觀察物質(zhì)的流體的運(yùn)動(dòng)

觀察物質(zhì)的流體的運(yùn)動(dòng)3.1.1拉格朗日法拉格朗日法將流動(dòng)的流體視為質(zhì)點(diǎn)的集合，通過“跟隨”每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)并觀察其在不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)變化來了解整個(gè)流動(dòng)的情況。

流體參數(shù)的表示拉格朗日法采用隨體坐標(biāo)a,b,ct作為獨(dú)立自變量來區(qū)別并確定不同的流體質(zhì)點(diǎn)及其參數(shù)，即將流體任一參數(shù)B表示為B=B(a,b,c,t)a,b,c為拉各朗日變量，即隨體坐標(biāo)系的坐標(biāo)。

對(duì)于流體的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，就有R=R(a,b,c,t)，u=dR/dt，du/dt=d2R/dt23.1流體運(yùn)動(dòng)描述方法拉格朗日法圖3-1跡線示意圖3.1流體運(yùn)動(dòng)描述方法

跡線即軌跡線，是某一流體質(zhì)點(diǎn)在一個(gè)時(shí)間序列占據(jù)空間位置的連線，如圖3-1所示的s線。跡線直觀地反映質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)歷的空間位置和路程。

跡線方程是描述跡線上流體質(zhì)點(diǎn)位置與時(shí)間關(guān)系的式子，例如質(zhì)點(diǎn)位置的矢矩式：R=R(a,b,c,t)

若給出質(zhì)點(diǎn)的速度(實(shí)際中質(zhì)點(diǎn)的速度有時(shí)比位置更易測(cè)量)，則容易根據(jù)跡線定義得到跡線微分方程。在直角坐標(biāo)系，跡線微分方程為注意拉各朗日變量對(duì)于選定的流體質(zhì)點(diǎn)為不變量，因此因變量的時(shí)間變化率只對(duì)時(shí)間t進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)。3.1流體運(yùn)動(dòng)描述方法3.1.2歐拉法

歐拉法通過研究流體參數(shù)在不同時(shí)刻、在流體運(yùn)動(dòng)空間所有點(diǎn)的變化來得到整個(gè)流動(dòng)的情況。連續(xù)介質(zhì)的流動(dòng)一般用歐拉法描述。

場(chǎng)在物理學(xué)中是指量的空間分布，其狀態(tài)由場(chǎng)參數(shù)(空間位置上質(zhì)點(diǎn)的宏觀參數(shù))來確定。流體流動(dòng)的空間稱為流場(chǎng)，其狀態(tài)參數(shù)包括壓強(qiáng)、密度、溫度、速度。

流體參數(shù)的表示

歐拉法采用空間坐標(biāo)x1,x2,x3和時(shí)間t作為獨(dú)立自變量來確定流場(chǎng)參數(shù)，即將流場(chǎng)的任一參數(shù)B表示為B=B(x1,x2,x3,t)3.1流體運(yùn)動(dòng)描述方法在直角坐標(biāo)系，流速和壓強(qiáng)的歐拉法表示為u=u(x,y,z,t)，p=p(x,y,z,t)

流線是流場(chǎng)中這樣的曲線：在任意時(shí)刻，曲線上任何一點(diǎn)的切線方向都與占據(jù)該點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的速度方向相同，如圖3-2所示的s線。歐拉法3.1流體運(yùn)動(dòng)描述方法圖3-2流線示意圖

流線的幾點(diǎn)性質(zhì)：

1)定常流動(dòng)的流線不變化，且與跡線重合。

2)除在個(gè)別點(diǎn)外，流線即不相交也不轉(zhuǎn)折。

3)流線相交的點(diǎn)，流速必定為零(稱為駐點(diǎn))或無窮大(稱為奇點(diǎn))。

流線微分方程根據(jù)流線的定義，在直角坐標(biāo)系，有歐拉法3.1流體運(yùn)動(dòng)描述方法整合以上三式，即得流線的微分方程為3.1.3拉各朗日描述和歐拉描述的變換

