高中數(shù)學新教材蘇教版2023年必修第二冊9.19.2平面向量的概念及線性運算知識點與題型歸納

平面對量的概念及線性運算學問點與題型歸納一、學問點向量的有關概念向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)．向量a的模|a|0.向量不能比較大小，但|a|是實數(shù)，可以比較大小.0的向量，其方向是任意的．1個單位的向量．在畫單位向量時，長度1可以依據(jù)需要任意設定；平行向量：方向一樣或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行．相等向量：長度相等且方向一樣的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．向量的線性運算向量運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律加法 求兩個向量和的運算

三角形法則：首尾連，連首尾

交換律：a＋b＝b＋a；(2)結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)平行四邊形法則：起點一樣連對角．ab的相反向量－b的減法ab的差

三角形法則(1)|a|＝|||a|；

a－b＝a＋(－b)(a)＝()a；求實數(shù)λ與向量a的積的運數(shù)乘算

當0aa的方向一樣；當0時，a的方向與

)a＝

a；共線向量定理

a0時，a＝0

(a＋b)＝a＋b設a0＝ab與ab與a是共線向量，1λb＝λa.常用結論- → → →首尾相連連首尾，即A

A＋A

A＋AA

＋…＋A

A＝AA

AA

重合，圖形為1 2 2 3 3

n1 n 1 n 1 nAAAA

A AAA

0;1 2 2

n1 n n 1a與非零向量a共線的單位向量為

;|a|假設三點A,B,C共線 ABAC共線；假設P為線段BO為平面內任一點，則P

1AB);2ABC(,O不在直線B上，假設點，C共線，則1;假設G為△C①BC0；②G1(BC)．3向量的三角形不等式由向量的三角形法則，可以得到(1)當ab|a||b||ab||a||b||a||b||ab||a||b|.(2)當ababab同向，則|ab||a||b|；(3)當ab反向且共線時，假設|a||b|ab與a同向，|ab||a||b|；假設|a||b|，則ab與b同|．向量減法的作圖方法向量ab，作OAaOBbBAabOAOB,BA等于終點向量〔OA〕減去起點向量〔OB.利用相反向量作圖，通過向量加法的平行四邊形法則作出ab．作OAaOBb,ACb，則OCa(b)，如圖．由圖可知，一個向量減去另一個向量等于加上這個向量的相反向量．2二、題型歸納題型一平面對量的概念給出以下命題：①兩個具有公共終點的向量肯定是共線向量；②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大??；③假設a＝0為實數(shù))，則必為零；④，為實數(shù)，假設a＝b，則a與b共線．其中正確命題的個數(shù)為( )A．1 B．2 C．3 D．4給出以下命題：①假設兩個向量相等，則它們的起點一樣，終點一樣；②假設|a|＝|b|a＝ba＝－b；③假設，，，D是不共線的四點，且BC，則D為平行四邊形；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b；其中真命題的序號是 ．以下結論中正確的選項是〔 〕①假設a//b且|a||b|ab；ab，則a//b且|a||b|；③假設a與b方向一樣且|a||b|ab；④假設ab，則a與b方向相反且|a||b|.A．①③ B．②③ C．③④ D．②④題型二平面對量的線性運算化簡以下各式：①AEEBBC= ； ② AB+BC+CD+DE+EF+FA ；③③ABBCAD=；④(AB—CD)－(AC—BD)=⑤MBACBM=；向量e1，e2，a，b在正方形網(wǎng)格中的位置如下圖，則a－b＝( A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e23EB6.(2023·全國卷Ⅰ)在△ABC中，ADBC邊上的中線，EAD的中點，則EB

＝( )3 1 1 3 3 1 1 3A.4

AB4

AC

AB4

AC

AB4

AC D.4

AB4AC-1→

a →b →3在△ABC中，BD＝BC，假設AB＝3

，AC＝，則AD＝( )2 1 1 2 1 2 2 13333333A.3a＋b B.a＋b C.a－b D．a－b3333333假設非零向量a、b滿足abb，則以下不等式恒成立的為〔 〕A. 2ba2b B. 2ba2b C. 2a2ab D. 2a2ab2 2 在C中點N滿足AM MCBN NC假設MN xAB yAC則＝ ＝ .任意四邊形ABCD，E為AD的中點，F(xiàn)BCEFEFABDC．11.20238月份，南方患病暴雨攻擊，在某小鎮(zhèn)的一次營救中，小汽艇在靜水中的速度是12km/h，水流6km/h．假設小汽艇向著垂直河岸的方向行駛，則小汽艇在河水中的實際運動速度是多大？方向怎樣？此時，必需到河正對岸去營救一人，要使小汽艇沿垂直方向到達對岸，船頭方向該怎樣？4題型三共線向量定理的應用類型一.證明向量共線a，bλa＝λb(b≠0)ab共線在四邊形D中，B＝a2，C＝－a－，D＝a－b，則四邊形D的外形( )A．矩形 B．平行四邊形 C．梯形 D．以上都不對1 2 1 向量e1≠0，R，a＝e1＋e2，b＝2e1，假設向量a與向量b共線，則( A．λ＝0 B．e2＝0 C．e∥e D．e∥e或1 2 1 4〔多項選擇〕4AB3ADAC，則以下結論正確的選項是〔 〕A．A，B，C，D四點共線 B．C，B，D三點共線C．|AC||DB| D．|BC|3|DB|類型二證明三點共線B＝λC，，C三點共線.a,b為任意兩個非零向量，且Ba5b，C2a8b，D(ab)，則〔 〕A.B，C，D三點共線 B.A，B，C三點共線C.A，B，D三點共線 D.A，C，D三點共線如下圖，在ABCBC4BDAC3CEBEADM.用AB，AC表示D，E；AM23

