(復(fù)習(xí)指導(dǎo))第八章第一講直線的傾斜角、斜率與直線的方程含答案

第八章解析幾何第一講直線的傾斜角、斜率與直線的方程知識(shí)梳理?雙基自測(cè)［知［識(shí)［梳畫(huà)知識(shí)點(diǎn)一直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與1軸相交時(shí)，我們?nèi)。ポS作為基準(zhǔn)，把％軸正向與直線l向上—方向之間所成的角a叫做直線l的傾斜角.當(dāng)直線l與1軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.(2)傾斜角的取值范圍為［0°,180°).知識(shí)點(diǎn)二直線的斜率(1)定義：一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即k=tana，傾斜角是90°的直線斜率不存在.(2)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(11,yp,P2(12,y2)(其中iF12)的直線的斜率公式為k=__=知識(shí)點(diǎn)三直線方程的五種形式名稱(chēng)方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)—y0=k(1—10)—不含直線1=10斜截式y(tǒng)=ki+b不含垂直于1軸的直線兩點(diǎn)式y(tǒng)—y1=1—11y2_yJ12_11不含垂直于坐標(biāo)軸的直線截距式1+y=1ab不含垂直于1軸、平行于1軸和—過(guò)原點(diǎn)的直線一般式A1+By+C=0其中要求-A2+B2W0.適用于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的所有直線國(guó)畫(huà)畫(huà)囤直線的傾斜角a和斜率k之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系:a0°0°<a<90°90°90°<a<180°k0k>0且a越大，k就越大不存在k<0且a越大，k就越大［雙國(guó)亙題組一走出誤區(qū)1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)(1)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率.(X)(2)直線的傾斜角越大，其斜率就越大．(X)⑶斜率相等的兩直線的傾斜角一定相等.(V)(4)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0,b)的直線都可以用方程y=kx+b表示.(X)(5)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用：+b=1表示.(X)(6)經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1a1,匕)，P2(x2,y2)的直線都可以用方程(y—y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示?(V)題組二走進(jìn)教材2.(必修2P38T3)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(4,2y+1),B(2,-3)的直線的傾斜角為3n，則y=(B)TOC\o"1-5"\h\zA．-1B．-3C.0D.2「2y+1—(—3)2y+4,~［解析］由4一2=2=y+2，彳得y+2=tan4=-1,..y=-3.3.(必修2P100A組T9)過(guò)點(diǎn)P(2.3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為3x-2y=0或x+y-5=0.［解析］當(dāng)截距為0時(shí)，直線方程為3x-2y=0；當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為x++y=1,aa23貝卜+-=1,解得a=5.所以直線方程為x+y-5=0.aa題組三走向高考4.(2016.北京,7)已知A(2,5),B(4,1),若點(diǎn)P(x,y)在線段AB上，則2x—y的最大值為(C)A.-1B.3C.7D.8［解析］線段AB的方程為y—1=27Z4(x-4),2WxW4.即2x+y—9=0,2WxW4,因?yàn)镻(x,y)在線段AB上，所以2x—y=2x—(—2x+9)=4x—9.又2WxW4,則一1W4x—9W7,故2x—y最大值為7.45.(2010.遼寧)已知點(diǎn)P在曲線y=上，a為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則a的ex+1

取值范圍是(D)A.714B.［解析］3n了」D.3n_1由題意可知切線的斜率k=tana=取值范圍是(D)A.714B.［解析］3n了」D.3n_1由題意可知切線的斜率k=tana=-4ex

(ex+1)2—4,-/1,，一1Wtana<0,又0Waex+-+2ex考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率——自主練透3n一一、”<n,A—Wa<n,故選D.考點(diǎn)突破?互動(dòng)探究計(jì)例1(1)(2021.蘭州模擬)直線2xcos的傾斜角的變化范圍是(BA.)[n，n]C.S,2nn」B_4,3」一n2nD._4,_(2)(2020?貴州遵義航天高級(jí)中學(xué)期中，11)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,-1)作直線l，若直線l與連接A(1,-2),B(2,1)的線段總有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍為(A)A.0,n4_BA.0,n4_B.C.14nD.n0，4」A.ec.e[解析A.ec.e[解析](1)直線2xcosa一y—3=0的斜率k=2cosan3.,所以上3a,(3)已知曲線f(x尸Inx的切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則此切線的斜率為(CB.-e1D.--e因此k=2cosa引1,4］.設(shè)直線的傾斜角為仇則有tan6引1,市］.由于6引0,n),所以nn4nn4，3.，即傾斜角的變化范圍是(2)如圖所示，設(shè)直線l的傾斜角為a,a￡［0,n).—1+2—1—1kpA=0—1——1'kPB=0—2=L

