幾何機動分析結(jié)構力學

關于幾何機動分析結(jié)構力學第1頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三1-1-1幾何不變體系、幾何可變體系1幾何不變體系如果不考慮材料的變形，在任意荷載作用下，一個體系內(nèi)的各桿件之間不存在發(fā)生剛體位移的可能。那么，稱這個體系為幾何不變體系，如圖1-1所示。常規(guī)的工程結(jié)構絕大部分都是幾何不變體系。第2頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三2幾何可變體系

如果不考慮材料的變形，盡管受到很小的作用力，一個體系內(nèi)的各桿件之間存在發(fā)生剛體位移的可能。那么，稱這個體系為幾何可變體系。幾何可變體系又可以分為兩種，一種是幾何常變體系，另一種是幾何瞬變體系。（1）幾何常變體系幾何常變體系是指體系內(nèi)部可以發(fā)生“有限量”的剛體位移。這里，“有限量”的含義是指體系的剛體位移值與體系本身的幾何尺寸在數(shù)學上屬同一量級。第3頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三圖1-2（a）所示體系，上部結(jié)構為鉸接四邊形，內(nèi)部桿件之間存在發(fā)生“有限量”剛體位移的可能，是幾何可變體系。圖1-2（b）所示體系，雖然，上部結(jié)構為鉸接三角形，內(nèi)部桿件之間不存在發(fā)生剛體位移的可能，是幾何不變體系。但是，如果把上部的三角形結(jié)構按照圖1-2（b）所示方法建造在下面的基礎上，則上部結(jié)構與基礎之間就存在發(fā)生水平“有限量”剛體位移的可能。此時，由上部結(jié)構和基礎組成的大體系就是幾何常變體系。圖1-2幾何常變系第4頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三幾何常變體系只能在特定荷載下維持平衡，在一般荷載作用下均可能發(fā)生運動，因此幾何常變體系不能作為常規(guī)的工程結(jié)構。（2）幾何瞬變體系這是一類比較特殊的體系，原本是一個幾何可變體系，但經(jīng)過“微小量”位移以后，就變成了幾何不變體系。這類體系，被稱為幾何瞬變體系。圖1-3所示體系為幾何瞬變體系的一種形式。在后面的分析中可以看到，幾何瞬變體系在常規(guī)荷載作用下，能產(chǎn)生很大的內(nèi)力和位移，因此，也不能作為常規(guī)的工程結(jié)構。第5頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三1-1-2剛片、自由度和約束1剛片幾何組成分析時，為了表述方便，常把幾何不變體系稱為剛片。因此，剛片可以是一根桿件，也可以是一個體系中部分桿件組成的小體系。支撐上部結(jié)構的基礎通常也視為一個剛片。如圖1-4a中陰影部分所示。第6頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三在幾何組成分析中，在保證與體系其它部分連接形式不變的前提下，剛片是可以替換的。因為，這樣的替換不改變體系的自由度和約束的情況。因此，體系的幾何組成結(jié)論不變。例如：圖1-4a中的剛片Ⅰ是一根折桿，與體系的其它部分用鉸連接?？梢杂米詈唵蔚闹睏U來替換。同理，剛片Ⅱ也可以用直桿替換。如圖1-4所示。這樣的替換會使結(jié)構的分析變得簡單。第7頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三2自由度所謂自由度是一個體系相對某個參照系的獨立運動方式，自由度的數(shù)目在數(shù)值上等于確定體系在這個參照系中的位置需要的獨立坐標數(shù)。幾何組成分析中，通常以要分析的體系中某個剛片為參照系。因此，本書中的自由度是指體系內(nèi)部相對的獨立運動方式，即體系的內(nèi)部自由度。第8頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三例如：圖1-5（a）所示的兩個剛片組成的體系。兩個剛片之間可以發(fā)生相對水平運動、相對豎向運動和相對轉(zhuǎn)動。因此，體系的內(nèi)部自由度為3。同理，在圖1-5（b）所示的點A和基礎組成的體系中，點A和基礎之間可以發(fā)生相對水平運動和相對豎向運動。因此，體系的內(nèi)部自由度為2；當然，在剛片和基礎組成的體系中，其內(nèi)部自由度為3（圖1-5（c））第9頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三3約束能夠限制運動的裝置稱為約束。