線性代數(shù)的應(yīng)用論文

論文:線性代數(shù)的應(yīng)用與心得體會(huì)班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào):指導(dǎo)老師:完成時(shí)間：2014年10月20日錄TOC\o"1-2"\h\u907【摘要】 23306【關(guān)鍵詞】 218870一、線性代數(shù)被廣泛運(yùn)用的原因 221126二、線性代數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用 2237261.用二階行列式求平行四邊形面積，用三階行列式求平行六面面體 2271022.希爾密碼 2130603.在人們平常日常生活的應(yīng)用——減肥配方的實(shí)現(xiàn) 3272354、在城市人們出行的應(yīng)用——交通流的分析 474235、馬爾可夫鏈 519066、在人口遷移的應(yīng)用人口遷徙模型 523542三、心得與體會(huì) 7【摘要】我們對(duì)線性代數(shù)的了解大概是，線性代數(shù)理論有著悠久的歷史和豐富的內(nèi)容，還有其主要知識(shí)：矩陣、方程組和向量；我們也應(yīng)該了解其在眾多的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域和實(shí)際生活中的應(yīng)用都十分廣泛。下面就是看一些具體實(shí)例應(yīng)用，和一些心得體會(huì)。【關(guān)鍵詞】線性代數(shù)；實(shí)際生活；應(yīng)用實(shí)例；心得體會(huì)；。一、線性代數(shù)被廣泛運(yùn)用的原因?yàn)槭裁淳€性代數(shù)得到廣泛運(yùn)用，也就是說(shuō)，為什么在實(shí)際的科學(xué)研究中解線性方程組是經(jīng)常的事，而并非解非線性方程組是經(jīng)常的事呢？原因之一，大自然的許多現(xiàn)象恰好是線性變化的，研究的是單個(gè)變量之間的關(guān)系。例如我們高中學(xué)過(guò)的物理學(xué)科中，物理可以分為機(jī)械運(yùn)動(dòng)、電運(yùn)動(dòng)、還有量子力學(xué)的運(yùn)動(dòng)。而比較重要的機(jī)械運(yùn)動(dòng)的基本方程是牛頓第二定律，即物體的加速度同它所受到的力成正比，其實(shí)這又恰恰符合基本的線性微分方程。再如電運(yùn)動(dòng)的基本方程是麥克思韋方程組，這個(gè)方程組表明電場(chǎng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)的變化率成正比，而磁場(chǎng)的強(qiáng)度又與電場(chǎng)強(qiáng)度的變化率成正比，因此麥克思韋方程組也正好是線性方程組。原因之二，之后隨著科學(xué)的發(fā)展，我們不僅要研究單個(gè)變量之間的關(guān)系，還要進(jìn)一步研究多個(gè)變量之間的關(guān)系，因?yàn)楦鞣N實(shí)際問(wèn)題在大多數(shù)情況下可以線性化，而且由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，線性化了的問(wèn)題又可以計(jì)算出來(lái)，所以，線性代數(shù)因這方面的成為了解決這些問(wèn)題的有力工具而被廣泛應(yīng)用。原因之三，在數(shù)學(xué)中線性代數(shù)與幾何和代數(shù)有著不可分割的聯(lián)系。線性代數(shù)所體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，從具體概念變?yōu)槌橄蟪鰜?lái)的公理化方法，對(duì)于強(qiáng)化人們的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，增強(qiáng)科學(xué)性是非常有用的。二、線性代數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用用二階行列式求平行四邊形面積，用三階行列式求平行六面面體希爾密碼希爾密碼（HillPassword）是運(yùn)用基本矩陣論原理的替換密碼，由LesterS.Hill在1929年發(fā)明。