函數(shù)極限與連續(xù)高等數(shù)學

關于函數(shù)極限與連續(xù)高等數(shù)學第1頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三函數(shù)的定義反函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間關系基本初等函數(shù)復合函數(shù)初等函數(shù)函數(shù)的性質奇偶性單調性有界性周期性第2頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三1、函數(shù)的定義第3頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三▲函數(shù)的兩要素:定義域與對應法則.自變量因變量對應法則f辨別下列各對函數(shù)是否相同,為什么?不同,定義域不同

不同,對應關系不同

相同,定義域和對應關系都相同第4頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三▲函數(shù)的定義域在實際問題中，函數(shù)的定義域由問題的實際意義確定。

用解析式表示的函數(shù)，其定義域是自變量所能取的使解析式有意義的一切實數(shù)，通常要考慮以下幾點：(6)如果函數(shù)表達式是由幾個數(shù)學式子組合而成，則其定義域應取各部分定義域的交集。(1)在分式中，分母不能為零；(2)在根式中，負數(shù)不能開偶次方根；

(3)在對數(shù)式中，真數(shù)必須大于零；(5)y=arcsinx和y=arccosx中,x∈[-1,1]第5頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三例：求下列函數(shù)的定義域

［Ａ］．即所以定義域為(-∞,-4)∪(-4,1)∪(1,+∞)即解得所以定義域為[-1,1)∪(1,+∞)(2)要使函數(shù)有意義,必須有且有解:(1)要使函數(shù)有意義，必須有分母取其公共部分第6頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三解所以定義域為(-3,+∞)(4)要使函數(shù)有意義,必須有

所以定義域為(-1,1)[B].(3)(4)(3)要使函數(shù)有意義，必須有解得練習：P923第7頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三例.設,求下列函數(shù)值

解:

解:解：

1）2）3）第8頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三(1)函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)奇函數(shù)yxo2、函數(shù)的性質第9頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三(2)函數(shù)的單調性:

設函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間ID，如果對于區(qū)間I上任意兩點及，當時，恒有：(1),則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調增加的；或(2),則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調遞減的；單調增加和單調減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調函數(shù)。第10頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三(3)函數(shù)的有界性:第11頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三設函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個不為零的數(shù)l,使得對于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,則稱f(x)為周期函數(shù),l稱為f(x)的周期.（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.(4)函數(shù)的周期性:oyx第12頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三第13頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三說明：反函數(shù)與直接函數(shù)之間的關系3、反函數(shù)第14頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三6、基本初等函數(shù)1）冪函數(shù)2）指數(shù)函數(shù)3）對數(shù)函數(shù)4）三角函數(shù)5）反三角函數(shù)第15頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三1.冪函數(shù)第16頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三2.指數(shù)函數(shù)第17頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三3.對數(shù)函數(shù)第18頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三4.三角函數(shù)正弦函數(shù)第19頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三余弦函數(shù)第20頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三正切函數(shù)第21頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三余切函數(shù)第22頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三5.反三角函數(shù)第23頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三第24頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三第25頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).第26頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三7、復合函數(shù)8、初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).練習：P1011第27頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三左右極限兩個重要極限求極限的常用方法無窮小的性質極限存在的充要條件判定極限存在的準則無窮小的比較極限的性質數(shù)列極限函數(shù)極限等價無窮小及其性質唯一性無窮小兩者的關系無窮大第28頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三1、極限第29頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三第30頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三左極限右極限第31頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三函數(shù)的極限與左、右極限有如下關系：2.常用來判斷分段函數(shù)在分段點的極限是否存在例判斷函數(shù)

在點處是否有極限.

解:因為所以說明：1.左極限與右極限中只要有一個不存在，或者都存在但不相等，則函數(shù)的極限不存在。第32頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三左右極限存在但不相等,證習題：P183第33頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三定理(唯一性定理)如果函數(shù)在某一變化過程中有極限，則其極限是唯一的．定理(有界性定理)若函數(shù)f(x)當x→x0時極限存在，則必存在x0的某一鄰域，使得函數(shù)f(x)在該鄰域內有界．函數(shù)極限的性質第34頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三定理(保號性)推論第35頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三無窮小:極限為零的變量稱為無窮小.絕對值無限增大的變量稱為無窮大.無窮大:在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.無窮小與無窮大的關系2、無窮小與無窮大第36頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三性質3在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.性質1有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.性質2有限個無窮小的乘積也是無窮小.無窮小的運算性質第37頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三一、無窮小量二、無窮小的性質三、極限與無窮小的關系四、無窮大量五、無窮小與無窮大的關系六、小節(jié)補充無窮大與無窮小第38頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三定義若變量Y在某過程下以零為極限，則稱變量Y在此過程下為無窮小量，簡稱無窮小.例1例2時的無窮小量.時的無窮小量.因為所以因為所以一、無窮小量第39頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三例如函數(shù)時的無窮小，但當時不是無窮小。當時，的極限不為零，所以當時，函數(shù)不是無窮小，而當時是無窮小量。應該注意無窮小量是在某一過程中，以零為極限的變量，而不是絕對值很小的數(shù)。因此應明確指出其變化過程。

第40頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三(4)

有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小.(3)常量與無窮小的乘積仍為無窮小.(2)有限個無窮小的乘積仍為無窮小.注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.

