2023屆初升高數(shù)學(xué)銜接專題講義第一講 因式分解的拓展（精講）含答案1

2023年初高中銜接素養(yǎng)提升專題講義第一講因式分解的拓展（精講）（原卷版）【知識(shí)點(diǎn)透析】因式分解定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式?！痉椒ňv】一．提公因式法提取公因式法：把一個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)都有的公因式提到括號(hào)外邊來(lái)．符號(hào)語(yǔ)言：【例1】因式分解．【變式】因式分解．【例2】計(jì)算．．【變式1】（2022·廣東汕頭·一模）已知，，則________．【變式2】（2022·湖南婁底·七年級(jí)期中）因式分解：；二．公式法公式法：利用乘法公式的逆變換對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．常見(jiàn)的公式如下：（1）a2－b2=__；（平方差公式）（2）a2±2ab+b2=__；（完全平方公式（兩個(gè)數(shù)））（3）a3±b3=__； （立方和差公式）（4）a3±3a2b+3ab2±b3=__；（完全立方公式）（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=__；（完全平方公式（三個(gè)數(shù)））【例3】因式分解．【變式】（2022·福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）因式分解：(1)4a2-16a+16；【例4】．（2022·上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)尚陽(yáng)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)階段檢測(cè)）多項(xiàng)式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，還有立方和公式與立方差公式如下：立方和公式：立方差公式：如果把公式逆運(yùn)用，則成為因式分解中的立方和與立方差公式.根據(jù)以上材料，請(qǐng)完成下列問(wèn)題：（1）因式分解：（2）因式分解：（3）已知：的值【變式1】因式分解．【變式2】分解下列因式 (1) (2)【變式3】分解因式：(1) (2)三．十字相乘法十字相乘法：對(duì)于二次三項(xiàng)式或可看作二次三項(xiàng)式的多項(xiàng)式分解因式．【例5】（2022·上海閔行·七年級(jí)期中）在因式分解的學(xué)習(xí)中我們知道對(duì)二次三項(xiàng)式x2+a+b(1)x2(2)x2(3)x2(4)2018x2【例6】．（2023·山東濟(jì)寧·八年級(jí)期末）【知識(shí)背景】八年級(jí)上冊(cè)第121頁(yè)“閱讀與思考”中，我們利于因式分解是與整式乘法方向相反的變形這種關(guān)系得到：．【方法探究】對(duì)于多項(xiàng)式我們也可這樣分析：它的二次項(xiàng)系數(shù)1分解成1與1的積；它的常數(shù)項(xiàng)pq分解成p與q的積，按圖1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項(xiàng)系數(shù)．所以例如，分解因式：它的二次項(xiàng)系數(shù)1分解成1與1的積；它的常數(shù)項(xiàng)6分解成2與3的積，按圖2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項(xiàng)系數(shù)5．所以）．類比探究：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)，我們也可仿照上述方式進(jìn)行因式分解．例如，分解因式：．分析：二次項(xiàng)系數(shù)2分解成2與1的積；常數(shù)項(xiàng)－6分解成－1與6（或－6與1，－2與3，－3與2）的積，但只有當(dāng)－2與3時(shí)按如圖3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項(xiàng)系數(shù)－1．所以．【方法歸納】一般地，在分解形如關(guān)于x的二次三項(xiàng)式時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)a分解成與的積，分別寫(xiě)在十字交叉線的左上角和左下角；常數(shù)項(xiàng)c分解成與的積，分別寫(xiě)在十字交叉線的右上角和右下角，把，，，按如圖4所示方式排列，當(dāng)且僅當(dāng)（一次項(xiàng)系數(shù)）時(shí)，可分解因式．即．我們把這種分解因式的方法叫做十字相乘法．【方法應(yīng)用】利用上面的方法將下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)【變式1】將下列各式分解因式；（2）．【變式2】（1）；（2）．【變式3】把下列各式因式分解： (1) (2) 【例7】（提高型）：分解因式.【變式】（1）；（2）.四、分組分解法根據(jù)多項(xiàng)式各項(xiàng)的特點(diǎn)，適當(dāng)分組，分別變形，再對(duì)各組之間進(jìn)行整體分解（先部分后整體的分解方法）【例8】．（2022·甘肅省蘭州市教育局八年級(jí)期中）【閱讀學(xué)習(xí)】課堂上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們學(xué)習(xí)了“提公因式法、公式法”兩種因式分解的方法．