體系的自由度數(shù)目可因加入約束而減少。能夠減少幾個自由度，就稱為幾個約束。常見的約束有如下幾種。（1）鏈桿圖1-6所示為剛片AB和基礎組成的體系。沒有鏈桿時，該體系內(nèi)部有3個自由度。加上鏈桿后，A點不能沿鏈桿方向運動，剛片AB和基礎之間只有兩個獨立的相對運動方式，即水平方向的平動和剛片AB繞A點的轉(zhuǎn)動。此時，體系內(nèi)部的自由度數(shù)目已由3減少到2。第10頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三由此可見，一根鏈桿相當于1個約束，可減少1個自由度?！版湕U”的定義是廣泛的。任何幾何不變體系（剛片），只要它與體系的其它部分僅以兩個單鉸連接，都可視為沿兩個單鉸連線方向的鏈桿。鏈桿的約束作用就是使它所聯(lián)系的兩點之間的距離保持不變。第11頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三（2）鉸結(jié)點:一種是單鉸結(jié)點，另一種是復鉸結(jié)點。僅連接兩個剛片的鉸稱為單鉸結(jié)點。圖1-7（a）所示為剛片AB和BC組成的體系。沒有鉸B時，體系內(nèi)部有3個自由度。用鉸結(jié)點連接后，兩個剛片之間只能發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。因此，只需1個坐標（兩個剛片之間的相對轉(zhuǎn)角）就可以確定體系內(nèi)部各剛片之間的相對位置了。此時體系的自由度數(shù)目由3減少到1。由此可見，一個連接兩個剛片的單鉸結(jié)點相當于兩個約束，可減少2個自由度。單鉸結(jié)點第12頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三上圖所示為剛片AB、BC、BD組成的體系。若沒有鉸B，則體系內(nèi)部共有6個自由度。用鉸結(jié)點連接后，體系的自由度為2（任意兩個剛片相對于另一個剛片的轉(zhuǎn)角），減少的自由度數(shù)目為4。若用m表示復鉸結(jié)點連接的剛片數(shù)，用n表示復鉸結(jié)點減少的自由度數(shù)目，則不難得出關系式：n=2(m-1)。因此，連接m個剛片的復鉸結(jié)點相當于m-1個單鉸結(jié)點。復鉸結(jié)點：連接三個或三個以上剛片的鉸。復鉸結(jié)點第13頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三與“鏈桿”的定義相似，“鉸”的定義也是廣泛的。鉸的約束作用是使它所聯(lián)系的剛片只能繞其轉(zhuǎn)動。因此，理論力學中的“瞬時轉(zhuǎn)動中心”在廣義上也是鉸。因為是兩個桿件延長線的交點，故稱其為虛鉸。第14頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三（3）剛結(jié)點：有單剛結(jié)點和復剛結(jié)點兩種從圖1-8（a）中不難看出，連接兩個剛片的單剛結(jié)點可以減少3個自由度。與復鉸結(jié)點類似，復剛結(jié)點（圖1-8（b））可減少的自由度數(shù)目為3(m-1），相當于m-1個單剛結(jié)點。其中，m為連接的剛片數(shù)。第15頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三1-2-1兩個剛片用一個鉸和一根鏈桿連接組成的體系圖1-9所示為兩個剛片組成的體系。如果只用一個鉸A連接兩個剛片（圖1-9（a）），很明顯，這個體系內(nèi)部只有1個自由度（兩剛片之間的相對轉(zhuǎn)角），是幾何可變體系。如果在該體系上增加鏈桿1（圖1-9（b）），則體系就變成了幾何不變體系。這種能夠減少體系自由度的約束稱為必要約束。第16頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三再考察圖1-9（c）和圖1-9（d）兩種情況。若鏈桿1通過鉸A，則起不到減少自由度的作用，體系仍為幾何可變體系；若再增加鏈桿2，很明顯，該鏈桿對體系的幾何穩(wěn)定性不起作用。這種不能較少體系自由度的約束稱為多余約束。多余約束對于保持體系的幾何穩(wěn)定性來說是不必要的，但后面將會看到，多余約束對于改善結(jié)構的受力、增加結(jié)構的安全度等方面來說是需要的。第17頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三由上面的分析，可以得出以下幾何不變體系的組成規(guī)律。規(guī)律1

