層有五個(gè)小球,共有6個(gè)空隙,小球到這六個(gè)空隙處的線(xiàn)路數(shù)從左到右依次為:
1,1+4,4+6,6+4,4+1,1即為1,5,10,10,5,1,
第六層有六個(gè)小球,共有7個(gè)空隙,小球到這七個(gè)空隙處的線(xiàn)路數(shù)從左到右依次為:
1,1+5,5+10,10+10,10+5,5+1,1即為1,6,15,20,15,6,1,
故小球落入D區(qū)的路線(xiàn)數(shù)有20條.
故選:C.
9.【答案】B
【分析】根據(jù)直線(xiàn)Z8的斜率以及|4a=6求得P,從而求得拋物線(xiàn)的方程.
7T
【詳解】直線(xiàn)幺8的斜率為⑺,傾斜角為!,
過(guò)A作4/7_L/,垂足為,,連接
由于==所以三角形/〃/是等邊三角形,
所以/川=;|/用=3,
冗13
由于/人“8=—,所以F=一|”周=一,
622
所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為必=3x.
10.【答案】C
【分析】把平移到共起點(diǎn)以B的起點(diǎn)為原點(diǎn),B所在的直線(xiàn)為x軸,B的方向?yàn)閤軸的
第8頁(yè)/共19頁(yè)
正方向,求出癡的坐標(biāo),則根據(jù)伍-個(gè)伍-B)=o得"的終點(diǎn)得軌跡,根據(jù).的意義求
解最大值.
【詳解】把平移到共起點(diǎn),以B的起點(diǎn)為原點(diǎn),B所在的直線(xiàn)為x軸,B的方向?yàn)閤軸
的正方向,見(jiàn)下圖,設(shè)/=&3^=2,雙=入則"一2=%,工—否=就
又.?.4C_L8C則點(diǎn)c的軌跡為以Z8為直徑的圓,又因?yàn)?/p>
同=后,阿=1,(詞=?,所以8(1,0)4(11)故以AB為直徑的圓為
(x-l)2+^-1j=],所以忖的最大值就是以43為直徑的圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大
值,所以最大值為
第二部分(非選擇題共110分)
二、填空題共5小題,每小題5分,共25分.
11.【答案】%=2"
【分析】判斷數(shù)列為等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得答案.
【詳解】數(shù)列{4}中,%=2,%+「2a,=0(〃eN*)
則。,,H0,否則與%=2矛盾,
故誓=2,即數(shù)列{%}為首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,
所以%=2",
故答案為:an=T
12.【答案】①.v=±與②.8
2
【分析】求得a,6,由此求得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程,根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義求得忸6|
第9頁(yè)/共19頁(yè)
【詳解】依題意a=2,b=右,所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=土正x,
由于|尸凰=4=2%所以P在雙曲線(xiàn)的左支,所以|P閭=2°+|尸凰=8.
故答案為:V=+^-X!8
2
13.【答案】①.5②.(##60°
【分析】根據(jù)余弦定理可求b,再根據(jù)余弦定理看可求/C.
【詳解】由余弦定理可得64=b2+49-2xbx7x—=/—2b+49,
7
故—2b—15=0,故b=—3(舍)或6=5,
64+25-4917t
故cos/C;一>=上,而/C為三角形內(nèi)角,故NC='.
2x5x823
故答案為:5,.
3
14.【答案】5
【分析】求出直線(xiàn)丁=任+2所過(guò)的定點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)(0,2)在圓上或圓內(nèi)時(shí),直線(xiàn)丁=丘+2與
圓(x—l)2+/總有公共點(diǎn),列出不等式,即可求得答案.
【詳解】由題意知左eR,直線(xiàn)歹=代+2過(guò)定點(diǎn)(0,2),
當(dāng)點(diǎn)(0,2)在圓上或圓內(nèi)時(shí),直線(xiàn)y=去+2與圓(x-Ip+/=凡。>o總有公共點(diǎn),
即(0-1尸+2?<a,:.a>5,
即a的最小值為5,
故答案為:5
15.【答案】①②④
【分析】建立正四面體模型,數(shù)形結(jié)合分析.