二直線/與連接4(1,-2),5(2,1)的線段總有公共點(diǎn),-l^tanaWl..故選A.(3)解法一：:f(x)=lnx,，x￡(0,+8),f(x)=；.設(shè)切點(diǎn)P(x0,lnx0)，則切線的斜率k=f'(x0)==丫0，，lnx0=1，x0=e，x0x0解法二(數(shù)形結(jié)合法)：在同一坐標(biāo)系中作出曲線f(x)=lnx及曲線f(x)=lnx經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的切線，如圖所示，數(shù)形結(jié)合可知，切線的斜率為正，且小于1,故選C.［引申1］若將例(2)中“有公共點(diǎn)”改為“無(wú)公共點(diǎn)”，則直線l的斜率的范圍為(一8,—1)U(1,+8).［引申2］若將題(2)中4(1,—2)改為A(—1,0),其它條件不變，求直線l斜率的取值范圍為(一8,一1］U［1,+8)，傾斜角的取值范圍為￡,3nl.［解析］二P(0二P(0，-1)，4(-1,0)，B(2,1)，—1—0?k==—1，kAp0—(—1)1kBPkBP1—(—D2—(0)如圖可知，直線i斜率的取值范圍為(一8,一uu［1，+8)，傾斜角的取值范圍為］，3n名師點(diǎn)撥⑴求傾斜角的取值范圍的一般步驟：①求出斜率k=tan?的取值范圍，但需注意斜率不

存在的情況；②利用正切函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象或單位圓，數(shù)形結(jié)合確定傾斜角?的取值范圍.(2)求直線斜率的方法:①定義法：^=tana；②公式法:③導(dǎo)數(shù)法:%—%1(2)求直線斜率的方法:①定義法：^=tana；②公式法:③導(dǎo)數(shù)法:%—%1曲線y=f(x)在x0處切線的斜率k=f(x0).n⑶注意傾斜角的取值范圍是［0,n),若直線的斜率不存在，則直線的傾斜角為n，直線垂直于x軸.〔變式訓(xùn)練1〕⑴(2021?大慶模擬)直線xsina+y+2=0的傾斜角的范圍是(B)A.[0,n)C.DC.D.nc,n(2)(多選題(2)(多選題)(2021?安陽(yáng)模擬改編)已知點(diǎn)A(1,3),線段AB相交，則k的值可以是(ABC)B(-2,-1).若直線l：y=k(x—2)+1與B.-2C.0D.［解析］B.-2C.0D.［解析］(1)設(shè)直線的傾斜角為仇則tan3=—sina，所以一1Wtan3W1,又3￡[0,n),...n.3n所以0W3W4或了W3<n,選B.(2)由已知直線l恒過(guò)定點(diǎn)P(2,1),如圖所示，y