設(shè)流體流動(dòng)的某參數(shù)用拉各朗日法和歐拉法可分別表示為B=B(a,b,c,t)和B=B(x,y,z,t)，因該參數(shù)不應(yīng)隨描述方法的不同而相異，而有

B(a,b,c,t)=B(x,y,z,t)

3.1流體運(yùn)動(dòng)描述方法3.1.3拉各朗日描述和歐拉描述的變換拉各朗日描述變換為歐拉描述設(shè)流體流動(dòng)的某參數(shù)在時(shí)刻t的拉各朗日描述為B=B(a,b,c,t)，且隨體坐標(biāo)為(a,b,c)的流體質(zhì)點(diǎn)因運(yùn)動(dòng)恰好與空間坐標(biāo)點(diǎn)(x,y,z)重合；則顯然有x=x(a,b,c,t)，y=y(a,b,c,t)，z=z(a,b,c,t)對(duì)以上三式聯(lián)立求反解，設(shè)解得a=a(x,y,z,t)，b=b(x,y,z,t)，c=c(x,y,z,t)又設(shè)在所有時(shí)刻整個(gè)流場(chǎng)都存在上述一一對(duì)應(yīng)變換關(guān)系，則將此變換代入流體參數(shù)B的拉各朗日表述就得相應(yīng)的歐拉表述。3.1流體運(yùn)動(dòng)描述方法3.1.3拉各朗日描述和歐拉描述的變換歐拉描述變換為拉各朗日描述設(shè)流體流動(dòng)的某參數(shù)B及流速u在時(shí)刻t的歐拉法描述分別為B=B(x,y,z,t)，u=u(x,y,z,t)然后對(duì)dxi/dt=ui(x,y,z,t)積分求解，設(shè)解得x=x(c1,t)，y=y(c2,t)，z=z(c3,t)應(yīng)用初始條件t=t0：R0=R(x0,y0,z0)=(a,b,c)確定出上面三式中積分常數(shù)，即c1=c1(a,b,c)，c2=c2(a,b,c)，c3=c3(a,b,c)進(jìn)而得流體質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)：x=x(a,b,c,t)，y=y(a,b,c,t)，z=z(a,b,c,t)

最后將以上三式代入流體參數(shù)B的歐拉表述就得相應(yīng)的拉各朗日表述。3.1流體運(yùn)動(dòng)描述方法質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)表示跟隨流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)所觀測(cè)到的流體參數(shù)的時(shí)間變化率。

設(shè)流體流動(dòng)某參數(shù)的拉各朗日描述和歐拉描述分別為B=B(a,b,c,t)和B=B(x1,x2,x3,t)，則對(duì)應(yīng)于拉各朗日描述，B的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為3.1流體運(yùn)動(dòng)描述方法對(duì)應(yīng)于歐拉描述，B的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)則為3.1流體運(yùn)動(dòng)描述方法

加速度

在直角坐標(biāo)系，加速度的歐拉法表述為將上式展開為三個(gè)分量式，就是3.1.4系統(tǒng)和控制體反映流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基本方程，其最初形式都是針對(duì)質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系建立的，這些拉格朗日型的基本方程有時(shí)難以直接應(yīng)用于解決流體流動(dòng)問題。因此在流體力學(xué)中經(jīng)常是應(yīng)用拉格朗日的觀點(diǎn)而采用歐拉的方法。引入系統(tǒng)和控制體概念，二者之間就可以方便地進(jìn)行變換。

系統(tǒng)是指流體質(zhì)點(diǎn)始終保持不變的部分或全部流場(chǎng)。系統(tǒng)以外的全部稱為外界，系統(tǒng)與外界之間的封閉界面稱為系統(tǒng)的邊界。系統(tǒng)的邊界一般隨流體的流動(dòng)而變化，系統(tǒng)的體積和形狀也隨之改變，但系統(tǒng)所包含的流體質(zhì)點(diǎn)始終不變。3.1流體運(yùn)動(dòng)描述方法