【詳解】如圖所示
..?用一個(gè)平行于底面的平面截三棱錐,
第10頁(yè)/共19頁(yè)
且P-48C為正三棱錐,O是底面-8C的中心
.?.三棱錐。為正三棱錐,故①正確:
???正三棱錐P-ABC的六條棱長(zhǎng)均為。,。是底面“BC的中心,
三棱錐P一ABC的高為尸。,
的高為C。,且CD=Ba,OC=ZcD=^a,
233
???PO=\a1-=^-a,故②正確
\I3J3
,???4,4,G點(diǎn)不與頂點(diǎn)尸,/,6,c重合,
V6,
—a一h/r
4A=X£(0,4),設(shè)。一4耳。]的高為〃,則一二3,得,7=(a—X),
。。63
——a
3
2
/(x)=—8£=}“環(huán)/=~~x-sin1-y^(x-a)=尋%_x),
f'(x)=^-ax-^-x2=-^-x(2a-3x)>在(0,?)上/"(x)>0,(=,“)上/、'(x)<0,
641233
所以/(x)在(0,g)上遞增,(g,a)上遞減,故在(0,。)上有最大值,無(wú)最小值,故③錯(cuò)誤:
當(dāng)外=*時(shí),點(diǎn)4,4,G分別為線(xiàn)段PA,PB,PC的三等分點(diǎn),
P43
故④正確;
故答案為:①②④
三、解答題共6小題,共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,演算步驟或證明過(guò)程.
TT
16.【答案】(1)/(x)=2sin(2x一一);(2)[2,+a)).
6
、
JT/兀
【分析】(1)化簡(jiǎn)/(x)=2sin(2(yx-2),若選①,將點(diǎn)彳,2代入求得①=1,可得答
6133/
第11頁(yè)/共19頁(yè)
案;選②,根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變化規(guī)律可得&=1,可得答案;選②,由函數(shù)的最小
正周期可確定0=1,可得答案;
(2)由xe0,[確定學(xué)],從而求得/(X)的范圍,根據(jù)不等式恒成立即可
_2」666
確定實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
/(X)=6sin26yx-cos26yx=2sin(2&)x--^);
選①:函數(shù)/(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(三,2),則25淪(20乂(-*=2,
所以26yx二一二=—+2kn,keZ,則①=l+3k,keZ,
362
由0<。<2,可得。=1,則/(x)=2sin(2x-.;
選②:函數(shù)/(x)的圖象可由函數(shù)g(x)=2sin2x的圖象平移得到,
即/(x)=2sin(2ox-3)的圖象可由函數(shù)g(x)=2sin2x的圖象平移得到,
6
JT
則0=1,貝!l/(x)=2sin(2x——).
6
選③:函數(shù)/.(X)的圖象相鄰的兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為萬(wàn),
2兀
則函數(shù)的最小正周期為兀,故2@=—=2,.?.G=1,
71
故/(x)=2sin(2x--).
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)xw。,彳時(shí),2%一/w[-]乎],則sin(2x—四)w[—,1]?
.2」66662
故/(x)=2sin(2x—U)e[—1,2],
6
又當(dāng)xe0弓時(shí),關(guān)于x的不等式/(x)W7〃恒成立,故加22,
即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為[2,+8).
17.【答案】(1)—
第12頁(yè)/共19頁(yè)
(2)
X012
3
P
555
£(X)=1
(3)E(y)<£(x)
【分析】(1)直接計(jì)算事件發(fā)生概率:
(2)X可能取值為0,1,2,分別計(jì)算出概率,再列分布列,計(jì)算期望值;
(3y可能取值為0,1,2,分別計(jì)算出概率,計(jì)算期望值,再比較大小.