兩個本身無多余約束的剛片用一個單鉸和一個不通過該鉸的鏈桿相連，則組成的體系為幾何不變體系，且無多余約束。1-2-2兩個剛片用三根鏈桿連接組成的體系在圖1-10（a）中，若體系中只有鏈桿1和鏈桿2，用O1表示它們的交點，顯然兩個剛片可以發(fā)生以O1為瞬時轉(zhuǎn)動中心（也稱虛鉸或瞬鉸）的微小轉(zhuǎn)動。這時，兩剛片之間的瞬時相對運動情況與兩剛片在O1點用實鉸連接時的運動情況完全相同。因此，對照規(guī)律1，如果圖中鏈桿3不通過O1點，則該體系為幾何不變體系，故可以這樣描述該體系的幾何組成規(guī)律。第18頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三規(guī)律2

兩個本身無多余約束的剛片用三根既不相互平行，（延長線）又不相交于一點鏈桿連接，則組成的體系為幾何不變體系，且無多余約束。在規(guī)律2中，將規(guī)律1中的“鏈桿不通過鉸”的條件，換成了“鏈桿既不相互平行，（延長線）又不相交于一點”。因此，這兩條規(guī)律在本質(zhì)上也是一樣的。第19頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三若三根鏈桿的延長線交于一點（圖1-10（b）），則兩個剛片將以這個交點作為瞬時轉(zhuǎn)動中心，發(fā)生微小的相對轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動后，三根鏈桿的延長線便不再交于一點。因此，該體系為幾何瞬變體系。若三根鏈桿（圖1-10（c））交于一點（實鉸），很明顯，轉(zhuǎn)動將繼續(xù)下去，體系為幾何可變體系。下面討論一下三根鏈桿相互平行的情況。圖1-11（a）所示體系中，三根鏈桿平行且等長，而且從剛片的同一側(cè)連出，很明顯是幾何常變體系。圖1-11（b）中，三根鏈桿平行且不等長，兩個剛片將發(fā)生微小相對水平位移，之后三根鏈桿便不在全平行，體系變成幾何不變體系。因此，原體系為幾何瞬變體系。第20頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三圖1-11（c）中，三根鏈桿平行且等長，但鏈桿從剛片的兩側(cè)連出，兩個剛片發(fā)生微小相對水平位移后，三根鏈桿將不在全平行，體系變成幾何不變體系。因此，原體系也為幾何瞬變體系。第21頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三1-2-3三個剛片用三個鉸連接組成的體系由規(guī)律1可知，圖1-12（a）所示體系為幾何不變體系，且沒有多余約束。現(xiàn)在，將該體系中的鏈桿BC看成一個剛片，如圖1-12（b）所示。當然，這個體系的幾何組成不變。對照規(guī)律1，可以這樣描述這個三剛片體系的組成規(guī)律。第22頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三規(guī)律3

