函數極限概念

關于函數極限概念第1頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三第二章極限本章學習要求：了解數列極限、函數極限概念，知道運用“ε－δ”和“ε－X”語言描述函數的極限。理解極限與左右極限的關系。熟練掌握極限的四則運算法則以及運用左右極限計算分段函數在分段點處的極限。理解無窮小量的定義。理解函數極限與無窮小量間的關系。掌握無窮小量的比較，能熟練運用等價無窮小量計算相應的函數極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關系。理解極限存在準則。能較好運用極限存在準則和兩個重要極限求相應的函數極限。第2頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三第二章極限第二節(jié)函數的極限與性質三.極限定義及定理小結四.函數極限的基本性質第3頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三由于數列實際上可以看成是定義域為正整數域的函數,所以,可望將數列的極限理論推廣到函數中,并用極限理論研究函數的變化情形.的圖形可以看出:如何描述它？第4頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三第5頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三定義想想：如何從幾何的角度來表示該定義？第6頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三第7頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三將圖形對稱過去后,你有什么想法?將圖形對稱第8頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三定義第9頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三現在從整體上來看這個圖形,你有什么想法?第10頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三你能否由此得出一個極限的定義和一個重要的定理.現在從整體上來看這個圖形,你有什么想法?第11頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三定義第12頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三由于

|

x|>X>0x>X

或

x<X,所以,x

按絕對值無限增大時,又包含了

x

的情形.既包含了

x+,第13頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三定理及極限的三個定義即可證明該定理.由絕對值關系式:第14頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三證成立.由極限的定義可知:例1第15頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三解無限縮小,可以小于任意小的正數.因而應該有下面證明我們的猜想:證明過程怎么寫？例2第16頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三這里想得通嗎？第17頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三由圖容易看出：分析需要證明之處請同學們自己證一下.例3第18頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三例4證第19頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三

x

x0

時函數的極限,是描述當x無限接近

x0

時,

函數

f(x)的變化趨勢.第20頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三f(x)在點

x0=0處有定義.函數f(x)在點

x0=1處沒有定義.例5第21頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三定義第22頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三((第23頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三證這是證明嗎？非常非常嚴格！例6第24頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三證例7第25頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三證？如何處理它例8第26頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三這里|x+2|沒有直接的有界性可利用,但又必須設法去掉它.因為x1,所以,從某時候開始x

應充分地接近

1

.(

)0x21111+1??????????分析結論第27頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三證證畢例8第28頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三在極限定義中：1)

與

和x0有關,即=

(

,x0).一般說來,

值越小,相應的

值也越小.

2)不等式|f(x)－a|<

既要對任意的>0,同時也要對x

x0以任何方式進行都成立.3)函數f(x)以a為極限,但函數f(x)本身可以不取其極限值a.第29頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三y=a

y=a

y=axOyx0x0

x0+

曲線只能從該矩形的左右兩邊穿過第30頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三3.函數的左、右極限定義第31頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三定義第32頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三(1)左、右極限均存在,且相等；(2)左、右極限均存在,但不相等；(3)左、右極限中至少有一個不存在.找找例題！函數在點x0處的左、右極限可能出現以下三種情況之一：第33頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三y=f(x)xOy11在x=1處的左、右極限.解例9第34頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三定理利用|xx0|<

<xx0<和極限的定義,即可證得.第35頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三解例10第36頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三解例11第37頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三例12證第38頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三三、極限定義及定理小結第39頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三極限定義一覽表目標不等式過程描述度量極限形式第40頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三極限定義一覽表目標不等式過程描述度量極限形式第41頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三重要定理第42頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三在以后的敘述中,如果函數f(x)極限的某種性質與運算對任何一種極限過程均成立,則將使表示對任意一種極限過程的函數用符號四、函數極限的基本性質極限.函數極限的性質與數列極限的性質類似,我們只列舉出來,其證明過程請同學們自己看書.第43頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三1.有界性定理若limf(x)存在,

則函數

f(x)在該極限過程中必有界.2.唯一性定理若limf(x)存在,

則極限值必唯一.3.保號性定理極限值的正負與函數值正負的關系函數值的正負與極限值正負的關系第44頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三極限值的正負與函數值正負的關系該定理也稱為第一保號性定理第45頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三極限值正負與函數值正負關系的推論作輔助函數F(x)=f(x)c

再利用定理的結論即可得證.第46頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三函數值的正負與極限值正負的關系該定理也稱為第二保號性定理第47頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三第二保號性定理成立.運用反證法,設f(x)0

(f(x)0)時,有a<0(a>0),則由第一保號性定理將推出

f(x)<0

(f(x)>0)的矛盾,該矛盾就證明了第48頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三注意:當f(x)>0

(f(x)<0)時,按照第二保號性定理也只能得到a0(a0)結論.第49頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三例13第50頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三函數值正負與極限值正負關系的推論若極限limf(x)=a,

limg(x)=b存在,即

limf(x)limg(x).且在該極限過程中

f(x