函數(shù)的單調(diào)性復(fù)習(xí)

關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性復(fù)習(xí)第1頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三定義當(dāng)x1<x2時(shí),都有，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)

當(dāng)x1<x2時(shí)，都有，那么就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)

圖象描述自左向右看圖象是___________自左向右看圖象是__________f（x1）<f(x2)f(x1)>f(x2)上升的下降的第2頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三(2)單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是________或________，則稱函數(shù)f（x）在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，________叫做f（x）的單調(diào)區(qū)間.增函數(shù)減函數(shù)區(qū)間D第3頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件①對(duì)于任意x∈I，都有___________；②存在x0∈I,使得_____________.①對(duì)于任意x∈I，都有____________；②存在x0∈I,使得_______________.結(jié)論M為最大值M為最小值f（x）≤Mf（x0）=Mf（x）≥Mf（x0）=M第4頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三基礎(chǔ)自測(cè)1.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，2）上為增函數(shù)的是()A.y=-x+1B.y=

C.y=x2-4x+5D.

解析∵y=-x+1,y=x2-4x+5,分別為一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù),從它們的圖象上可以看出在（0，2）上都是減函數(shù).B第5頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三2.已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的增函數(shù),則f(x)=0的根（）A.有且只有一個(gè)B.有2個(gè)C.至多有一個(gè)D.以上均不對(duì)

解析∵f（x）在R上是增函數(shù)，∴對(duì)任意x1,x2∈R,若x1<x2,則f(x1)<f(x2),反之亦成立.故若存在f(x0)=0,則x0只有一個(gè).若對(duì)任意x∈R都有f(x)≠0,則f(x)=0無(wú)根.C第6頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三3.已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)∪(0,1)D.（-∞,-1)∪(1,+∞)

解析由已知條件：不等式等價(jià)于解得-1<x<1,且x≠0.C第7頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三4.函數(shù)y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，則()A.B.C.D.

解析使y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，則2k+1<0，即

D第8頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三5.設(shè)x1,x2為y=f(x)的定義域內(nèi)的任意兩個(gè)變量，有以下幾個(gè)命題：①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0；②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0；③④其中能推出函數(shù)y=f(x)為增函數(shù)的命題為______.

解析依據(jù)增函數(shù)的定義可知，對(duì)于①③，當(dāng)自變量增大時(shí)，相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也增大，所以①③可推出函數(shù)y=f（x）為增函數(shù).①③第9頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三題型分類深度剖析題型一函數(shù)單調(diào)性的判斷判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并證明.

先判斷單調(diào)性，再用單調(diào)性的定義證明.（1）采用通分進(jìn)行變形，（2）采用因式分解進(jìn)行變形，（3）采用分子有理化的方式進(jìn)行變形.思維啟迪第10頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三解

（1）函數(shù)下面采用定義證明:任取x1、x2∈（-1，+∞），且-1<x1<x2，則有x1-x2<0，∵-1<x1<x2,∴x1+1>0,x2+1>0,x2-x1>0.即f(x1)-f(x2)>0，所以f(x1)>f(x2).第11頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三故在（-1，+∞）上為減函數(shù).（2）函數(shù)f(x)=-x2+2x+1在［1,+∞）上為減函數(shù)，證明如下：任取x1、x2∈R，且x2>x1≥1,則f(x1)-f(x2)==(x2+x1)(x2-x1)+2(x1-x2)=(x2-x1)(x2+x1-2).∵x2>x1≥1,∴x2-x1>0,x2+x1>2,x2+x1-2>0,∴f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x2+x1-2)>0,即有f(x1)>f(x2).第12頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三故函數(shù)f(x)=-x2+2x+1在［1,+∞）上是減函數(shù).（3）函數(shù)f(x)=

在［-1，+∞）上為增函數(shù)，證明如下：任取x1、x2∈［-1,+∞）且-1≤x1<x2，則有x1-x2<0，第13頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).故函數(shù)f(x)=在［-1,+∞）上為增函數(shù).

對(duì)于給出具體解析式的函數(shù)，判斷或證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性問題，可以結(jié)合定義（基本步驟為取點(diǎn)、作差或作商、變形、判斷）求解.探究提高第14頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三知能遷移1

已知函數(shù)

證明：函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義.（2）用導(dǎo)數(shù)法.

證明任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨設(shè)x1<x2,則x2-x1>0,思維啟迪第15頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三又∵x1+1>0,x2+1>0,于是f(x2)-f(x1)=故函數(shù)f(x)在（-1,+∞）上為增函數(shù).第16頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三題型二復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【例2】已知函數(shù)f(x)=log2(x2-2x-3)，則使f(x)為減函數(shù)的區(qū)間是()A.(3,6)B.(-1,0)C.(1,2)D.（-3,-1）

先求得函數(shù)的定義域，然后再結(jié)合二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行考慮.