每個(gè)字母當(dāng)作26進(jìn)制數(shù)字：A=0,B=1,C=2...一串字母當(dāng)成n維向量，跟一個(gè)n×n的矩陣相乘，再將得出的結(jié)果模26。注意用作加密的矩陣（即密匙）在\mathbb_^n必須是可逆的，否則就不可能譯碼。只有矩陣的行列式和26互質(zhì)，才是可逆的。例題、設(shè)明文為HPFRPAHTNECL,密鑰矩陣為：3.在人們平常日常生活的應(yīng)用——減肥配方的實(shí)現(xiàn)大學(xué)生在飲食方面存在很多問(wèn)題，多數(shù)大學(xué)生不重視吃早餐，日常飲食也沒(méi)有規(guī)律，為了身體的健康就需要注意日常飲食中的營(yíng)養(yǎng)。大學(xué)生每天的配餐中需要攝入一定的蛋白質(zhì)、脂肪和碳水化合物，下表給出了這三種食物提供的營(yíng)養(yǎng)以及大學(xué)生的正常所需營(yíng)養(yǎng)（它們的質(zhì)量以適當(dāng)?shù)膯挝挥?jì)量）。設(shè)三種食物每100克中蛋白質(zhì)、碳水化合物和脂肪的含量如下表，表中還給出了80年代美國(guó)流行的劍橋大學(xué)醫(yī)學(xué)院的簡(jiǎn)捷營(yíng)養(yǎng)處方?，F(xiàn)在的問(wèn)題是：如果用這三種食物作為每天的主要食物，那么它們的用量應(yīng)各取多少？才能全面準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)這個(gè)營(yíng)養(yǎng)要求。營(yíng)養(yǎng)每100g食物所含營(yíng)養(yǎng)(g)減肥所要求的每日營(yíng)養(yǎng)量脫脂牛奶大豆面粉乳清蛋白質(zhì)36511333碳水化合物52347445脂肪071.13設(shè)脫脂牛奶的用量為x1個(gè)單位（100g），大豆面粉的用量為x2個(gè)單位（100g），乳清的用量為x3個(gè)單位（100g），表中的三個(gè)營(yíng)養(yǎng)成分列向量為：則它們的組合所具有的營(yíng)養(yǎng)為使這個(gè)合成的營(yíng)養(yǎng)與劍橋配方的要求相等，就可以得到以下的矩陣方程： 用MATLAB解這個(gè)問(wèn)題非常方便，列出程序ag763如下： A=[36,51,13;52,34,74;0,7,1.1] b=[33;45;3] x=A\b 程序執(zhí)行的結(jié)果為： 即脫脂牛奶的用量為27.7g，大豆面粉的用量為39.2g，乳清的用量為23.3g，就能保證所需的綜合營(yíng)養(yǎng)量。4、在城市人們出行的應(yīng)用——交通流的分析某城市有兩組單行道，構(gòu)成了一個(gè)包含四個(gè)節(jié)點(diǎn)A,B,C,D的十字路口如圖6.5.2所示。在交通繁忙時(shí)段的汽車從外部進(jìn)出此十字路口的流量（每小時(shí)的車流數(shù)）標(biāo)于圖上?，F(xiàn)要求計(jì)算每?jī)蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)之間路段上的交通流量x1,x2,x3,x4。解：在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上，進(jìn)入和離開(kāi)的車數(shù)應(yīng)該相等，這就決定了四個(gè)流通的方程：節(jié)點(diǎn)A:x1+450＝x2+610節(jié)點(diǎn)B:x2+520＝x3+480節(jié)點(diǎn)C:x3+390＝x4+600節(jié)點(diǎn)D:x4+640＝x2+310將這組方程進(jìn)行整理，寫成矩陣形式： 圖3 單行線交通流圖其系數(shù)增廣矩陣為：圖3 單行線交通流圖用消元法求其行階梯形式，或者直接調(diào)用U0=rref([A,b]),可以得出其精簡(jiǎn)行階梯形式為注意這個(gè)系數(shù)矩陣所代表的意義，它的左邊四列從左至右依次為變量x1,x2,x3,x4的系數(shù)，第五列則是在等式右邊的常數(shù)項(xiàng)。