2023學年完整公開課版反函數(shù)

講授：進賢縣李渡中學胡明亮課題：反函數(shù)－3－1…3210－2…－6－2…6420－4…一、復(fù)習與提問什么叫函數(shù)？簡言之，函數(shù)就是非空數(shù)集到非空數(shù)集上的映射。[例1]畫出函數(shù)y=2x的定義域到值域上的映射示意圖，并求f(－2)與f(3)的值。解：f(－2)=－4f(3)=6易知f:A→B為一一映射二、探討問題(1)若f(x1)=－4,f(x2)=6,則x1=____，x2=______－23AB分析：推廣：已知y求x,x=y/2,且對任一y∈B，有唯一

x∈A與之對應(yīng)，所以，B→A，原“路”返回即在法則g:y→x=y/2下也是映射。

X=y/2表示x是y函數(shù)。(2)比較函數(shù)y=2x與x=y/2的關(guān)系。三要素比較:我們稱x=y/2為y=2x的反函數(shù)。由2x1=－4,2x2=6即得①自變量與函數(shù)值對調(diào)，也就是定義域與值域?qū)φ{(diào)。②法則互逆。反函數(shù)1、反函數(shù)定義2、反函數(shù)求法(1)定義：一般地，函數(shù)y=f(x)(x∈A)中，設(shè)它的值域為C，由y=f(x)解得x=φ(y)，如果對于y在C中的任何一個值，通過x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么，x=φ(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)。這樣的函數(shù)x=φ(y)(y∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù)。記作x=f－1(y)閱讀課本第60頁，然后回答下列問題(1)反函數(shù)定義；(2)反函數(shù)與原函數(shù)的定義域與值域關(guān)系如何？(3)任何函數(shù)都有反函數(shù)嗎？舉例說明。(4)一般地，反函數(shù)如何表示？

簡言之，反函數(shù)就是以原函數(shù)的值域為定義域，逆法則為法則，定義域為值域的函數(shù)。顯然，函數(shù)y=2x與x=y/2互為反函數(shù)，稱其一為原函數(shù)，另一為反函數(shù)。習慣上,改寫為y=f－1(x)(x∈C)定義域值域y=f(x)ABy=f－1(x)BA也就是，y=f(x)中的x、y分別與y=f－1(x)中的y和x意義相同。如：若f(－2)=－4,則f－1(－4)=－2不一定，如y=x2

圖象：

若y=f(x)有反函數(shù)，則反函數(shù)為x=f－1(y),習慣上寫為y=f－1(x)

注意:f－1(x)是一個完整的符號，不是f或f(x)的負一次方，是為了能體現(xiàn)與f(x)的聯(lián)系與區(qū)別而設(shè)計的一個法則符號。(2)反函數(shù)與原函數(shù)的定義域與值域關(guān)系如何？(3)任何函數(shù)都有反函數(shù)嗎？舉例說明。(4)一般地，反函數(shù)如何表示？－224oyx三、舉例。[例2]求下列函數(shù)的反函數(shù)：y=3x－1(x∈R)

注意事項：由(2)知，x∈R，y≥0,而原函數(shù)中x≥0,Y≥1，反函數(shù)定義域不是原函數(shù)值域，值域不是原函數(shù)定義域，因此(2)不是原函數(shù)的反函數(shù)。為此，求反函數(shù)解析式后，一定要寫明定義域。也就意味著要先求原函數(shù)的值域。改進：特例：由(3)知，某些反函數(shù)與原函數(shù)是同一函數(shù)，即為它本身。四、歸納步驟五、課堂訓練(1)若函數(shù),則它的反函數(shù)是（）A、y=x2+1(x∈R)B、y=x2+1(x>0)C、y=x2+1(x≤0)D、y=－x2+1（x≤0）分析：x≥1,y≤0分別為反函數(shù)的值域和定義域，再解無理方程易知選C。(1)求f(x)值域(2)由y=f(x)解出x=f－1(y)(3)將x、y互換，得到y(tǒng)=f－1(x)并寫明定義域。(2)已知f(x)=2x+1,則f－1[f(x)]=()A、(x+1)/2B、xC、2/(x－1)D、1/(2x+1)[分析]方法一：先求f－1(x),再求f－1[f(x)]方法二：由定義域與值域的關(guān)系，f(x)即為y，所以f－1(y)=x選B。(3)已知f(x)=x2－1(x≤－2)，則f－1(4)=________[分析]方法一：先求f－1(x),再求f－1(4)方法二：應(yīng)用定義域與值域一一對應(yīng)關(guān)系，4即為f(x)的函數(shù)值，令x2－1=4，解得(4)已知f(x)=1/x(x≠0)，則f－1(x+1)=________注：f－1(x+1)與f(x+1)解析意義一樣，即由f(x)→f(x+1)

由f－1(x)→f－1(x+1)，而不是由f(x+1)→f－1(x+1)六、小結(jié)(1)反函數(shù)定義七、作業(yè)課本第64頁習題1(2)(4)(6)(8),3易得