函數(shù)極限概念

關(guān)于函數(shù)極限概念第1頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三第二章極限本章學(xué)習(xí)要求：了解數(shù)列極限、函數(shù)極限概念，知道運用“ε－δ”和“ε－X”語言描述函數(shù)的極限。理解極限與左右極限的關(guān)系。熟練掌握極限的四則運算法則以及運用左右極限計算分段函數(shù)在分段點處的極限。理解無窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無窮小量間的關(guān)系。掌握無窮小量的比較，能熟練運用等價無窮小量計算相應(yīng)的函數(shù)極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關(guān)系。理解極限存在準(zhǔn)則。能較好運用極限存在準(zhǔn)則和兩個重要極限求相應(yīng)的函數(shù)極限。第2頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三第二章極限第二節(jié)函數(shù)的極限與性質(zhì)三.極限定義及定理小結(jié)四.函數(shù)極限的基本性質(zhì)第3頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三由于數(shù)列實際上可以看成是定義域為正整數(shù)域的函數(shù),所以,可望將數(shù)列的極限理論推廣到函數(shù)中,并用極限理論研究函數(shù)的變化情形.的圖形可以看出:如何描述它？第4頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三第5頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三定義想想：如何從幾何的角度來表示該定義？第6頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三第7頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三將圖形對稱過去后,你有什么想法?將圖形對稱第8頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三定義第9頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三現(xiàn)在從整體上來看這個圖形,你有什么想法?第10頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三你能否由此得出一個極限的定義和一個重要的定理.現(xiàn)在從整體上來看這個圖形,你有什么想法?第11頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三定義第12頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三由于

|

x|>X>0x>X

或

x<X,所以,x

按絕對值無限增大時,又包含了

x

的情形.既包含了

x+,第13頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三定理及極限的三個定義即可證明該定理.由絕對值關(guān)系式:第14頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三證成立.由極限的定義可知:例1第15頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三解無限縮小,可以小于任意小的正數(shù).因而應(yīng)該有下面證明我們的猜想:證明過程怎么寫？例2第16頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三這里想得通嗎？第17頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三由圖容易看出：分析需要證明之處請同學(xué)們自己證一下.例3第18頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三例4證第19頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三

x

x0

時函數(shù)的極限,是描述當(dāng)x無限接近

x0

時,

函數(shù)

f(x)的變化趨勢.第20頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三f(x)在點

x0=0處有定義.函數(shù)f(x)在點

x0=1處沒有定義.例5第21頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三定義第22頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三((第23頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三證這是證明嗎？非常非常嚴(yán)格！例6第24頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三證例7第25頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三證？如何處理它例8第26頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三這里|x+2|沒有直接的有界性可利用,但又必須設(shè)法去掉它.因為x1,所以,從某時候開始x

應(yīng)充分地接近

1

.(

)0x21111+1??????????分析結(jié)論第27頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三證證畢例8第28頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三在極限定義中：1)

與

和x0有關(guān),即=

(

,x0).一般說來,

值越小,相應(yīng)的

值也越小.

2)不等式|f(x)－a|<

既要對任意的>0,同時也要對x

x0以任何方式進(jìn)行都成立.3)函數(shù)f(x)以a為極限,但函數(shù)f(x)本身可以不取其極限值a.第29頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三y=a

y=a

y=axOyx0x0

x0+

曲線只能從該矩形的左右兩邊穿過第30頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三3.函數(shù)的左、右極限定義第31頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三定義第32頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三(1)左、右極限均存在,且相等；(2)左、右極限均存在,但不相等；(3)左、右極限中至少有一個不存在.找找例題！函數(shù)在點x0處的左、右極限可能出現(xiàn)以下三種情況之一：第33頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三y=f(x)xOy11在x=1處的左、右極限.解例9第34頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三定理利用|xx0|<

<xx0<和極限的定義,即可證得.第35頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三解例10第36頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三解例11第37頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三例12證第38頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三三、極限定義及定理小結(jié)第39頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三極限定義一覽表目標(biāo)不等式過程描述度量極限形式第40頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三極限定義一覽表目標(biāo)不等式過程描述度量極限形式第41頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三重要定理第42頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三在以后的敘述中,如果函數(shù)f(x)極限的某種性質(zhì)與運算對任何一種極限過程均成立,則將使表示對任意一種極限過程的函數(shù)用符號四、函數(shù)極限的基本性質(zhì)極限.函數(shù)極限的性質(zhì)與數(shù)列極限的性質(zhì)類似,我們只列舉出來,其證明過程請同學(xué)們自己看書.第43頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三1.有界性定理若limf(x)存在,

則函數(shù)

f(x)在該極限過程中必有界.2.唯一性定理若limf(x)存在,

則極限值必唯一.3.保號性定理極限值的正負(fù)與函數(shù)值正負(fù)的關(guān)系函數(shù)值的正負(fù)與極限值正負(fù)的關(guān)系第44頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三極限值的正負(fù)與函數(shù)值正負(fù)的關(guān)系該定理也稱為第一保號性定理第45頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三極限值正負(fù)與函數(shù)值正負(fù)關(guān)系的推論作輔助函數(shù)F(x)=f(x)c

再利用定理的結(jié)論即可得證.第46頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三函數(shù)值的正負(fù)與極限值正負(fù)的關(guān)系該定理也稱為第二保號性定理第47頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三第二保號性定理成立.運用反證法,設(shè)f(x)0

(f(x)0)時,有a<0(a>0),則由第一保號性定理將推出

f(x)<0

(f(x)>0)的矛盾,該矛盾就證明了第48頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三注意:當(dāng)f(x)>0

(f(x)<0)時,按照第二保號性定理也只能得到a0(a0)結(jié)論.第49頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三例13第50頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三函數(shù)值正負(fù)與極限值正負(fù)關(guān)系的推論若極限limf(x)=a,

limg(x)=b存在,即

limf(x)limg(x).且在該極限過程中

f(x