把第四列移到等式右邊，可以按行列寫恢復(fù)為方程，其結(jié)果為： x1=x4+330,x2=x4+170,x3=x4+2100＝0由于最后一行變?yōu)槿?，這個(gè)精簡(jiǎn)行階梯形式只有三行有效，也就是說(shuō)四個(gè)方程中有一個(gè)是相依的，實(shí)際上只有三個(gè)有效方程。方程數(shù)比未知數(shù)的數(shù)目少，即沒(méi)有給出足夠的信息來(lái)唯一地確定x1,x2,x3,和x4。其原因也不難從物理上想象，題目給出的只是進(jìn)入和離開(kāi)這個(gè)十字路區(qū)的流量，如果有些車沿著這四方的單行道繞圈，那是不會(huì)影響總的輸入輸出流量的，但可以全面增加四條路上的流量。所以x4被稱為自由變量，實(shí)際上它的取值也不能完全自由，因?yàn)橐?guī)定了這些路段都是單行道，x1,x2,x3,和x4。都不能取負(fù)值。所以要準(zhǔn)確了解這里的交通流情況，還應(yīng)該在x1,x2,x3,和x4中，再檢測(cè)一個(gè)變量。5、馬爾可夫鏈馬爾可夫鏈（MarkovChain），描述了一種狀態(tài)序列，其每個(gè)狀態(tài)值取決于前面有限個(gè)狀態(tài)。馬爾可夫鏈?zhǔn)蔷哂旭R爾可夫性質(zhì)的隨機(jī)變量的一個(gè)數(shù)列。這些變量的范圍，即它們所有可能取值的集合，被稱為“狀態(tài)空間”，而的值則是在時(shí)間n的狀態(tài)。如果對(duì)于過(guò)去狀態(tài)的條件概率分布僅是的一個(gè)函數(shù)，則這里x為過(guò)程中的某個(gè)狀態(tài)。上面這個(gè)恒等式可以被看作是馬爾可夫性質(zhì)。例題、6、在人口遷移的應(yīng)用人口遷徙模型設(shè)在一個(gè)大城市中的總?cè)丝谑枪潭ǖ?。人口的分布則因居民在市區(qū)和郊區(qū)之間遷徙而變化。每年有6%的市區(qū)居民搬到郊區(qū)去住，而有2%的郊區(qū)居民搬到市區(qū)。假如開(kāi)始時(shí)有30%的居民住在市區(qū)，70%的居民住在郊區(qū)，問(wèn)十年后市區(qū)和郊區(qū)的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？這個(gè)問(wèn)題可以用矩陣乘法來(lái)描述。把人口變量用市區(qū)和郊區(qū)兩個(gè)分量表示，即其中xc為市區(qū)人口所占比例，xs為郊區(qū)人口所占比例，k表示年份的次序。在k=0的初始狀態(tài)：。一年以后，市區(qū)人口為xc1=(1-0.02)xc0+0.06xs0，郊區(qū)人口xs1=0.02xc0+(1-0.06)xs0，用矩陣乘法來(lái)描述，可寫成：此關(guān)系可以從初始時(shí)間到k年,擴(kuò)展為,用下列MATLAB程序進(jìn)行計(jì)算：A=[0.94,0.02;0.06,0.98]x0=[0.3;0.7]x1=A*x0,x10=A^10*x0x30=A^30*x0x50=A^50*x0程序運(yùn)行的結(jié)果為：無(wú)限增加時(shí)間k，市區(qū)和郊區(qū)人口之比將趨向一組常數(shù)0.25/0.75。為了弄清為什么這個(gè)過(guò)程趨向于一個(gè)穩(wěn)態(tài)值，我們改變一下坐標(biāo)系統(tǒng)。在這個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)中可以更清楚地看到乘以矩陣A的效果。選u1為穩(wěn)態(tài)向量[0.25,0.75]T的任意一個(gè)倍數(shù)，令u1=[1,3]T和u2=[-1,1]T?？梢钥吹?，用A乘以這兩個(gè)向量的結(jié)果不過(guò)是改變向量的長(zhǎng)度，不影響其相角（方向）： 初始向量x0可以寫成這兩個(gè)基向量u1和u2的線性組合； 因此 式中的第二項(xiàng)會(huì)隨著k的增大趨向于零。