3若l與線段AB相交，則kpAWkWkpB?kPA一―2,kPB-2,故選A、B、C.考點(diǎn)二直線的方程——師生共研*例2求適合下列條件的直線的方程:_3⑴在y軸上的截距為一5,傾斜角的正弦值是亨(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(T，3),且傾斜角為直線-、./3%+j+1=0的傾斜角的一半;(3)過(guò)點(diǎn)(5,2)且在％軸上的截距是在j軸上的截距的2倍；(4)與直線3%—4j一5=0關(guān)于j軸對(duì)稱(chēng).［解析］(1)設(shè)直線的傾斜角為a，則sina=5二.cosa=±5,直線的斜率k=tana=±4.又直線在j軸上的截距是一5,3由斜截式得直線方程為j=±%-5./4即3%-4j-20=0或3%+4j+20=0.(2)由-。%+j+1=0得此直線的斜率為一、.「，所以?xún)A斜角為120°,從而所求直線的傾斜角為60°,故所求直線的斜率為vN又直線過(guò)點(diǎn)(一而，3),所以所求直線方程為j-3=\"(%+小)，即也%-j+6=0.(3)若直線過(guò)原點(diǎn)，則其斜率左=5,此時(shí)直線方程為j=5%，即2%-5j=0.若直線不過(guò)原點(diǎn)，則設(shè)其方程為為+b=1,由2b+2=1得b=2,故所求直線方程為%+2j=1,即%+2j-9=0....所求直線的方程為%+2j-9=0或2%-5j=0.(4)直線3%-4j-5=0的斜率為4,與j軸交點(diǎn)為(0,-4)，故所求直線的斜率為-4,且過(guò)點(diǎn)(0,-4)，，所求直線方程為j=-4%-4,即3%+4j+5=0.名師點(diǎn)撥求直線方程應(yīng)注意的問(wèn)題(1)要確定直線的方程，只需找到直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，或直線上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)與直線的斜率即可.確定直線方程的常用方法有兩種：①直接法：根據(jù)已知條件確定適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫(xiě)出直線方程；②待定系數(shù)法：先設(shè)出直線方程，再根據(jù)已知條件求出待定的系數(shù)，最后代入求出直線的方程.(2)選擇直線方程時(shí)，應(yīng)注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用：選用點(diǎn)斜式或斜截式前，先討論直線的斜率是否存在；選用截距式前，先討論在兩坐標(biāo)軸上的截距是否存在或是不是0.〔變式訓(xùn)練2〕(1)已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)4—5,0),5(3,—3),C(0,2),則邊上中線所在的直線方程為％+13y+5=0.(2)直線5%—y+4=0繞其與％軸的交點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)6所得直線的方程為一值二3y±4三0.(3)已知直線l的斜率為1,且和坐標(biāo)軸圍成面積為3的三角形，則直線l的方程為％—6y+6=0或%—6y-6=0.［解析］(1)由題意可知BC的中點(diǎn)為H3，—1),故所求直線的方程為y—。=—*(%+5),即％+13y+5=0.(2)直線'3%%—y+4=0與％軸的交點(diǎn)為(一邛3,0),斜率為、/3,傾斜角0為3，可知所求方程直線的傾斜角為n，斜率k=半(或由k=tan(0一1)求)，故所求直線的方程為y=羋Q+"^3^)，即寸3%—3y+4=0.(3)設(shè)直線方程為y=1%+b，則3b2=3，Ab=±1，故所求直線方程為%—6y+6=0或%—6y—6=0.考點(diǎn)三直線方程的應(yīng)用——多維探究計(jì)例3已知直線l過(guò)點(diǎn)M(2,1),且與%軸，y軸的正半軸分別相交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).求：(1)當(dāng)4AOB面積最小時(shí)，直線l的方程；(2)當(dāng)在兩坐標(biāo)軸上截距之和取得最小值時(shí)，直線l的方程；(3)當(dāng)IMA11MBI取最小值時(shí)，直線l的方程；(4)當(dāng)IMAI2+IMB|2取得最小值時(shí)，直線l的方程.［解析］設(shè)直線的方程為%+y=1(a>0，b>0)，au則2+1=1.ab(1);2+1三21/方杲4心4,當(dāng)且僅當(dāng)2=；=1,即a=4,b=2時(shí)，△AOB面積S=7ab/ab\：2b2ab22有最小值為4.此時(shí)，直線l的方程是41+21=1.即％+2y-4=0.(2)a+b=(a+b)。+g^=3++b三3+2\，a-b=3+2\,2.故a+b的最小值為3+2\12,此時(shí)2b=a，求得b=-..;12+1,a=2+6.此時(shí)，直線l的方程為—5；；+彳￡=1.即％+■■■.2ab2十、12飛2十1y—2—2=0.1.2.....24(3)解法一：設(shè)/BAO=仇則sin0=曲，cos0=|MB|，…1MA|/MB|=sin0cos0=sin23,n、顯然當(dāng)0=4時(shí)，lMAl-lMBl取得最小值4,此時(shí)勺=—1,所求直線的方程為y—1=—(x—2),即x十y—3=0.解法二：IMAl-lMBl=—MIA-MLB=—(a—2,—1)-(—2,b—1)=2a+b—5=(2a十b)(|十/一5=2b十2a2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號(hào)，...IMAl-lMBI的最小值為4,此時(shí)直線l的方程為abx十y—3=0.解法三：若設(shè)直線l的方程為y—1=k(x—2),則A件—1，0),B(0,1—2k),.lMAl-lMBl=十1M十4k2=2—k十(一k)三4,當(dāng)且僅當(dāng)一k=—k，即k=—1時(shí)，取等號(hào).故lMAl-lMBl的最小值為4,此時(shí)直線l的方程為x十y—3=0.(4)同(3)lMAl=-17,lMBl=-^-7,sin0cos0.lMA□MBl2=-7十-^sin20cos20=(sin20+cos20)(i十熹，c,cos20,4sin20、八=5十+29.sin20cos20當(dāng)且僅當(dāng)cos20=2sin20,即tan0=?時(shí)取等號(hào).lMAl2+lMBl2的最小值為9,此時(shí)直線的斜率k=—專(zhuān)，

故所求直線的方程為y—1=一乎(%—2),即,0%+2,一2(%/2+1)=0.注：本題也可設(shè)直線方程為y-1=k(x—2)(k<0)求解.名師點(diǎn)撥利用最值取得的條件求解直線方程，一般涉及函數(shù)思想即建立目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)其結(jié)構(gòu)求最值，有時(shí)也涉及均值不等式，何時(shí)取等號(hào)，一定要弄清.〔變式訓(xùn)練3〕已知直線l過(guò)點(diǎn)M(2,1),且與x軸、y軸正半軸分別交于A、B,O為坐標(biāo)原點(diǎn).若S“°b△AOB9=2,求直線i的方程.［解析］設(shè)直線i的方程為X+b=1,au2+2+1=1<ab解得故所求直線方程為x+y=1或6+2y=1,即x+y即x+y—3=0或x+4y—6=0.名師講壇?素養(yǎng)提升(1)定點(diǎn)問(wèn)題計(jì)例4(此題為更換后新題)已知直線l：kx—y+1+3k=0(k￡R).⑴證明：直線l過(guò)定點(diǎn)；(2)若直線l不過(guò)第一象限，求k的取值范圍.［解析］(1)證明：直線l的方程可化為y—1=k(x+3),故無(wú)論k取何值，直線l必過(guò)定點(diǎn)(—3,1).(2)令x=0得y=3k+1,即直線l在y軸上的截距為2k+1.解得kW—3.解得kW—3.由題意知《由題意知3k+1W0故k的取值范圍是(一8,-3］.(此題為發(fā)