控制體是指流場(chǎng)中相對(duì)于選定的坐標(biāo)系固定并且體積保持不變的一個(gè)區(qū)域空間?？刂企w的封閉周界稱為控制面，控制面將流場(chǎng)分為控制體及其周圍流場(chǎng)。流體質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間不斷地通過控制面流入和流出控制體。系統(tǒng)的邊界上和控制體的控制面上一般都與外界和周圍流場(chǎng)進(jìn)行能量和動(dòng)量交換，同時(shí)發(fā)生表面力作用。在流體力學(xué)分析中，拉各朗日描述采用的是質(zhì)點(diǎn)系方法，歐拉描述采用的則是場(chǎng)的方法；它們的研究對(duì)象分別是系統(tǒng)和控制體。3.1流體運(yùn)動(dòng)描述方法第3章流體的運(yùn)動(dòng)

3.1流體運(yùn)動(dòng)描述方法

3.2流體微元運(yùn)動(dòng)分析

3.2.1速度分解公式

3.2.2速度分解公式中各項(xiàng)的物理意義

3.3流體運(yùn)動(dòng)的邊界條件和物理約束

3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式3.2流體微元運(yùn)動(dòng)分析3.2.1速度分解公式如圖3-3所示。設(shè)在時(shí)刻t，流體質(zhì)點(diǎn)在毗鄰位置M(x,y,z)和M'(x+dx,y+dy,z+dz)的速度為圖3-3流體微元速度分解3.2流體微元運(yùn)動(dòng)分析對(duì)ux'在點(diǎn)M(x,y,z)相對(duì)ux進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，有依次對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)記各有關(guān)項(xiàng)，則上式成為將它改寫成同理平移速度3.2流體微元運(yùn)動(dòng)分析以上即為速度分解公式的三個(gè)分式，將其寫成矢量形式，就是式中u為流速；R為矢徑；w為瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)角速度；d為應(yīng)變率張量(線變形和角變形)；在直角坐標(biāo)系它們的表示為

速度分解公式3.2流體微元運(yùn)動(dòng)分析3.2.2速度分解公式中各項(xiàng)的物理意義

線應(yīng)變率

如圖3-4所示,在時(shí)刻t，xOy平面上長(zhǎng)方體流體微元頂點(diǎn)A、B的速度分別為經(jīng)dt時(shí)間后，dx增長(zhǎng)了(?ux/?x)dxdt，其單位長(zhǎng)度單位時(shí)間的增長(zhǎng)即x方向的線應(yīng)變率為?ux/?x。

同理?uy/?y、?uz/?z為y、z方向的線應(yīng)變率。流體微元在x,y,z三個(gè)方向的線應(yīng)變率之和就反映該微元的體積變化率，對(duì)應(yīng)于物理學(xué)場(chǎng)論中速度的散度，記為divu或?u。3.2流體微元運(yùn)動(dòng)分析圖3-4流體微元的線應(yīng)變速度的散度的數(shù)學(xué)定義式為顯然，不可壓流體的體積不變，即div

u=?u≡0。3.2流體微元運(yùn)動(dòng)分析

切應(yīng)變率

如圖3-5所示,在時(shí)刻t，xOy平面上長(zhǎng)方體流體微元頂點(diǎn)A、B的速度分別為經(jīng)dt時(shí)間后，以A點(diǎn)為頂?shù)脑苯且蛑苯沁叺那邢蜻\(yùn)動(dòng)而變化了dg=dg1+dg2,其中所以3.2流體微元運(yùn)動(dòng)分析可見gxy為流體微元在xOy平面上角變形率的一半，稱為切應(yīng)變率。同理可類推gyz和gzx，即圖3-5流體微元的切應(yīng)變速度公式中各項(xiàng)的意義3.2流體微元運(yùn)動(dòng)分析

