全等三角形常見輔助線

關于全等三角形常見輔助線第1頁，講稿共27頁，2023年5月2日，星期三連線法第一關第2頁，講稿共27頁，2023年5月2日，星期三如圖,AB=AD,BC=DC,求證:∠B=∠D.ACBD連接AC構造全等三角形連線構造全等第3頁，講稿共27頁，2023年5月2日，星期三連線構造全等如圖,AB與CD交于O,且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的長.連接BD構造全等三角形ACBDO第4頁，講稿共27頁，2023年5月2日，星期三第二關角平分線性質第5頁，講稿共27頁，2023年5月2日，星期三如圖,△ABC中,∠C=90o,BC=10,BD=6,AD平分∠BAC,求點D到AB的距離.過點D作DE⊥AB于點EACDBE角平分線上的點向角兩邊做垂線段第6頁，講稿共27頁，2023年5月2日，星期三PD=PE.PD=PE如圖,OC平分∠AOB,角平分線上點向兩邊作垂線段過點P作PF⊥OA,PG⊥OB垂足為點F,點GFGACDBEPO∠DOE+∠DPE=180°∠DOE+∠DPE=180°∟∟求證:第7頁，講稿共27頁，2023年5月2日，星期三證明:例1已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是∠ABC的角平分線，AD=CD，求證：∠A+∠C=180°DABCM作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延長線于N。∵BD是∠ABC的角平分線（已知）∴∠1=∠2（角平分線定義）∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴∠N=∠DMB=90°（垂直的定義）在△NBD和△MBD中∵∠N=∠DMB（已證）∠1=∠2（已證）

BD=BD（公共邊）∴△NBD≌△MBD（A.A.S）12∴∠4=∠C（全等三角形的對應角相等）N43321*∴ND=MD（全等三角形的對應邊相等）∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴△NAD和△MCD是Rt△在Rt△NAD和Rt△MCD中∵ND=MD（已證）

AD=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L）∵∠3+∠4＝180°（平角定義），∠A＝∠3（已證）∴∠A+∠C＝180°（等量代換）第8頁，講稿共27頁，2023年5月2日，星期三第三關中垂線法第9頁，講稿共27頁，2023年5月2日，星期三

△ABC中,AB＞AC，∠A的平分線與BC的垂直平分線DM相交于D，過D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F。求證：BE=CFABCDEFM連接DB,DC垂直平分線上點向兩端連線段∟第10頁，講稿共27頁，2023年5月2日，星期三如圖，已知三角形ABC中,BC邊上的垂直平分線DE與角BAC的平分線交于點E，EF垂直AB交AB的延長線于點F，EG垂直AC交AC于點G。求證：(1)BF=CG(2)判定AB+AC與AF的關系第11頁，講稿共27頁，2023年5月2日，星期三第四關截長補短法第12頁，講稿共27頁，2023年5月2日，星期三已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2求證:AB=AC+CDADBCE12在AB上取點E使得AE=AC，連接DE截長F在AC的延長線上取點F使得CF=CD，連接DF補短第13頁，講稿共27頁，2023年5月2日，星期三A1BCD234如圖所示，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直線DC經過點E交AD于點D，交BC于點C。求證：AD+BC=ABEF在AB上取點F使得AF=AD,連接EF截長補短第14頁，講稿共27頁，2023年5月2日，星期三證明：例1已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是∠ABC的角平分線，AD=CD，求證：∠A+∠C=180°DABCE在BC上截取BE，使BE=AB，連結DE?！連D是∠ABC的角平分線（已知）∴∠1=∠2（角平分線定義）在△ABD和△EBD中∵AB=EB（已知）∠1=∠2（已證）

BD=BD（公共邊）∴△ABD≌△EBD（S.A.S）1243∵∠3+∠4＝180°（平角定義），∠A＝∠3（已證）∴∠A+∠C＝180°

（等量代換）321*∴∠A＝∠3（全等三角形的對應角相等）∵AD=CD（已知），AD=DE（已證）∴DE=DC（等量代換）∴∠4=∠C（等邊對等角）AD=DE（全等三角形的對應邊相等）第15頁，講稿共27頁，2023年5月2日，星期三證明:例1已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是∠ABC的角平分線，AD=CD，求證：∠A+∠C=180°DABCF延長BA到F，使BF=BC，連結DF。∵BD是∠ABC的角平分線（已知）∴∠1=∠2（角平分線定義）在△BFD和△BCD中∵BF=BC（已知）∠1=∠2（已證）