分解因式的方法還有許多，如分組分解法．它的定義是：將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法叫分組分解法．使用這種方法的關(guān)鍵在于分組適當(dāng)，而在分組時(shí)，必須有預(yù)見(jiàn)性．能預(yù)見(jiàn)到下一步能繼續(xù)分解．例如：（1）；（2）．【學(xué)以致用】請(qǐng)仿照上面的做法，將下列各式分解因式：（1）；（2）．【拓展應(yīng)用】已知：，．求：的值．將下列各式分解因式（1）；（2）．【例9】分解因式：（1）；（2）．【變式】（1）；（2）．五．換元法換元法分解因式：是將多項(xiàng)式中的某一部分用新的變量替換，從而使較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題得到簡(jiǎn)化【例10】．（2022·福建漳州·八年級(jí)期中）閱讀下列材料：在因式分解中，把多項(xiàng)式中某些部分看作一個(gè)整體，用一個(gè)新的字母代替（即換元），不僅可以簡(jiǎn)化要分解的多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點(diǎn)更加明顯，便于觀察如何進(jìn)行因式分解，這種方法就是換元法．對(duì)于．解法一：設(shè)，則原式；解法二：設(shè)，，則原式．請(qǐng)按照上面介紹的方法解決下列問(wèn)題：(1)因式分解：；(2)因式分解：；(3)求證：多項(xiàng)式的值一定是非負(fù)數(shù)．【變式1】將下列各式分解因式（1）；（2）【變式2】（1）x6－7x3－8（2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1六．配方法【例題11】．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）閱讀理解：對(duì)于形如這樣的二次三項(xiàng)式，可以用公式法將它分解成的形式．但對(duì)于二次三項(xiàng)式，就不能直接運(yùn)用公式了．此時(shí)，我們可以在二次三項(xiàng)式中先加上一項(xiàng)，使它與的和成為一個(gè)完全平方式，再減去，整個(gè)式子的值不變，于是有：＝＝＝＝，像這樣，先添一適當(dāng)項(xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變的方法稱為“配方法”．請(qǐng)利用“配方法”進(jìn)行因式分解：(1)；(2)．七．因式分解的應(yīng)用【例題12】．（2022·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)期中）閱讀下列材料：若一個(gè)正整數(shù)能表示成（a，b是正整數(shù)，）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“明禮崇德數(shù)”，a與b是x的一個(gè)平方差分解，例如，所以是“明禮崇德數(shù)”與是的平方差分解；再如：(為正整數(shù)），所以也是“明禮崇德數(shù)”，（）與是的一個(gè)平方差分解．(1)判斷“明禮崇德數(shù)”（填“是”或“不是”）；(2)已知與是的一個(gè)平方差分解，求代數(shù)式P；(3)已知（是正整數(shù)，是常數(shù)，且），要使是“明禮崇德數(shù)”，試求出符合條件的值，并說(shuō)明理由．【例題13】．已知，，求的值．【變式1】．（1）因式分解：．（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【變式2】．（2022·湖北十堰·八年級(jí)期末）閱讀理解題：已知二次三項(xiàng)式x2﹣4x＋m有一個(gè)因式是x＋3，求另一個(gè)因式及m的值．解：設(shè)另一個(gè)因式為x＋n，依題意得x2﹣4x＋m＝（x＋3）（x＋n）．即x2﹣4x＋m＝x2＋（n＋3）x＋3n，比較系數(shù)得：，解得．∴另一個(gè)因式為x﹣7，m的值為﹣21仿照上述方法解答下列問(wèn)題：(1)已知二次三項(xiàng)式2x2＋3x﹣k有一個(gè)因式是2x﹣1，求另一個(gè)因式及k的值；(2)已知2x2﹣13x＋p有一個(gè)因式x﹣4，則p＝．

2023年初高中銜接素養(yǎng)提升專題講義第一講因式分解的拓展（精講）（解析版）【知識(shí)點(diǎn)透析】因式分解定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式?！痉椒ňv】一．提公因式法提取公因式法：把一個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)都有的公因式提到括號(hào)外邊來(lái)．符號(hào)語(yǔ)言：【例1】因式分解．【解析】提取公因式，原式=．【變式】因式分解．【解析】提取公因式，原式=．【例2】計(jì)算．【解析】原式=．【變式1】（2022·廣東汕頭·一模）已知，，則________．【答案】【解析】∵m+n=4，mn=-5，∴m2n+mn2=mn（m+n）=-5×4=-20．故答案為：-20．【變式2】（2022·湖南婁底·七年級(jí)期中）因式分解：；【答案】【解析】：；二．公式法公式法：利用乘法公式的逆變換對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．