旋轉(zhuǎn)角速度

wx，wy，wz

如圖3-6所示，平面流體微元在t時(shí)刻產(chǎn)生切應(yīng)變的同時(shí)，一般地也發(fā)生旋轉(zhuǎn)，即其對(duì)角線AB經(jīng)dt時(shí)間后轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)小角度dq，顯然對(duì)角線AB的旋轉(zhuǎn)角速度為上式表示流體微元轉(zhuǎn)動(dòng)的平均角速度在z方向的分量。同理可類推平均角速度在x和y方向的分量，即

rotu=×u=2w稱為速度的旋度；w

≡0的流體運(yùn)動(dòng)稱為無旋流動(dòng)。速度公式中各項(xiàng)的意義3.2流體微元運(yùn)動(dòng)分析由以上討論可見，流體微元速度分解公式(矢量式)右端的第一項(xiàng)為平移運(yùn)動(dòng)；第二項(xiàng)為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；第三項(xiàng)為變形運(yùn)動(dòng)，其中又包括線變形運(yùn)動(dòng)和角變形運(yùn)動(dòng)。這一結(jié)果稱為流體微元運(yùn)動(dòng)的亥姆霍茲速度分解定理。速度公式中各項(xiàng)的意義圖3-6流體微元的旋轉(zhuǎn)P38例3-4第3章流體的運(yùn)動(dòng)

3.1流體運(yùn)動(dòng)描述方法

3.2流體微元運(yùn)動(dòng)分析

3.3流體運(yùn)動(dòng)的邊界條件和物理約束

3.3.1邊界條件

3.3.2物理約束——連續(xù)方程

3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式3.3流體運(yùn)動(dòng)的邊界條件和物理約束

流體的運(yùn)動(dòng)雖然復(fù)雜多變，但也不是完全“無拘無束”，還是要受到一定的空間限制和物理制約，即滿足一定的邊界條件和物理約束。3.3流體運(yùn)動(dòng)的邊界條件和物理約束3.3.1邊界條件

物面條件

粘性流體在運(yùn)動(dòng)過程中，與物體表面直接接觸的流體質(zhì)點(diǎn)要粘附在物面上，并具有與物面相同的運(yùn)動(dòng)速度，此為無滑動(dòng)條件。理想流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，與物體表面直接接觸的流體質(zhì)點(diǎn)可以沿著物面滑動(dòng)，但不能脫離物面，此為無脫離條件。

自由表面條件忽略粘性影響時(shí)，該條件簡(jiǎn)化為自由面上的流體質(zhì)點(diǎn)永遠(yuǎn)在自由面上運(yùn)動(dòng)。3.3流體運(yùn)動(dòng)的邊界條件和物理約束3.3.2物理約束——連續(xù)方程

由連續(xù)介質(zhì)模型和質(zhì)量守恒定律可推知，對(duì)于流場(chǎng)中控制體，在一段時(shí)間內(nèi)通過封閉控制面流入與流出的流體質(zhì)量之差應(yīng)等于控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增加，該結(jié)果用數(shù)學(xué)式表達(dá)就是連續(xù)性方程，簡(jiǎn)稱連續(xù)方程。

3.3流體運(yùn)動(dòng)的邊界條件和物理約束3.3.2物理約束——連續(xù)方程積分方程

于時(shí)刻t，在流場(chǎng)中取體積為V、封閉面面積為S的控制體，并將控制體中的流體取為系統(tǒng)，如圖3-7中實(shí)線所示；經(jīng)過一微小時(shí)間dt，系統(tǒng)移動(dòng)到圖3-7中虛線所示的新位置。t時(shí)刻和t+dt時(shí)刻的系統(tǒng)邊界面將dt時(shí)間內(nèi)與系統(tǒng)有關(guān)的流場(chǎng)分為：t時(shí)刻部分I和III以及t+dt時(shí)刻部分II和III。系統(tǒng)的質(zhì)量在時(shí)刻t、時(shí)刻t+dt分別為3.3流體運(yùn)動(dòng)的邊界條件和物理約束mI(t)+mIII(t)