BD=BD（公共邊）∴△BFD≌△BCD（S.A.S）1243∵∠F＝∠C（已證）∴∠4=∠C（等量代換）321*∴∠F＝∠C（全等三角形的對應角相等）∵AD=CD（已知），DF=DC（已證）∴DF=AD（等量代換）∴∠4=∠F（等邊對等角）∵∠3+∠4＝180°

（平角定義）∴∠A+∠C＝180°

（等量代換）DF=DC（全等三角形的對應邊相等）第16頁，講稿共27頁，2023年5月2日，星期三練習1如圖，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AB=AC+CD，求證：∠C=2∠BABCDE1221證明:在AB上截取AE，使AE=AC，連結DE?！逜D是∠BAC的角平分線（已知）∴∠1=∠2（角平分線定義）在△AED和△ACD中∵AE=AC（已知）∠1=∠2（已證）

AD=AD（公共邊）∴△AED≌△ACD（S.A.S）3∴∠B=∠4（等邊對等角）4*∴∠C＝∠3（全等三角形的對應角相等)又∵AB=AC+CD=AE+EB（已知）∴EB=DC=ED（等量代換）∵∠3=∠B+∠4=2∠B（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和）∴∠C=2∠B（等量代換）ED=CD（全等三角形的對應邊相等）第17頁，講稿共27頁，2023年5月2日，星期三練習1如圖，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AB=AC+CD，求證：∠C=2∠BABCDF12證明:延長AC到F，使CF=CD，連結DF?！逜D是∠BAC的角平分線（已知）∴∠1=∠2（角平分線定義）∵AB=AC+CD，CF=CD（已知）∴AB=AC+CF=AF（等量代換）∵∠ACB=2∠F（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和）∴∠ACB=2∠B（等量代換）321*在△ABD和△AFD中∵AB=AF（已證）∠1=∠2（已證）

AD=AD（公共邊）∴△ABD≌△AFD（S.A.S）∴∠F＝∠B（全等三角形的對應角相等）∵CF=CD（已知）∴∠B=∠3（等邊對等角）第18頁，講稿共27頁，2023年5月2日，星期三第五關中線倍增法第19頁，講稿共27頁，2023年5月2日，星期三如何利用三角形的中線來構造全等三角形？

可以利用倍長中線法，即把中線延長一倍，來構造全等三角形。

如圖，若AD為△ABC的中線，

必有結論：ABCDE12延長AD到E，使DE=AD，連結BE（也可連結CE）?！鰽BD≌△ECD，∠1=∠E，∠B=∠2，EC=AB，CE∥AB。第20頁，講稿共27頁，2023年5月2日，星期三已知，如圖AD是△ABC的中線，ABCDE延長AD到點E，使DE=AD，連結CE.思考：若AB=3,AC=5求AD的取值范圍？倍長中線第21頁，講稿共27頁，2023年5月2日，星期三如圖，已知直線MN∥PQ，且AE平分∠BAN、BE平分∠QBA，DC是過E的任意線段，交MN于點D，交PQ于點C。求證：AD+AB=BC。證明:延長AE，交直線PQ于點F。*30**2221ABCDEMNPQ1234F5第22頁，講稿共27頁，2023年5月2日，星期三第六關周長問題轉化第23頁，講稿共27頁，2023年5月2日，星期三1.如圖,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB,DE⊥AB.若AB=6cm,則△DBE的周長是多少?Ⅴ.“周長問題”的轉化

借助“角平分線性質”BACDEBE+BD+DEBE+BD+CDBE+BCBE+ACBE+AEAB第24頁，講稿共27頁，2023年5月2日，星期三2.如圖,△ABC中,D在AB的垂直平分線上,E在AC的垂直平分線上.若BC=6cm,求△ADE的周長.Ⅴ.“周長問題”的轉化

借助“垂直平分線性質”BACDEAD+AE+DEBD+CE+DEBC第25頁，講稿共27頁，2023年5月2日，星期三5.如圖,△ABC中，BP