【小問(wèn)1詳解】
“不粘性”性能都是I級(jí)的品牌有5個(gè),
記事件A為兩個(gè)品牌的“不粘性”性能都是I級(jí),
C15
則P(4)=|
33
【小問(wèn)2詳解】
前六個(gè)品牌中性能都是I級(jí)的品牌有3個(gè),X可能取值為0,1,2,
p(x=o)=
5
3
P(X=1)=
5
2
p(X=2)=
5
.??X分布列為
X012
3£
P
555
【小問(wèn)3詳解】
后六個(gè)品牌性能都是I級(jí)的品有2個(gè),Y可能取值為0,1,2,
「22
產(chǎn)『。)=才子
第13頁(yè)/共19頁(yè)
pgb等4
p(y=2)爺q;
.?.y數(shù)學(xué)期望為
aQi2
£(r)=Ox-+lx—+2x—=
v7515153v7
18.【答案】(1)證明見(jiàn)解析;
⑶比
5
【分析】(1)先證明平面NBC,進(jìn)而證明//〃CG,從而根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定
理證明結(jié)論:
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)向量坐標(biāo),求出平面280的法向量,
根據(jù)空間向量的夾角公式即可求得直線(xiàn)4G與平面所成角的正弦值;
(3)結(jié)合(2)的結(jié)果,利用空間距離的向量求法,先求點(diǎn)4到平面N8G的距離,即可
求得直線(xiàn)44到平面Z8G的距離.
【小問(wèn)1詳解】
證明:由題意C/1平面C4u平面Z8C,故平面Z8C人平面
又側(cè)面Z844為矩形,故力/_LZ8,
而N/u平面Z844平面NBCc平面工844=46,
所以//工平面又C£J■平面N8C,
所以z/〃CG,而z/u平面CGa平面/844,
故CG〃平面Z844.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)镃平面/8耳4,Z8u平面故CA1AB,
而Z/1平面/BC,
故以/為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以的方向?yàn)閄軸,y軸,Z軸正方向,建立如圖所示
的空間直角坐標(biāo)系,
第14頁(yè)/共19頁(yè)
z
因?yàn)锳AX—AC-4,CC}=2,AB=3,
則力(0,0,0),8(3,0,0),C(0,4,0),C,(0,4,2),A}(0,0,4),
則AB=(3,0,0),AC{=(0,4,2),福=(0,4,-2)
n-AB=0
設(shè)平面/BQ的法向量為石=(x,y,z),貝i"_.,
n-AC}=0
3x=0_
即3+2Z=。'令、=L則〃=(0/,一2),
設(shè)直線(xiàn)4G與平面ABC,所成角為仇。€[0,學(xué),
l??八?/,/,\n,A.C,I84
則sin0=\cos〈〃,4G〉=一_L_L=-7=——產(chǎn)=—.
|〃114Gl275x755
【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)閭?cè)面ABBH為矩形,所以/蜴//AB,
而u平面Z8C,44Z平面Z8C,故同4〃平面ABC,
則直線(xiàn)44到平面ABC,的距離即為點(diǎn)4到平面ABC,的距離,
福=(0,4,-2),平面ABC,的法向量為3=(0,1,—2),
故點(diǎn)4到平面ABC}的距離為d=-~?=忑=飛一,
即直線(xiàn)44到平面ABC,的距離為竽.
19.【答案】(1)—+^=1,2vL
42
(2)存在,直線(xiàn)/:x=0.
【分析】(1)由題意橢圓過(guò)點(diǎn)(2,0)可得。=2,根據(jù)離心率求得c,繼而求得6,可得答案.
(2)假設(shè)存在直線(xiàn)/,使得是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形,討論直線(xiàn)斜率是否存在
第15頁(yè)/共19頁(yè)
的情況,存在時(shí)設(shè)出直線(xiàn)方程并聯(lián)立橢圓方程,可得根與系數(shù)的關(guān)系,設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)。,
根據(jù)題意可得左“BX的°=-1,化簡(jiǎn)計(jì)算,求得上的值,進(jìn)行判斷,可得結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
由題意知橢圓。:馬+,=l(a>6>0)過(guò)點(diǎn)(2,0),且離心率是
則。=2,且3=立~,:.c=6,S=a"-c2=2,
a2
故橢圓。的方程為:+券=1,短軸長(zhǎng)為2b=2后.