和

mII(t+dt)+mIII(t+dt)由于系統(tǒng)的質(zhì)量不隨時(shí)間變化，即mI(t)+mIII(t)

=

mII(t+dt)+mIII(t+dt)連續(xù)方程

當(dāng)dt→0時(shí)，VIII→V；上式左端為控制體的質(zhì)量對(duì)時(shí)間的偏微分，右端為流體通量在封閉控制面的積分。其中所以3.3流體運(yùn)動(dòng)的邊界條件和物理約束對(duì)于定常流動(dòng)，上式因第一項(xiàng)為零而簡(jiǎn)化為圖3-7流體流入和流出控制體連續(xù)方程由此得積分形式的連續(xù)方程為3.3流體運(yùn)動(dòng)的邊界條件和物理約束

定常一維流動(dòng)連續(xù)方程

對(duì)照?qǐng)D3-8，有連續(xù)方程易得定常一維流動(dòng)積分和微分形式的連續(xù)方程：r1u1A1=r2u2A2

或r

u

A=const.dr/r+du/u+dA/A=0圖3-8一維定常流動(dòng)3.3流體運(yùn)動(dòng)的邊界條件和物理約束

微分方程對(duì)積分形式連續(xù)方程的第二項(xiàng)應(yīng)用矢量積分高斯公式，有令控制體的體積趨于零，即V→dV→0，就得微分形式的連續(xù)方程：將矢量形式的上式在直角坐標(biāo)系展開，就是或連續(xù)方程第3章流體的運(yùn)動(dòng)

3.1流體運(yùn)動(dòng)描述方法

3.2流體微元運(yùn)動(dòng)分析

3.3流體運(yùn)動(dòng)的邊界條件和物理約束

3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式

3.4.1流體運(yùn)動(dòng)分類

3.4.2平面勢(shì)流

3.4.3平面勢(shì)流的非直接解法3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式

流體運(yùn)動(dòng)的形式復(fù)雜而多樣化，對(duì)于不同的流動(dòng)，采用的分析方法往往也不同。3.4.1流體運(yùn)動(dòng)分類

內(nèi)部流動(dòng)是指有限邊界內(nèi)的流體運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱內(nèi)流。內(nèi)流的主要總效量包括流量和流動(dòng)損失。

流量是指單位時(shí)間內(nèi)通過某個(gè)過流面的流體的量，分為體積流量qV和質(zhì)量流量qm。非均勻流場(chǎng)中流體通過某個(gè)曲面S的流量的數(shù)學(xué)式為3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式對(duì)于液體流動(dòng)，流量比流速更易測(cè)量而常用流量和通流面積來計(jì)算平均流速v，其定義式為圖3-9流過曲面的流量實(shí)際流體運(yùn)動(dòng)因受粘性阻力而產(chǎn)生能量損失，若不補(bǔ)充能量則流體壓強(qiáng)將沿流程逐漸下降，即為了維持穩(wěn)定的流動(dòng)需要不斷地補(bǔ)充能量。3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式外部流動(dòng)是指無限邊界內(nèi)的流體運(yùn)動(dòng)。外流涉及的主要總效量包括升力(浮力)和阻力。

物體在流體中作水平方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到的垂直于運(yùn)動(dòng)速度且垂直向上的力稱為升力或浮力，受到的與運(yùn)動(dòng)方向相反的力稱為阻力。圖10飛機(jī)水平飛行時(shí)的受力3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式

可壓縮流動(dòng)是指密度隨時(shí)間和/或位置發(fā)生變化的流體運(yùn)動(dòng)。典型地如超聲速飛機(jī)在飛行過程中所引起的空氣流動(dòng)。圖10飛機(jī)水平飛行時(shí)的受力不可壓(縮)流動(dòng)是指密度既不隨時(shí)間也不隨位置發(fā)生變化的流體運(yùn)動(dòng)。通常條件下的液體流動(dòng)以及氣體的低速流動(dòng)都可視為不可壓流動(dòng)。3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式無粘流動(dòng)即理想流體的流動(dòng)。無粘流動(dòng)的理論已相當(dāng)完善，但無粘流動(dòng)的理論解往往不符合試驗(yàn)結(jié)果和真實(shí)流動(dòng)。