(1)有限個無窮小的代數(shù)和仍為無窮小.二、無窮小的性質定理在自變量的同一變化過程中第41頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三例3解注意這個極限不能用極限的四則運算法則求得，因為不存在.所以時的無窮小量.為有界變量,第42頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三三、無窮小與函數(shù)極限的關系:證必要性充分性第43頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三定義在自變量x的某一變化過程中,若函數(shù)值的絕對值無限增大，則稱f(x)為此變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大.記作四、無窮大量第44頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三特殊情形：正無窮大，負無窮大．注意1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3.無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.第45頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三簡言之無窮小與無窮大的關系為：在自變量的同一變化過程中，無窮大的倒數(shù)是無窮小,無窮小(不等于0)的倒數(shù)是無窮大.定理在自變量的同一變化過程中，若f(x)為無窮大,則為無窮小;反之,若f(x)為無窮小且f(x)不等于0,則為無窮大.例如：五、無窮小與無窮大的關系第46頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三以后，遇到類似例6的題目，可直接寫出結果.例4解例5考察

當時，為無窮大量；

當時，為無窮小量；第47頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三六、小結1、主要內容:兩個定義;定理.2、幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1）無窮?。ù螅┦亲兞?不能與很小（大）的數(shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.（3）無界變量未必是無窮大.第48頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三定理推論1推論23、極限的性質第49頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三4、求極限的常用方法a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.第50頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三求極限方法舉例例2解例1解：原式第51頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三小結:第52頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關系,得例3第53頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三解例4(消去零因子法)第54頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三練習解解第55頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三分母有理化，分子有理化第56頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三解：第57頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三例5解(無窮小因子分出法)第58頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三例6

，然后再求極限，得分母同時除以分子,3x解第59頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三小結:無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.第60頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三練習解第61頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三例7解先變形再求極限.第62頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三例8解第63頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三例9解左右極限存在且相等,第64頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三說明：1．什么情況下，需要分別求左右極限（１）求分段函數(shù)連接點處的極限

（２）被考慮的函數(shù)中，含有某些項其左右極限不相等

２.下列幾個極限不存在第65頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三一個重要的結論則有例題練習：P19－201第66頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三5、判定極限存在的準則(夾逼準則)第67頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三(1)(2)6、兩個重要極限第68頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三=0注意：(1)第69頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三例1解1coslim0此題中用到xx=?例2解第70頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三例3解第71頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三練習：解答：第72頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三(2)注意：第73頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三例4解練習：或第74頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三例題第75頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三例5解第76頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三定義:7、無窮小的比較第77頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三定理(等價無窮小替換定理)8、等價無窮小的性質第78頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三幾個重要的等價無窮?。寒敃r，

第79頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三例解不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.注意第80頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三例解解錯第81頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三左右連續(xù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的性質初等函數(shù)的連續(xù)性間斷點定義連續(xù)定義連續(xù)的充要條件連續(xù)函數(shù)的運算性質非初等函數(shù)的連續(xù)性振蕩間斷點無窮間斷點跳躍間斷點可去間斷點第一類第二類第82頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三1、連續(xù)的定義第83頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三從而，則一定滿足以下條件第84頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三例1證由定義2知第85頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三第86頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三2.單側連續(xù)定理3、連續(xù)的充要條件第87頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三例2解右連續(xù)但不左連續(xù),第88頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如通俗的說即一筆劃過第89頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三5、間斷點的定義第90頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三1.跳躍間斷點例解6、間斷點的分類第91頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三2.可去間斷點例第92頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三解注意

可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.如上例中,第93頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點:可去型第一類間斷點跳躍型0yx0yx第94頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三3.第二類間斷點例解第95頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三例解第96頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三例解函數(shù)在x=-1,x=0,x=1處沒有定義所以x=-1,x=0,x=1是函數(shù)的間斷點所以x=-1是函數(shù)的無窮間斷點所以x=0是函數(shù)的跳躍間斷點(Ⅰ)(Ⅱ)第97頁，講稿共110頁，2023年5月2日，星期三所以x=1是函數(shù)的可去間斷點(Ⅲ)第98頁，講稿共110頁，20