【小問(wèn)2詳解】
假設(shè)存在直線(xiàn)/,使得AP4B是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形,
由于直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)(0,3),當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí),直線(xiàn)/為x=0,
此時(shí)48為橢圓的短軸上的兩頂點(diǎn),此時(shí)JAB是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形;
當(dāng)直線(xiàn)/斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)方程為丁=任+3,
y=Ax+3
聯(lián)立\x2v2,得(2左2+1)x2+12履+14=0,
—+—=1
142
當(dāng)直線(xiàn)歹=丘+3與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)46時(shí),
7
該方程八=(12左)2—4x14(2左2+1)>0,整理得上2>—,
4
設(shè)ZU,凹),8(々,%),
,12k14
則rlX.+x=---;——,X,X,=―;——,
1-22k2+\-2爐+1
所以凹+外=(履1+3)+(fcc2+3)-k(xx+x2)+6=--
設(shè)Z5的中點(diǎn)為點(diǎn)。,則。(當(dāng)生■,無(wú)及),
6k3
即D(-2公+1'2公+1)則PDLAB,
當(dāng)——3—=1時(shí),尸。斜率不存在,
2k2+\
76k
此時(shí)48的斜率4為0,不滿(mǎn)足《2>,,故--.-#1,
42k2+\
第16頁(yè)/共19頁(yè)
3
由題意可知=—1,即左X—2.+1—=-1,
----0-----1
2公+1
1,71
解得左=—1或4=一一,由于左2>一,故左=—1或左=一一不適合題意,
242
綜合以上,存在直線(xiàn)/:x=0,使得APZB是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解決直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系中是否存在的問(wèn)題時(shí).,一般是先假設(shè)存在,
然后設(shè)直線(xiàn)方程,聯(lián)立橢圓方程,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)求值,解答的關(guān)鍵點(diǎn)是要能根據(jù)
題設(shè)即AP/3是以點(diǎn)尸為頂點(diǎn)的等腰三角形,設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)。,得到e8x%/1o=-l,
然后結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)求值,即可解決問(wèn)題.
20.【答案】(1)y=(e-l)x+l
(2)答案詳見(jiàn)解析(3)證明詳見(jiàn)解析
【分析】(1)利用切點(diǎn)和斜率求得切線(xiàn)方程.
(2)求得/'(x),對(duì)掰分類(lèi)討論,由此來(lái)求得/(x)的單調(diào)區(qū)間.
(3)結(jié)合(2)求得/(x)在區(qū)間(0,+8)上的最小值,由此證得結(jié)論成立.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)加=0時(shí),/(x)=e*-xJ'(x)=ex-1,
/(O)=lJ〈l)=e-l,
所以切線(xiàn)方程為y-1=(e—l)x,j/=(e-l)x+l.
【小問(wèn)2詳解】
依題意,f(x)=ex+me~-Xx+(/n-l)x,m<0,
rv
m/(e-l)(e+/?)
/r(x)=eA-me-x+(7w-l)=eA
——?+(加—)ev
當(dāng)加=0時(shí),/"(x)=e"-1=。,解得x=0,
則/(X)在區(qū)間(一8,0)J'(x)<0J(x)遞減;在區(qū)間(0,+8)J'(x)〉0J(x)遞增.
當(dāng)"?<0時(shí),/"(x)=0解得x=ln(-〃?)或x=0,
當(dāng)一1<加<0時(shí),/(x)在區(qū)間(-0。,皿一〃。),(0,+00),/'(%)>0,/(%)遞增;
在區(qū)間(ln(-〃?),0),/'(x)<0J(x)遞減.
當(dāng)加=-1時(shí),/'(x)N0J(x)在R上遞增.
第17頁(yè)/共19頁(yè)
當(dāng)〃?<-1時(shí),/(X)在區(qū)間(T?,O),(ln(-優(yōu)),+oo),
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