單位圓與正弦余弦線

關(guān)于單位圓與正弦余弦線第1頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三前面我們學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)。由三角函數(shù)的定義我們知道，對(duì)于角α的各種三角函數(shù)我們都是用比值來表示的，或者說是用數(shù)來表示的，今天我們?cè)賮韺W(xué)習(xí)正弦、余弦、正切函數(shù)的另一種表示方法——幾何表示法

第2頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三1.單位圓的概念一般地，我們把半徑為1的圓叫做單位圓，設(shè)單位圓的圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，則單位圓與x軸的交點(diǎn)分別為A(1，0)，A’(－1，0).而與y軸的交點(diǎn)分別為B(0，1)，B’(0，－1).(一)單位圓、有向線段的概念第3頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三2.有向線段的概念與有向線段的大小：帶有方向的線段叫有向線段；有向線段的大小稱為它的數(shù)量.有向線段的數(shù)量（數(shù)值）由其長(zhǎng)度大小和方向來決定。第4頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三例如在數(shù)軸上，|OA|=3，|OB|=3=3=-3在坐標(biāo)系中,規(guī)定:

有向線段的方向與坐標(biāo)軸的方向相同.即同向時(shí),數(shù)量為正;反向時(shí),數(shù)量為負(fù).第5頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三例1.分別作出、、的正弦線、余弦線、正切線。(四)練習(xí)第6頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三Ｐ(x,y)xyoＰ(x,y)xyoMM問題1:你能否用幾何中的方法表示三角函數(shù)？第7頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三Ｐ(x,y)xyoＰ(x,y)xyoMM第8頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三三角函數(shù)線α的終邊αOyxA(1,0)PMT有向線段稱為角α的正弦線即sinα=有向線段稱為角α的余弦線即cosα=有向線段稱為角α的正切線即tanα=第9頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三α的終邊αyxA(1,0)OPMT終邊落在第二象限sinα=cosα=tanα=第10頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三α的終邊αyxA(1,0)OPMT終邊落在第三象限sinα=cosα=tanα=第11頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三α的終邊αyxA(1,0)POMT終邊落在第四象限sinα=cosα=tanα=第12頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三α的終邊αyxA(1,0)POα的終邊αyxA(1,0)O三角函數(shù)線α的終邊αOyxA(1,0)PMTPMTα的終邊αyxA(1,0)OPMTMTsinα=cosα=tanα=第13頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三例1.分別作出、、的正弦線、余弦線、正切線。(四)練習(xí)第14頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三例2利用單位圓中的三角函數(shù)線，求滿足下列條件的角x的集合：

在0～2π之間滿足條件的角x的終邊必須在圖中陰影部分內(nèi)（包括邊界），即π/3≤x≤2π/3，故滿足條件的角x的集合為﹛x▏2kk∈z﹜在0～2π之間滿足條件的角x的終邊應(yīng)在圖中陰影部

分（不包括邊界），即Π/2<x<5Π/6或3Π/2<x<11Π/6,故滿足條件的角x的集合為﹛x▏kΠ+Π/2<x<kΠ+5Π/6,k∈z﹜第15頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三例3.比較大小：(1)sin1和sin1.5;(2)cos1和cos1.5;(3)tan2和tan3.解：由三角函數(shù)線得sin1<sin1.5cos1>cos1.5第16頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三tan2<tan3第17頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三例4.利用三角函數(shù)線證明|sinα|+|cosα|≥1.證明：在△OMP中，OP=1，OM=|cosα|,MP=ON=|sinα|，因?yàn)槿切蝺蛇呏痛笥诘谌?，所以|sinα|+|cosα|≥1。第18頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三練習(xí)2：用三角函數(shù)線證明：第19頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三例4.已知α∈(0，)，試證明sinα<α<tanα.證明：sinα=|ON|=|MP|,α

=tanα=|AT|.又所以即sinα<α<tanα.第20頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三(五)小結(jié)1.給定任意一個(gè)角α，都能在單位圓中作出它的正弦線、余弦線、正切線。2.三角函數(shù)線的位置：正弦線為從原點(diǎn)到α的終邊與單位圓的交點(diǎn)在y軸上的射影的有向線段；余弦線為從原點(diǎn)到α的終邊與單位圓的交點(diǎn)在x軸上的射影的有向線段；第21頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三3.特殊情況：①當(dāng)角的終邊在x軸上時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，點(diǎn)T與點(diǎn)A重合，這時(shí)正弦線與正切線都變成了一點(diǎn)，數(shù)量為零，而余弦線OM=1或－1。②當(dāng)角的終邊在y軸上時(shí)，正弦線MP=1或－1余弦線變成了一點(diǎn)，它表示的數(shù)量為零，正切線不存在。正切線在過單位圓與x軸正