粘性流動(dòng)即實(shí)際流體的流動(dòng)。在工程上，對(duì)于小粘度實(shí)際流體的流動(dòng)問題往往采用粘性邊界層＋無粘流動(dòng)的求解方法；對(duì)于大粘度實(shí)際流體的流動(dòng)則往往要將整個(gè)流動(dòng)空間視為粘性流場(chǎng)。

3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式

定常流動(dòng)是指流場(chǎng)參數(shù)不隨時(shí)間變化的流動(dòng)，如大液體容器的小孔出流。非定常流動(dòng)即流場(chǎng)參數(shù)隨時(shí)間變化的流動(dòng)，例如小液體容器的小孔出流。定?；蚍嵌ǔＡ鲃?dòng)之分有時(shí)取決于坐標(biāo)系的選擇。例如，在靜止水域作勻速直線運(yùn)動(dòng)的船只上的觀察者看到的繞船水流為定常流動(dòng)，而岸上的觀察者看到的水流則是非定常的。由于定常流動(dòng)比非定常流動(dòng)容易求解，因此在研究飛機(jī)在空氣運(yùn)動(dòng)中的運(yùn)動(dòng)或流體機(jī)械中的流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往選取隨飛機(jī)或流體機(jī)械一起運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系，這樣流體流動(dòng)在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中就是定常流動(dòng)了。

3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式無旋流動(dòng)是指流場(chǎng)中任何一點(diǎn)處流體的瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)角速度w都為零的流動(dòng)。

有旋流動(dòng)即流場(chǎng)中流體的瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)角速度w不處處為零的流動(dòng)。

有旋流動(dòng)涉及兩個(gè)與流速有關(guān)的量，即渦量W和環(huán)量G，二者的數(shù)學(xué)定義式分別為即渦量是速度的旋度，大小就等于瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)角速度的2倍；環(huán)量是流速沿流場(chǎng)中任意封閉曲線L的線積分。

3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式空氣動(dòng)力學(xué)指出，物體在空氣中低速運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的升力與空氣密度，物體的形狀和運(yùn)動(dòng)速度，以及流速繞物體的環(huán)量等參數(shù)有關(guān)。

其他形式的流動(dòng)包括亞聲速流動(dòng)或超聲速流動(dòng)；單相流動(dòng)(液態(tài)或氣態(tài)的單一流體或完全混合的流體的流動(dòng)，如水或空氣的運(yùn)動(dòng))或多相(同一流體多物態(tài)或多物態(tài)混合流體)流動(dòng)。3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式3.4.2平面勢(shì)流

平面勢(shì)流無粘、不可壓流體的無旋運(yùn)動(dòng)稱為勢(shì)流，平面勢(shì)流即二維勢(shì)流是其中最簡(jiǎn)單的一類。勢(shì)流是一種理想化模型，一般應(yīng)用于外部流動(dòng)。勢(shì)流分析可為一些實(shí)際流動(dòng)提供參照結(jié)果，為更為復(fù)雜的實(shí)際流動(dòng)提供深入分析的基礎(chǔ)。

3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式3.4.2平面勢(shì)流速度勢(shì)函數(shù)