如果只取小數(shù)點(diǎn)后兩位，則只要k>27，這第二項(xiàng)就可以忽略不計(jì)而得到適當(dāng)選擇基向量可以使矩陣乘法結(jié)果等價(jià)于一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)數(shù)乘子，避免相角項(xiàng)出現(xiàn)，使得問(wèn)題簡(jiǎn)單化。這也是方陣求特征值的基本思想。這個(gè)應(yīng)用問(wèn)題實(shí)際上是所謂馬爾可夫過(guò)程的一個(gè)類型。所得到的向量序列x1,x2,...,xk稱為馬爾可夫鏈。馬爾可夫過(guò)程的特點(diǎn)是k時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)xk完全可由其前一個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)xk-1所決定，與k-1時(shí)刻之前的系統(tǒng)狀態(tài)無(wú)關(guān)。心得與體會(huì)沒(méi)上線性代數(shù)的時(shí)候，心中還有點(diǎn)忐忑，怕自己學(xué)不好。但是當(dāng)真的學(xué)時(shí)，用心聽(tīng)老師講的每節(jié)課，還是感覺(jué)很輕松的。然后每章結(jié)束后的習(xí)題，自己認(rèn)真完成，不會(huì)的再翻翻以前學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)和筆記，自己就會(huì)豁然開(kāi)朗，而且死死地記住題型，考試的時(shí)候不會(huì)緊張而且游刃有余。可以總結(jié)一下，線性代數(shù)主要研究三種對(duì)象：矩陣、方程組和向量。這三種對(duì)象的理論是密切相關(guān)的，大部分問(wèn)題在這三種理論中都有等價(jià)說(shuō)法。因此，熟練地從一種理論的敘述轉(zhuǎn)移到另一種中去，是學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí)應(yīng)養(yǎng)成的一種重要習(xí)慣和素質(zhì)。如果說(shuō)與實(shí)際計(jì)算結(jié)合最多的是矩陣的觀點(diǎn)，那么向量的觀點(diǎn)則著眼于從整體性和結(jié)構(gòu)性考慮問(wèn)題，因而可以更深刻、更透徹地揭示線性代數(shù)中各種問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)屬性。由此可見(jiàn)，只要掌握矩陣、方程組和向量的內(nèi)在聯(lián)系，遇到問(wèn)題就能左右逢源，舉一反三，化難為易。線性代數(shù)作為數(shù)學(xué)的一門，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的思想。數(shù)學(xué)上的方法是相通的。比如，考慮特殊情況這種思路。線性代數(shù)中行列式按行或列展開(kāi)公式的證明就是從更簡(jiǎn)單的特殊情況開(kāi)始證起；解線性方程組時(shí)先解對(duì)應(yīng)的齊次方程組，這些都是先考慮特殊情況。高數(shù)上解二階常系數(shù)線性微分方程時(shí)先解其對(duì)應(yīng)的齊次方程，這用的也是這種思路。通過(guò)思想方法上的聯(lián)系和內(nèi)容上的關(guān)系，線性代數(shù)中的內(nèi)容以及線性代數(shù)與高等數(shù)學(xué)甚至其它學(xué)科可以聯(lián)系起來(lái)。只要建立了這種聯(lián)系，線代就不會(huì)像原來(lái)那樣瑣碎了。在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中，注重知識(shí)點(diǎn)的銜接與轉(zhuǎn)換，努力提高綜合分析能力。線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯(cuò)，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)常問(wèn)自己做得對(duì)不對(duì)？再問(wèn)做得好不好？只有不斷地歸納總結(jié)