三個本身無多余約束的剛片，用不在一條直線上的三個鉸兩兩相連，則組成的體系為幾何不變體系，且無多余約束。

在規(guī)律3中，將規(guī)律1中的“鏈桿不通過鉸”的條件，換成了“三鉸不共線”。因此，兩條規(guī)律在本質(zhì)上是一樣的，只是描述的角度不同而已。在具體問題中，要注意靈活應用。在實際分析中，常遇到三鉸中存在虛鉸在無窮遠的情況。為此，可以應用下列射影幾何中關于無窮遠直線和無窮遠點的結(jié)論：（1）一組平行直線相交于同一個無窮遠點；（2）方向不同的平行直線相交于不同的無窮遠點；（3）平面上無窮遠點均在同一直線上，這條直線稱為無窮遠直線。（4）任何有限遠點均不在這條直線上。第23頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三1一個鉸在無窮遠的情況第24頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三圖（a）中，虛鉸O(Ⅰ,Ⅱ)在無窮遠處，另外兩個鉸的連線與無窮遠方向不平行，所以體系為幾何不變體系。若另外兩個鉸的連線與無窮遠方向平行，則體系為幾何瞬變體系（圖（b））。特殊地，若組成無窮遠虛鉸的兩根鏈桿平行且等長，則體系為幾何常變體系（圖（c））。第25頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三2兩個鉸在無窮遠的情況第26頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三圖1-14(a)所示體系，有兩個無窮遠虛鉸和一個有限位置的虛鉸，體系為幾何不變體系。若兩個無窮遠虛鉸的四根鏈桿平行，則可認為在該方向上有一個無窮遠虛鉸，這個鉸與有限位置的虛鉸當然共線，因此，體系為瞬變體系（圖1-14（b））。更進一步，若這四根鏈桿平行且等長，則體系為常變體系（圖1-14（c））。第27頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三3三個鉸在無窮遠的情況

圖1-15(a)所示體系，三個無窮遠鉸在不同的方向上，均在無窮遠直線上，體系為幾何瞬變體系。圖1-15（b）所示體系，因為組成無窮遠鉸的三對鏈桿平行且等長，三鉸鉸一直為無窮遠鉸。因此，體系是幾何可變體系。第28頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三1-2-4二元體規(guī)律用一個單鉸連接的兩個本身無多余約束剛片，分別僅在其它一個位置用鉸與其它體系連接，且這三個鉸不共線。這兩個剛片及連接兩個剛片的單鉸組成的體系稱為二元體。如圖1-16（a）所示的剛片Ⅰ、剛片Ⅱ和單鉸A就構成了一個二元體。第29頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三幾何組成分析時，在一個體系中正確判斷哪部分是二元體是非常有用的。初學者在判斷時也比較容易出錯。例如：圖中1-16（b）中，鉸A不是單鉸，所以，剛片Ⅰ、剛片Ⅱ和鉸A組成的體系就不是二元體。再觀察圖1-16（c），除在A點外，剛片Ⅰ在其它兩個位置與其它體系連接。這時，剛片Ⅰ、剛片Ⅱ和鉸A組成的體系也不是二元體。基于二元體的定義，如果原體系是幾何不變體系，在體系上增加二元體后，由三剛片規(guī)律（規(guī)律3）可知，新體系一定是幾何不變體系。第30頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三去掉二元體的情況與此類似。于是得出如下二元體規(guī)律:規(guī)律4

在一個體系上增加或去掉二元體不會改變體系的幾何組成。如果原體系是幾何可變的，則由于二元體中的兩個剛片限制了單鉸點的自由度。因此，在這個體系上增加二元體不會較少體系的自由度。所以，增加二元體后的新體系仍然是幾何可變的。第31頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三【例題1-1】分析圖1-17（a）所示體系的幾何組成?！窘狻吭趫D1-17（a）所示體系中，可以很容易判斷出EFD組成的小體系是一個二元體，將其去掉得到圖1-17（b）所示體系。在新體系中，CED也組成了一個二元體，也可以去掉。接下來，還可以去掉ACD組成的二元體。這樣，就得到了圖1-17（c）所示的簡化體系，該體系為幾何不變體系，且沒有多余約束。根據(jù)規(guī)律4，原體系也是幾何不變體系。第32頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三【例題1-2】

