多項式函數(shù)庫學習課件

一、多項式表示及其四則運算1.MATLAB的多項式表示在MATLAB中，對多項式用其系數(shù)的行向量來表示。其中，該向量的元素按冪指數(shù)降序排列，變量x的冪次已隱含在系數(shù)元素的排序中。注意：如果x的某次冪的系數(shù)為零，這個零必須列入系數(shù)向量中。例如一個一元三次多項式：可表示成行向量：2.多項式的加減運算

MATLAB規(guī)定，只有長度相同的向量才能相加。因此如果兩個多項式向量大小相同，則可利用標準的數(shù)組加減法來進行多項式的加減運算。例：把多項式與多項式相加。a=[1,2,3,4];b=[1,4,9,16];d=a+b結(jié)果：d=261220注意：若兩多項式系數(shù)向量長度不等，必須在短的向量中補以若干個零元素，才能進行加減。3.多項式相乘多項式相乘就是兩個多項式系數(shù)向量的卷積，利用函數(shù)conv來實現(xiàn)。格式：

w=conv(a,b)功能：返回a、b兩向量的卷積，也就是a、b代表的兩個多項式的乘積。例：a=[1234];b=[14916];w=conv(a,b)w=

1620507584644.多項式相除函數(shù)[q,r]=deconv(u,v)用于對多項式u和v作除法運算。其中q返回多項式u除以v的商式，r返回u除以P2的余式。這里，q和r仍是多項式系數(shù)向量。deconv是conv的逆函數(shù)，即有

u=conv(v,q)+r

例：a=[1234];b=[14916];w=conv(a,b)[q,r]=deconv(w,b)如令除數(shù)a1=a+1,則：b1=b+1;[q1,r1]=deconv(w,b1)可以用商式與除式相乘，再加上余式的方法來檢驗：w1=conv(q1,b1)+r1二、多項式求導、求根和求值

1.多項式求導函數(shù)對多項式求導數(shù)的函數(shù)是：p=polyder(P)：求多項式P的導數(shù)p=polyder(P,Q)：求P與Q乘積的導數(shù)[p,q]=polyder(P,Q)：求商P/Q的導數(shù)，導函數(shù)的分子存入p，分母存入q。上述函數(shù)中，參數(shù)P,Q是多項式的向量表示，結(jié)果p,q也是多項式的向量表示。例：a=[1234];b=[14916];k1=polyder(a)k2=polyder(a,b)[p,q]=polyder(a,b)2.多項式的根求解多項式的根，即a(x)=0的解。MATLAB中求解多項式的根由roots函數(shù)命令來完成。格式：r=roots(p)返回多項式a(x)的根注意：MATLAB按慣例規(guī)定，多項式是行向量，根是列向量。例：求多項式x4+8x3-10的根。命令如下：A=[1,8,0,0,-10];x=roots(A)若已知多項式的全部根，則可以用poly函數(shù)建立起該多項式，其調(diào)用格式為：P=poly(x)若x為具有n個元素的向量，則poly(x)建立以x為其根的多項式，且將該多項式的系數(shù)賦給向量P。例：已知f(x)(1)計算f(x)=0的全部根。(2)由方程f(x)=0的根構(gòu)造一個多項式g(x)，并與f(x)進行對比。命令如下：P=[3,0,4,-5,-7.2,5];X=roots(P)%求方程f(x)=0的根G=poly(X)%求多項式g(x)3.多項式求值函數(shù)利用函數(shù)polyval可以求得多項式在某一點的值?；菊{(diào)用格式為：

y=polyval(p,x)功能：返回多項式p在x處的值。其中x可以是復數(shù)，也可以是數(shù)組。例：設(shè)a1=[2,4,6,8]為系統(tǒng)分母系數(shù)向量，b1=[3,6,9]為系統(tǒng)分子系數(shù)向量，求此系統(tǒng)的頻率響應并畫出頻率特性。程序：a1=[2,4,6,8];b1=[3,6,9];w=linspace(0,10);A=polyval(a1,j*w);B=polyval(b1,j*w);subplot(2,1,1);plot(w,abs(B./A));subplot(2,1,2);plot(w,angle(B./A));當多項式的變量是矩陣時，構(gòu)成的矩陣多項式可以利用polyvalm函數(shù)求值。格式為：Y=polyvalm(p,X)X為方陣功能：返回矩陣多項式p在X處的值。例：p=[1,0,-2,-5];X=[2,4,5;-1,0,3;7,1,5];Y=polyvalm(p,X)結(jié)果：Y=377179439111811364902536394.部分分式展開函數(shù)在許多應用中，會出現(xiàn)有理多項式之比的形式如b(s)/a(s)，在b(s)和a(s)沒有重根的情況下，有理多項式b(s)/a(s)可以進行部分分式展開。

MATLAB提供了residue函數(shù)來完成有理多項式的部分分式展開，它是一個對系統(tǒng)傳遞函數(shù)特別有用的函數(shù)。residue函數(shù)調(diào)用格式格式一：[r,p,k]=residue(b,a)功能：把b(s)/a(s)展開成當分母多項式的階次高于分子多項式的階次時，ks=0。例：將有理多項式展開成部分分式。在命令窗口中可作如下操作：num=[10,20];den=[1,8,19,12];[res,poles,k]=residue(num,den)格式二：[b,a]=residue(r,p,k)如：[b,a]=residue(res,poles,k)結(jié)果：b=-0.000010.000020.0000a=1.00008.000019.000012.0000三、多項式擬合在線性代數(shù)中，對于數(shù)據(jù)的擬合，方法很多，多項式擬合則是其中之一。在MATLAB系統(tǒng)中提供一條專用多項式擬合函數(shù)polyfit，用戶只需輸入相應的數(shù)據(jù)和參數(shù)就可以構(gòu)造出一條最光滑的曲線。格式：p=polyfit(x,y,n)功能：利用已知的數(shù)據(jù)向量x和y所確定的數(shù)據(jù)點，采用最小二乘法構(gòu)造出n階多項式去逼近已知的離散數(shù)據(jù)，實現(xiàn)多項式曲線的擬合．其中p是求出的多項式系數(shù)，n階多項式應該有n+1個系數(shù)，故p的長度為n+1。例：設(shè)原始數(shù)據(jù)為x，在11個點上測得的y值如下：x=[-2.0,-1.6,-1.2,-0.8,-0.4,0,0.4,0.8,1.2,1.6,2.0];y=[2.8,2.96,2.54,3.44,3.56,5.4,6.0,8.4,9.5,13.3,15];若采用2階多項式擬合，則可執(zhí)行命令：p1=polyfit(x,y,2)%采用2階多項式擬合p1=1.03033.08184.9788故所擬合的多項式為：

1.0303x2+3.0818x+4.9788為了比較,把原始數(shù)據(jù)和擬合得到的曲線畫出來:x1=linspace(-2,2,100);y1=polyval(p1,x1);plot(x,y,'o',x1,y1,'r');legend('原始數(shù)據(jù)','2階多項式')注意:1.擬合的多項式的階數(shù)可以任意選取,但最大擬合階次應為原始數(shù)據(jù)長度減1。2.如果選擇擬合的多項式的階次不同,就會得到不同的擬合結(jié)果。對于給定11點的最大擬合階次為10