9

AC，證明：B,M,E三點共線.5類型三求參數(shù)的值利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值〔留意三點共線定理的運用〕設DC所在平面內一點，D1B43 3A．2 B．3 C．－2 D．－3

C，假設CC(R)，λ＝( )設e與e1

AB3e12e2

，CBkee1 2

，CD3e12ke2

A，B，D三點共線，則k .O為C內一點，且O1BC)，DtC，假設B，D三點共線，則( )21A.4

1 1B.3 C.2

2D.3ABab不共線，假設AB

＝b，C28，D＝a求證：A，B，D三點共線；kka＋ba＋kb共線．6三、答案與解析①錯誤．兩向量共線要看其方向而不是起點與終點．②正確．由于向量既有大小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實數(shù)，故可以比較大小．③錯誤．當a＝0時，無論λ為何值，λa＝0.④錯誤．當λ＝μ＝0時，λa＝μb，此時，abA.【解析】①錯誤．兩個向量起點一樣，終點一樣，則兩個向量相等；但兩個向量相等，不肯定有一樣的起點和終點．②錯誤．|a|＝|b|a，ba，b不肯定相等或相反．③正確．由于BC，所以|B|C|且//C；又A，B，CD是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形．④錯誤．當a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|a∥ba＝b的充要條件，而是必要不充分條件．故填③.【解析】由題意，對于①中，由a//b，|a||b|，則向量a與b同向或反向，當向量a與b同向時，可得ab，當向量a與b反向時，則ab，所以不正確的；對于②中，假設ab，依據(jù)相等向量的概念，可得a//b且|a||b|，所以是正確的；對于③中，假設a與b方向一樣且|a||b|，依據(jù)相等向量的概念，可得ab，所以是正確的；對于④中，假設ab，依據(jù)向量的概念，則a與b方向不肯定相反且不肯定|a||b|，所以不正確.應選：B.4①AEEBBCABBCAC②AB+BC+CD+DE+EF+FA0.③ABBCAD＝AC－AD＝DC.④(AB－CD)－(AC－BD)＝(AB＋BD)－(AC＋CD)＝AD－AD＝0.⑤MBACBM(BMMB)AC0ACAC；1 2 1 2 1 5.C.結合圖形易得，a＝－e－4e，b＝－2e－ea－b＝e－31 2 1 2 1 .BBEB1DB11(BC)3B1

C，應選2 2 2 4 4-→→→1→→1→→ 2→1→2 1AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋bA.3 3 3 3 3 3假設兩向量共線，則由于非零向量a、babb，7所以必有a=2b；代入可知只有A. C滿足；假設兩向量不共線，留意到向量模的幾何意義，所以可以構造如下圖的三角形，使其滿足OB=AB=BC；令OAaOBb,則BAab所以CAa2babbBA+BC>ACab+b>a2b2ba2b.A. 1 1 1 1 1 1 【解析：MNMCCN AC CB AC (ABAC) AB AC3 2 3 2 2 6

xAByAC，1 1xy.所以＝xy.2

，＝－6【證明】:CDEFEFFCCDDE0，ABFEEFFBBAAE0，EFEFCFDCEDBFABEA(CFBFEDEAABDC．E、FAD、BCEDEA0CFBF0EFEFABDC【解析：如圖〔1〕所示，AB為汽艇在靜水中的速度，AD為水流速度，由平行四邊形法則可知，小汽艇在實際速度為ACABAD，在Rt△ADC中，|AD|6，|DC||AB|12，|AC|6 513.4，∠CAD≈63°43′．即小汽艇在河水中的速度大小約為13.4km/h63°43′．〔2〕ACACABBCRt△ABC中，|AB|12|BC|6，從而∠BAC=30°，∠BAE=60°，即小汽艇應沿與河岸成60°角的方向逆水行駛，才能沿垂直河岸方向到達對岸． 12. 解析由得AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC故AD∥BC.又由于AB與CDABCDC.13.e≠0R，a＝ee，b＝2eabk，使得1 1 2 11 2 1 2 1 1 a＝kbee＝2ke，所以e＝(2k－1)ee∥e或λ＝0.應選D.4由于4AB3ADAC，所以3AB3ADACAB，所以3DBBC1 2 1 2 1 1 DBBC有公共端點BC，B，D三點共線，且|BC|3|DB|BD正確，A錯誤，8由4AB3ADACAC3AB3ADAB3DBAB，所以|AC||DB|，所以C錯誤，應選：BD由得CD2a8b(ab)a5b，所以BD，即，，D故BDBD1BC1ACAB1AC1AB，44ADAB44ADABBDAB1AC1AB3AB1AC.4 444BE44BEAEAB2ACAB.

2AC，所以〔2〕AM

3 3AB2AC.2AB2ACBMAMABAB2AC.3 9 3 9BE2ACBE2ACAB33

AB2

AC，所以BE3BMBE3BMBEBM共線.39 BEBMB，所以B，E，M三點共線.由CC可知CB(CD)，所以D1＝－，1 1＝－，

1)C1

B，又D1B43 3

C

λ 31－＝，所 1 41－＝ ..

解得

＝－3D.*3【解析】:

.BDAB，由于，D三點共線，所以//BDAB，即3ke1

2k1e2

1

2e2

3e1

2e.2 3k3

k9由于e與e