解析由x2-2x-3>0，得x<-1或x>3,結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸直線x=1知，在對(duì)稱軸左邊函數(shù)y=x2-2x-3是減函數(shù)，所以在區(qū)間（-∞，-1）上是減函數(shù)，由此可得D項(xiàng)符合.思維啟迪D第17頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三（1）復(fù)合函數(shù)是指由若干個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，它的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其單調(diào)性的規(guī)律為“同增異減”，即f(u)與g(x)有相同的單調(diào)性，則f[g(x)]必為增函數(shù)，若具有不同的單調(diào)性，則f[g(x)]必為減函數(shù).（2）討論復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的步驟是：①求出復(fù)合函數(shù)的定義域；②把復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)常見的基本函數(shù)并判斷其單調(diào)性；③把中間變量的變化范圍轉(zhuǎn)化成自變量的變化范圍；④根據(jù)上述復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律判斷其單調(diào)性.探究提高第18頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三知能遷移2

函數(shù)y=的遞減區(qū)間為 （）A.(1,+∞)B.C.D.

解析作出t=2x2-3x+1的示意圖如圖所示，∵0<<1,∴遞減.要使遞減,t應(yīng)該大于0且遞增,故x∈(1,+∞).A第19頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三題型三抽象函數(shù)的單調(diào)性與最值【例3】已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意x,y∈R，總有f（x）+f（y）=f(x+y)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0,f(1)=（1）求證：f（x）在R上是減函數(shù)；（2）求f（x）在［-3，3］上的最大值和最小值.

問題（1）對(duì)于抽象函數(shù)的問題要根據(jù)題設(shè)及所求的結(jié)論來(lái)適當(dāng)取特殊值,證明f（x）為單調(diào)減函數(shù)的首選方法是用單調(diào)性的定義來(lái)證.問題(2)用函數(shù)的單調(diào)性即可求最值.思維啟迪第20頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三（1）證明方法一∵函數(shù)f(x)對(duì)于任意x,y∈R總有f(x)+f(y)=f(x+y),∴令x=y=0，得f(0)=0.再令y=-x,得f(-x)=-f(x).在R上任取x1>x2,則x1-x2>0,f（x1）-f（x2）=f（x1）+f(-x2)=f(x1-x2).又∵x>0時(shí),f(x)<0,而x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2).因此f(x)在R上是減函數(shù).第21頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三方法二設(shè)x1>x2,則f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2).又∵x>0時(shí),f(x)<0.而x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在R上為減函數(shù).(2)解∵f(x)在R上是減函數(shù),∴f(x)在［-3,3］上也是減函數(shù),∴f(x)在［-3,3］上的最大值和最小值分別為f(-3)與f(3).而f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2.∴f(x)在［-3,3］上的最大值為2,最小值為-2.第22頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三對(duì)于抽象函數(shù)的單調(diào)性的判斷仍然要緊扣單調(diào)性的定義,結(jié)合題目所給性質(zhì)和相應(yīng)的條件,對(duì)任意x1,x2在所給區(qū)間內(nèi)比較f(x1)-f(x2)與0的大小,或與1的大小.有時(shí)根據(jù)需要,需作適當(dāng)?shù)淖冃?如或x1=x2+x1-x2等.探究提高第23頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù),且滿足下面兩個(gè)條件:①對(duì)于任意正數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y);②當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0,試判斷函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性.知能遷移3第24頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三

解設(shè)x1>x2>0,則又∵當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0，而∴即f(x1)-f(x2)<0,∴f（x1）<f(x2)，∴函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.第25頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三題型四函數(shù)單調(diào)性與不等式【例4】(12分)函數(shù)f(x)對(duì)任意的a、b∈R,都有

f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1.（1）求證：f(x)是R上的增函數(shù)；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.

問題（1）是抽象函數(shù)單調(diào)性的證明，所以要用單調(diào)性的定義.問題（2）將函數(shù)不等式中抽象的函數(shù)符號(hào)“f”運(yùn)用單調(diào)性“去掉”，為此需將右邊常數(shù)3看成某個(gè)變量的函數(shù)值.思維啟迪第26頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三（1）證明設(shè)x1,x2∈R，且x1<x2,則x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.∴f（x2）>f(x1).即f(x)是R上的增函數(shù).解題示范［2分］［5分］［6分］第27頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三（2）解∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，∴f（2）=3，∴原不等式可化為f(3m2-m-2)<f(2),∵f(x)是R上的增函數(shù)，∴3m2-m-2<2,解得-1<m<,故解集為 f(x)在定義域上（或某一單調(diào)區(qū)間上）具有單調(diào)性，則f(x1)<f(x2)f(x1)-f(x2)<0,若函數(shù)是增函數(shù),則f(x1)<f(x2)x1<x2,函數(shù)不等式（或方程）的求解，總是想方設(shè)法去掉抽象函數(shù)的符號(hào)，化為一般不等式（或方程）求解，但無(wú)論如何都必須在定義域內(nèi)或給定的范圍內(nèi)進(jìn)行.探究提高［8分］［10分］［12分］第28頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三知能遷移4已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f(x)滿足=f(x1)-f(x2)，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0.（1）求f(1)的值；（2）判斷f(x）的單調(diào)性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.