對(duì)于無粘、不可壓流體的無旋流動(dòng)，在流場(chǎng)任意一點(diǎn)都有u=0。數(shù)學(xué)分析指出，這樣的流場(chǎng)必定存在某個(gè)連續(xù)函數(shù)使得u=，函數(shù)就稱為速度勢(shì)函數(shù)，簡(jiǎn)稱速度勢(shì)。在直角坐標(biāo)系將上面的-u關(guān)系代入不可壓流動(dòng)的連續(xù)方程：?u=0，就得?u==0；即勢(shì)流的速度勢(shì)函數(shù)滿足拉普拉斯方程。3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式拉普拉斯方程在數(shù)學(xué)上已有成熟解法，只要給定邊界條件就能求解。由于拉普拉斯方程是線性微分方程，因此還可以采用疊加若干已知的簡(jiǎn)單速度勢(shì)獲得更復(fù)雜的速度勢(shì)的求解方法。在下一章將看到，對(duì)于不可壓流體或正壓流體的無旋流動(dòng)，其壓力場(chǎng)和速度場(chǎng)是非耦合的。這意味著二者可分開求解，相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)問題可簡(jiǎn)化為純運(yùn)動(dòng)學(xué)問題：即先求得滿足邊界條件的速度勢(shì)，再由速度勢(shì)求流速，最后根據(jù)流速與壓強(qiáng)的動(dòng)力學(xué)關(guān)系求壓強(qiáng)。平面勢(shì)流3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式

流函數(shù)y對(duì)于平面勢(shì)流或更一般的二維不可壓流動(dòng)，還可以引入流函數(shù)y進(jìn)行分析。在直角坐標(biāo)系，流函數(shù)的定義為

容易證明，流函數(shù)自動(dòng)滿足二維不可壓縮流動(dòng)的連續(xù)方程。

平面勢(shì)流3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式流函數(shù)的性質(zhì)

1)流函數(shù)的等值線為流線

在時(shí)刻t，有沿流函數(shù)等值線，有y

=const.、dy=0，上式成為dx/ux=dy/uy，即二維流動(dòng)的流線微分方程。平面勢(shì)流3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式速度勢(shì)函數(shù)的等值線稱為等勢(shì)線。在時(shí)刻t沿等勢(shì)線，有=const.、d=0，上式成為表示等勢(shì)線與流線互相垂直，即在平面勢(shì)流流場(chǎng)中任意一點(diǎn)，等勢(shì)線和流線彼此垂直。

平面勢(shì)流3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式2)兩流函數(shù)值之差為對(duì)應(yīng)兩流線間的流量

設(shè)AB為流場(chǎng)中任一非流線的曲線，在AB上取微元ds=idx+jdy，單位法矢為n=(idy-jdx)/ds，如圖3-11所示；則流過該微元的體積流量為平面勢(shì)流圖3-11通過二維曲線的流量3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式對(duì)上式積分就是流過曲線AB的流量，即因AB不是流線，必有不同的兩條流線分別經(jīng)過AB兩點(diǎn)。上式表明過AB兩點(diǎn)的兩流線間的流量就是AB兩點(diǎn)流函數(shù)的值差。平面勢(shì)流3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式3）流函數(shù)調(diào)和量的負(fù)值等于渦量Ω的模在直角坐標(biāo)系，二維流動(dòng)的渦量W為上式稱為y–W方程，表示流函數(shù)調(diào)和量2y的負(fù)值就等于渦量W的模，即在無旋條件下，y-W方程簡(jiǎn)化為拉普拉斯方程:以上對(duì)流函數(shù)及其性質(zhì)的討論適用于任何二維不可壓流動(dòng)。平面勢(shì)流3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式

幾種簡(jiǎn)單的平面勢(shì)流

1)勻直流

指流速處處相等且方向相同的流動(dòng)，如圖3-12所示。若將流速方向取為x坐標(biāo)軸，則勻直流的速度勢(shì)和流函數(shù)分別為圖3-12勻直流平面勢(shì)流3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式

2)點(diǎn)源和點(diǎn)匯

點(diǎn)源流場(chǎng)以一定的流量從源點(diǎn)向外流出，如圖3-13所示；點(diǎn)匯流場(chǎng)則以一定的流量流向點(diǎn)匯。若將點(diǎn)源或點(diǎn)匯中心放在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則其速度勢(shì)和流函數(shù)分別為平面勢(shì)流圖3-13點(diǎn)源3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式