常見(jiàn)的公式如下：（1）a2－b2=__；（平方差公式）（2）a2±2ab+b2=__；（完全平方公式（兩個(gè)數(shù)））（3）a3±b3=__； （立方和差公式）（4）a3±3a2b+3ab2±b3=__；（完全立方公式）（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=__；（完全平方公式（三個(gè)數(shù)））【例3】因式分解．【解析】法一：原式=法二：原式=．【變式】（2022·福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）因式分解：(1)4a2-16a+16；【答案】(1)4a-22【解析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；（2）先進(jìn)行公式變形為a2（1）解：4=4a（2）解：a=a=x-y=x-y【例4】．（2022·上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)尚陽(yáng)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)階段檢測(cè)）多項(xiàng)式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，還有立方和公式與立方差公式如下：立方和公式：立方差公式：如果把公式逆運(yùn)用，則成為因式分解中的立方和與立方差公式.根據(jù)以上材料，請(qǐng)完成下列問(wèn)題：（1）因式分解：（2）因式分解：（3）已知：的值【答案】（1）（a＋b）（a2?ab＋b2）（a6?a3b3＋b6）；（2）（a?b）（a＋b）（a4＋a2b2＋b4）．（3）322【詳解】（1）因式分解：a9＋b9＝（a3）3＋（b3）3＝（a3＋b3）（a6?a3b3＋b6）＝（a＋b）（a2?ab＋b2）（a6?a3b3＋b6）；（2）因式分解：a6?b6＝（a2）3?（b2）3＝（a2?b2）（a4＋a2b2＋b4）＝（a?b）（a＋b）（a4＋a2b2＋b4）；（3）∵a＋b＝3，ab＝1，∴a2＋b2＝（a＋b）2?2ab＝7，∴a6＋b6=（a2＋b2）（a4?a2b2＋b4）＝[（a＋b）2?2ab][（a2＋b2）2?2a2b2?a2b2]＝7×（49?3×1）＝322．【變式1】因式分解．【答案】原式=．【解析】原式=【變式2】分解下列因式 (1) (2)【解析】：(1)(1)【變式3】分解因式：(1) (2)【解析】：(1)中應(yīng)先提取公因式再進(jìn)一步分解；(2)中提取公因式后，括號(hào)內(nèi)出現(xiàn)，可看著是或．(1) (2) 三．十字相乘法十字相乘法：對(duì)于二次三項(xiàng)式或可看作二次三項(xiàng)式的多項(xiàng)式分解因式．【例5】（2022·上海閔行·七年級(jí)期中）在因式分解的學(xué)習(xí)中我們知道對(duì)二次三項(xiàng)式x2+a+b(1)x2(2)x2(3)x2(4)2018x2【答案】(1)(x-y)(x+6y)(2)(x-3a)(x-a-2)(3)(x+a-3b)(x-a-2b)(4)(20182x2+1)(x-1)【分析】（1）將-6y2改寫(xiě)成-y·6，然后根據(jù)例題分解即可；（2）將3a2+6a改寫(xiě)成-3a-（3）先化簡(jiǎn)，將ab+6b2-（4）將2017×2019改寫(xiě)成(2018-1)(2018+1)，變形后根據(jù)例題分解即可；(1)解：原式=x=(x-y)(x+6y)；(2)解：原式=x=(x-3a)(x-a-2)；(3)解：原式=x=x=x=(x+a-3b)(x-a-2b)；(4)解：原式=2018x=2018=2018=(20182x+1)(x-1)．【例6】．（2023·山東濟(jì)寧·八年級(jí)期末）【知識(shí)背景】八年級(jí)上冊(cè)第121頁(yè)“閱讀與思考”中，我們利于因式分解是與整式乘法方向相反的變形這種關(guān)系得到：．【方法探究】對(duì)于多項(xiàng)式我們也可這樣分析：它的二次項(xiàng)系數(shù)1分解成1與1的積；它的常數(shù)項(xiàng)pq分解成p與q的積，按圖1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項(xiàng)系數(shù)．所以例如，分解因式：它的二次項(xiàng)系數(shù)1分解成1與1的積；它的常數(shù)項(xiàng)6分解成2與3的積，按圖2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項(xiàng)系數(shù)5．所以）．類比探究：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)，我們也可仿照上述方式進(jìn)行因式分解．例如，分解因式：．分析：二次項(xiàng)系數(shù)2分解成2與1的積；常數(shù)項(xiàng)－6分解成－1與6（或－6與1，－2與3，－3與2）的積，但只有當(dāng)－2與3時(shí)按如圖3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項(xiàng)系數(shù)－1．所以．【方法歸納】一般地，在分解形如關(guān)于x的二次三項(xiàng)式時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)a分解成與的積，分別寫(xiě)在十字交叉線的左上角和左下角；常數(shù)項(xiàng)c分解成與的積，分別寫(xiě)在十字交叉線的右上角和右下角，把，，，按如圖4所示方式排列，當(dāng)且僅當(dāng)（一次項(xiàng)系數(shù)）時(shí)，可分解因式．