解（1）令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.第29頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三（2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1>x2,則由于當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0,所以即f(x1)-f(x2)<0,因此f(x1)<f(x2),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).（3）由=f(x1)-f(x2)得=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間（0,+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，由f(|x|)<f(9),得|x|>9,∴x>9或x<-9.因此不等式的解集為{x|x>9或x<-9}.第30頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三1.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義，證明（判定）函數(shù)f(x)在其區(qū)間上的單調(diào)性，其步驟是（1）設(shè)x1、x2是該區(qū)間上的任意兩個(gè)值，且x1＜x2；（2）作差f（x1）-f（x2），然后變形；（3）判定f（x1）-f（x2）的符號(hào)；（4）根據(jù)定義作出結(jié)論.方法與技巧思想方法感悟提高第31頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間首先應(yīng)注意函數(shù)的定義域，函數(shù)的增減區(qū)間都是其定義域的子集;其次掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.常用方法有：根據(jù)定義，利用圖象和單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)，還可以利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì).3.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)],若t=g(x)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)函數(shù),且y=f(t)在區(qū)間(g(a),g(b))或者(g(b),

g(a))上是單調(diào)函數(shù),若t=g(x)與y=f(t)的單調(diào)性相同(同時(shí)為增或減),則y=f[g(x)]為增函數(shù);若t=g(x)與

y=f(t)的單調(diào)性相反,則y=f[g(x)]為減函數(shù).簡(jiǎn)稱為:同增異減.第32頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三1.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是指函數(shù)在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減.單調(diào)區(qū)間要分開寫，即使在兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相同,也不能用并集表示.2.兩函數(shù)f(x)、g(x)在x∈(a,b)上都是增(減)函數(shù),則

f(x)+g(x)也為增(減)函數(shù),但f(x)·g(x)，等的單調(diào)性與其正負(fù)有關(guān)，切不可盲目類比.失誤與防范第33頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三一、選擇題1.若函數(shù)y=ax與在(0,+∞)上都是減函數(shù)，則y=ax2+bx在（0，+∞）上是（）A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.先增后減D.先減后增解析∵y=ax與在(0,+∞)上都是減函數(shù)，∴a<0,b<0，∴y=ax2+bx的對(duì)稱軸方程

∴y=ax2+bx在（0，+∞）上為減函數(shù).定時(shí)檢測(cè)B第34頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三2.函數(shù)（a>0且a≠1）是R上

的減函數(shù)，則a的取值范圍是（）A.（0，1）B.C.D.

解析據(jù)單調(diào)性定義，f（x）為減函數(shù)應(yīng)滿足：B第35頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三3.下列四個(gè)函數(shù)中,在(0,1)上為增函數(shù)的是（）A.y=sinxB.y=-log2xC.

D.

解析∵y=sinx在上是增函數(shù)，∴y=sinx在（0，1）上是增函數(shù).A第36頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三4.(2009·天津理，8)已知函數(shù)

若f(2-a2)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.（-∞,-1）∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

解析由f(x)的圖象可知f(x)在(-∞,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.C第37頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三5.若函數(shù)f(x)=x3(x∈R)，則函數(shù)y=f(-x)在其定義域上是（）A.單調(diào)遞減的偶函數(shù)B.單調(diào)遞減的奇函數(shù)C.單調(diào)遞增的偶函數(shù)D.單調(diào)遞增的奇函數(shù)

解析

f(x)=x3(x∈R)，則函數(shù)y=f(-x)=-x3(x∈R)顯然在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的奇函數(shù).B第38頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三6.函數(shù)f(x)=ln(4+3x-x2)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.B.C.D.解析函數(shù)f(x)的定義域是(-1,4)，u(x)=-x2+3x

+4的減區(qū)間為∵e>1,∴函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為D第39頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三二、填空題7.已知y=f(x)是定義在（-2，2）上的增函數(shù)，若

f(m-1)<f(1-2m)，則m的取值范圍是

.

解析

依題意，原不等式等價(jià)于第40頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三8.已知定義域?yàn)镈的函數(shù)f(x)，對(duì)任意x∈D，存在正數(shù)

K，都有|f(x)|≤K成立，則稱函數(shù)f(x)是D上的“有界函數(shù)”.已知下列函數(shù):①f(x)=2sinx;②f(x)=③f(x)=1-2x;④其中是“有界函數(shù)”的是_______.（寫出所有滿足要求的函數(shù)的序號(hào)）第41頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三解析

①中|f（x）|=|2sinx|≤2,②中|f（x）|≤1;④中當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=0，總之，|f(x)|≤③中f(x)<1,∴|f（x）|→+∞,故填①②④.答案

①②④第42頁(yè)，講稿共49頁(yè)，2023年5月2日，星期三9.已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù)，對(duì)于x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，當(dāng)x1,x2∈[0,3]，且x1≠x2時(shí)，都有

給出下列命題：①f（3）=0；②直線x=-6是函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸；③函數(shù)y=f(x)在［-9，-6］