分析圖1-18（a）所示體系的幾何組成。

【解】該題中的上部體系與基礎之間用一個鉸和一個不通過鉸的鏈桿連接，這是幾何不變體系的連接形式。如果上部體系幾何不變，原體系也幾何不變；若它幾何可變，原體系也為幾何可變。因此，可以將圖1-18（a）中的基礎和相應的約束（鉸和鏈桿）去掉，直接分析上部體系（圖1-18（b））。第33頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三圖1-18（b）所示體系，依次去掉二元體后，得到圖1-18（c）所示體系。很明顯，該體系有一個自由度。所以原體系也是有一個自由度的常變體系?？偨Y(jié)當基礎（剛片）與上部體系之間用幾何不變體系的組成規(guī)律連接時，可以將基礎（剛片）和相應的約束去掉，直接分析余下的體系。余下體系的分析結(jié)論就是原體系的結(jié)論。第34頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三【例題1-3】分析圖1-21（a）所示體系的幾何組成。

【解】折桿AD和CE的約束作用與連接AD兩點和EC兩點的直桿相同，可用直桿替換，如圖1-21（b）所示。將DBE和基礎當做剛片，用三根鏈桿連接，因三桿延長線交于一點，故體系為瞬變體系?？偨Y(jié)

分析中，可以將復雜剛片，在保持與其它部分的連接形式不變的情況下，用直桿代替。這樣，可以使分析得到簡化。第35頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三【例題1-4】分析圖1-22（a）所示體系的幾何組成。

【解】這個體系共有9根桿件，又沒有可以組成的三角形。因此，可以考慮將其中3根桿件看成剛片，其余6根桿件（相當于三個鉸）看成是約束，用三剛片的組成規(guī)律來分析。首先，選出剛片Ⅰ，則與剛片Ⅰ連接的桿件就一定不是剛片，如圖1-22（b）中虛線所示。這樣其它兩個剛片就好找了。很明顯，連接三個剛片的虛鉸不在一條直線上，因此，體系為幾何不變體系，且沒有多余約束。第36頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三讀者可以試著選擇其它桿件作為剛片進行分析?？偨Y(jié)對于應用三剛片規(guī)律分析的體系，選擇剛片是一個難點。對于這道例題，可以先選定一個桿件作為剛片，則與其相連的桿件就一定是連接剛片的鏈桿。進一步，與這些鏈桿連接的其它桿件則是剛片。選擇出兩個剛片后，第三個剛片就好找了。第37頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三【例題1-5】分析圖1-24（a）所示體系的幾何組成。

第38頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三【解法一】本題可以只分析上部體系。題中三角形較多，可將三角形選做剛片，如圖1-24（b）所示。很明顯，三個剛片用三個不在一條直線上的三個鉸A、B、C相連。因此，原體系為幾何不變體系，沒有多余約束。

【解法二】

分析上部體系時，也可以采用依次去掉二元體的方法，最后只剩下一根桿件（圖1-24（c），這是一個本身無多余約束的剛片。結(jié)論同上。第39頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三【例題1-6】試分析圖1-26a所示結(jié)構的幾何組成【解法一】首先，去掉右上角的二元體；因為上部體系與地基之間有4個約束，可仿照例題1-9的方法進行分析。原體系內(nèi)部桿件較多，考慮先將左邊的三角形和基礎組成一個大剛片，再選圖示的另外兩個剛片，用三剛片規(guī)則分析（三個鉸的位置為A、B、C），結(jié)論為無多余約束幾何不變體系。第40頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三【解法二】本題中因為左邊的三角形與基礎連成了大剛片，則原體系中，桿件1、2、3就可以等效成與基礎相連的鏈桿，如圖1-26（c）所示。這時，再選擇剛片就容易得多了?！纠}1-7】試分析圖1-27（a）所示結(jié)構的幾何組成。第41頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三【解】本題的上部體系與基礎之間用兩個鉸連接，根據(jù)鏈桿的廣泛定義，基礎可以用連接兩個鉸的直桿代替（圖1-27（b）），而不影響分析結(jié)論。在圖1-27