即．我們把這種分解因式的方法叫做十字相乘法．【方法應(yīng)用】利用上面的方法將下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)【答案】(1)（x－2）（x－3）(2)（2x＋3）（5x－7）(3)（x－1）（x－3）【解析】(1)=（x－2）（x－3）．(2)=（2x＋3）（5x－7）．(3)==（x－1）（x－3）．【變式1】將下列各式分解因式；（2）．【解析】（1）原式=；（2）原式=．【變式2】（1）；（2）．【答案】（1）原式=；（2）原式=．【變式3】把下列各式因式分解： (1) (2) 【解析】：(1)． (2)【例7】（提高型）：分解因式.【解析】設(shè)=，∵=，∴=，對(duì)比左右兩邊相同項(xiàng)的系數(shù)可得，解得.∴原式=.【變式】（1）；（2）.解：原式=原式=分組分解法根據(jù)多項(xiàng)式各項(xiàng)的特點(diǎn)，適當(dāng)分組，分別變形，再對(duì)各組之間進(jìn)行整體分解（先部分后整體的分解方法）【例8】．（2022·甘肅省蘭州市教育局八年級(jí)期中）【閱讀學(xué)習(xí)】課堂上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們學(xué)習(xí)了“提公因式法、公式法”兩種因式分解的方法．分解因式的方法還有許多，如分組分解法．它的定義是：將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法叫分組分解法．使用這種方法的關(guān)鍵在于分組適當(dāng)，而在分組時(shí)，必須有預(yù)見(jiàn)性．能預(yù)見(jiàn)到下一步能繼續(xù)分解．例如：（1）；（2）．【學(xué)以致用】請(qǐng)仿照上面的做法，將下列各式分解因式：（1）；（2）．【拓展應(yīng)用】已知：，．求：的值．【答案】（1）；（2）；【拓展應(yīng)用】．【詳解】（1）（2）【拓展應(yīng)用】∵，，代入得：原式=．將下列各式分解因式（1）；（2）．【答案】（1）原式=（2）原式=【解析】（1）原式=；（2）原式=．【例9】分解因式：（1）；（2）．解：（1）===．或＝＝＝＝＝．（2）===．或===．【變式】（1）；（2）．【答案】（1）原式=（2）原式=．【解析】（1）原式=（2）原式=．五．換元法換元法分解因式：是將多項(xiàng)式中的某一部分用新的變量替換，從而使較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題得到簡(jiǎn)化【例10】．（2022·福建漳州·八年級(jí)期中）閱讀下列材料：在因式分解中，把多項(xiàng)式中某些部分看作一個(gè)整體，用一個(gè)新的字母代替（即換元），不僅可以簡(jiǎn)化要分解的多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點(diǎn)更加明顯，便于觀察如何進(jìn)行因式分解，這種方法就是換元法．對(duì)于．解法一：設(shè)，則原式；解法二：設(shè)，，則原式．請(qǐng)按照上面介紹的方法解決下列問(wèn)題：(1)因式分解：；(2)因式分解：；(3)求證：多項(xiàng)式的值一定是非負(fù)數(shù)．【答案】(1)（1）(2)(3)見(jiàn)解析【解析】(1)解：解法一：設(shè)，則原式；方法二：設(shè)，則原式；(2)解：設(shè)，則原式；(3)解：，設(shè)，則原式，∵，∴，∴多項(xiàng)式的值一定是非負(fù)數(shù)．【變式1】將下列各式分解因式（1）；【答案】原式=（2）【解析】原式=．．【變式2】（1）x6－7x3－8（2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1【解析】（1）原式=；（2）原式=．六．配方法【例題11】．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）閱讀理解：對(duì)于形如這樣的二次三項(xiàng)式，可以用公式法將它分解成的形式．但對(duì)于二次三項(xiàng)式，就不能直接運(yùn)用公式了．此時(shí)，我們可以在二次三項(xiàng)式中先加上一項(xiàng)，使它與的和成為一個(gè)完全平方式，再減去，整個(gè)式子的值不變，于是有：＝＝＝＝，像這樣，先添一適當(dāng)項(xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變的方法稱為“配方法”．請(qǐng)利用“配方法”進(jìn)行因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】(1)原式＝＝＝＝；＝＝．七．因式分解的應(yīng)用【例題12】．（2022·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)期中）閱讀下列材料：若一個(gè)正整數(shù)能表示成（a，b是正整數(shù)，）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“明禮崇德數(shù)”，a與b是x的一個(gè)平方差分解，例如，所以是“明禮崇德數(shù)”與是的平方差分解；再如：(為正整數(shù)），所以也是“明禮崇德數(shù)”，（）與是的一個(gè)平方差分解．(1)判斷“明禮崇德數(shù)”（填“是”或“不是”）；(2)已知與是的一個(gè)平方差分解，求代數(shù)式P；(3)已知（是正整數(shù)，是常數(shù)，且）