3)點(diǎn)渦中心位于直角坐標(biāo)系原點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)渦流場(chǎng)如圖3-14所示，其速度勢(shì)和流函數(shù)為點(diǎn)渦中心是奇點(diǎn)，為有旋流動(dòng)；其余的流場(chǎng)則是無旋的。實(shí)際中，粘性作用使點(diǎn)渦流場(chǎng)有一個(gè)渦核，其中流體作準(zhǔn)剛體運(yùn)動(dòng)，渦核外流速(稱為誘導(dǎo)速度)則與流體至渦中心的距離成反比，如圖3-15所示。

平面勢(shì)流圖3-14點(diǎn)渦 圖3-15點(diǎn)渦的誘導(dǎo)流場(chǎng)3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式熱帶風(fēng)暴氣旋的流場(chǎng)在水平面與點(diǎn)渦有些相似，圖3-16所示為氣象衛(wèi)星拍攝的一幅熱帶風(fēng)暴云圖。風(fēng)暴中心為“風(fēng)眼”，風(fēng)速較??；風(fēng)眼周圍為“眼壁”，風(fēng)速和降水量最大；源于眼壁的巨大云層為螺旋狀雨區(qū)。平面勢(shì)流圖3-16熱帶風(fēng)暴氣象云圖 3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式

4)偶極子

將相距為h>0、強(qiáng)度相等為Q的一個(gè)源和一個(gè)匯放在同一平面，當(dāng)h→0而Q同時(shí)增大、使Q

h=M保持不變的流場(chǎng)稱為偶極子，M稱為偶極矩并定義其方向?yàn)閺膮R指向源。

圖3-17所示為將源和匯放在直角坐標(biāo)點(diǎn)(-h,0)和(0,0)的偶極子流場(chǎng)，其速度勢(shì)和流函數(shù)為平面勢(shì)流圖3-17偶子極3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式3.4.3平面勢(shì)流的非直接解法

平面勢(shì)流的非直接解法包括奇點(diǎn)分布法、鏡像法和映射法。這些方法不直接求解拉普拉斯方程，而是應(yīng)用復(fù)勢(shì)概念和復(fù)變函數(shù)中解析函數(shù)的一些性質(zhì)，由已知的簡(jiǎn)單平面勢(shì)流求解更復(fù)雜的平面勢(shì)流。

解析函數(shù)是特殊的一類復(fù)變函數(shù)，類似于定義在實(shí)數(shù)域上的單自變量連續(xù)函數(shù)，解析函數(shù)也有微分和積分等分析屬性以及特殊的保角映射幾何性質(zhì)。

平面勢(shì)流3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式3.4.3平面勢(shì)流的非直接解法平面勢(shì)流的復(fù)勢(shì)是定義在復(fù)平面z=x+i

y上并以速度勢(shì)為實(shí)部、流函數(shù)為虛部的解析函數(shù)：平面勢(shì)流

復(fù)速度復(fù)勢(shì)的一階導(dǎo)數(shù)稱為復(fù)速度，即因?yàn)?共軛)復(fù)速度的模就是速度的絕對(duì)值：所以用極坐標(biāo)來表示復(fù)速度，就是3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式平面勢(shì)流非直接解法

復(fù)速度沿流場(chǎng)中封閉曲線的積分的實(shí)部為環(huán)量，虛部為流量。由環(huán)量的定義，有易得復(fù)速度沿任一封閉曲線L的積分為3.4流體運(yùn)動(dòng)若干形式平面勢(shì)流非直接解法

幾種簡(jiǎn)單平面勢(shì)流的復(fù)勢(shì)以下給出與上一節(jié)介紹的簡(jiǎn)單平面勢(shì)流的速度勢(shì)對(duì)應(yīng)的復(fù)勢(shì)。

勻直流：

點(diǎn)源：

點(diǎn)渦：

偶極