考點(diǎn)58數(shù)系擴(kuò)充與復(fù)數(shù)引入備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)練案紙間書(shū)屋

考點(diǎn) （十九）CCO為起點(diǎn)的復(fù)數(shù)z=a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)復(fù)數(shù)z=a＋bi(a，b∈R)平面向量OZz1，z2對(duì)應(yīng)的向量OZ1,OZ2z1＋z2是以O(shè)Z1,OZ2為兩鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線OZ所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．z1?z2是OZ1OZ2Z2Z1z1abiz2cdi(a,bcdR)，則z1z2abicdiacbd)iz1abi(abi)(cdi)acbdbcad)i(cdi0 c (cdi)(c

c2dz1z2z3∈C

z1z2z2z1,(z1z2)z3z1(z2z3) 換律、結(jié)合律、分配律，即對(duì)于任意z1，z2，z3∈C，有z1z2z2z1z1z2z3z1z2z3，z1(z2z3)z1z2z1z3（1）1i22i；1＋i=i；1－i=i baii(abi)i4ni4n1i4n2i4n30(nN*)模的運(yùn)算性質(zhì)：①|(zhì)z|2|z|2zzzzzz；③|z1||z1|

|z2 a＋bi(a，b∈R)的形式，再根據(jù)題意求解.典例 已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z11ai(aR)，復(fù)數(shù)z2的共軛復(fù)數(shù)z234iz1z2R，求實(shí)數(shù)az1zz1z2（1）4（2）4

（1）z1+z2(1ai)+(34i4+(4a)ia4（2）z11ai(1ai)(34i)34a(3a4)i 3 (34i)(3 34a0,解得a33a4 34

i （1）（2）z134a3a4)iz1a的值即得解 設(shè)iai的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，那么實(shí)數(shù)a2 D． 復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量OZ相互聯(lián)系，即z=a＋bi(a，b∈R)Z(a，b) 【注意】|z|的幾何意義：令＋yi(x，y∈R)，則|z|=x2＋y2z的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是|z|的幾何意義；|z1?z2|z1，z2的兩點(diǎn)之間的距離.典例 復(fù)數(shù)z

1i

【答案】zii1i11i,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為11,位于第二象限1

22 典例 對(duì)角線CAB（1）AO所表示的復(fù)數(shù)為?3?2iBC所表示的復(fù)數(shù)為32i（2）5?2i（3）1＋6i.（1）∵AOOAAO所表示的復(fù)數(shù)為32iBC所表示的復(fù)數(shù)為32i（2）∵→→→∴CA所表示的復(fù)數(shù)為(32i24i)52i（3）∵→→

→＋→ ∴Z13iZZ1Z 如果復(fù)數(shù)z滿足zizi2，那么zi1的最小值

(1i)3 【答案】

1i2(1i)2(1i)21i1i22i1i1i典例 已知i為虛數(shù)單位，則ii2i3 i2019等A． 【答案】

D．【解析】由于ii2i3i4i1i10則nnN*4，且2019=4504+3，所以原式=ii2i3i1i1.nnN*分析推理能力.對(duì)于本題，利用nnN*)的周期求解即可.z2izzi D． 2 1i

i 若(1i)(zi2i2000z imR，“復(fù)數(shù)mm1i是純虛數(shù)”是m1” 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z 3i|的共軛復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位1 a

1 2xy已知(2i)yxyi，x,yR， ixy23 235 5z1z2zi1

1 z1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(xyziz1z的實(shí)部與虛部的和為1xy B．xyC．xy D．xy 若復(fù)數(shù)a23a2a1i（aR）A．a(chǎn)C．a(chǎn)

B．a(chǎn)Da1apqR，1ixx2pxq0pq

D．

0z1

z1z2z1zzzzz

zzz2z

復(fù)數(shù)abix1zx1x1i若x24x23x2ixzabi，則當(dāng)且僅當(dāng)b≠0zeixcosxisinx(i為虛數(shù)單位)是數(shù)學(xué)家發(fā)明的，將指數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集， 可知， πi表示的復(fù)數(shù)32C．6 2

32D．6 2

e6+e33復(fù)數(shù)12i3i的虛部 z

2

iaRiz在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則a圍 z zn 設(shè)z是復(fù)數(shù)，az表示滿 時(shí)的最小正整數(shù)，i是虛數(shù)單位，則 ) 1【2019年高考卷理數(shù)】已知復(fù)數(shù)z2i，則zz3535 D．【2019年高考Ⅰ卷理數(shù)】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足zi=1，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，(x+1)2y2 B．(x1)2y2 【2019年高 【2019年高 Ⅲ卷理數(shù)】若z(1i)2i，則1 B．1C．1【2018年高考浙江卷】復(fù)

21

D．1 【2018年高 Ⅰ卷理數(shù)】設(shè)z1i2i，則|z11A． 2 2【2018年高 Ⅱ卷理數(shù)】12i143 C．34 【2018年高考Ⅲ卷理數(shù)】(1i)(2i)3

43 D．34 B．3C．3【2018年高考卷理數(shù)】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)

11

D．3 pz1RzR p2zz2RzRp3z1z2z1z2Rz1z2p4zRzR．C．p2,【2017年高 Ⅱ卷理數(shù)】3i1

D．p2,A．1 B．1 A． B． 2 2【2017年高考卷理數(shù)】若復(fù)數(shù)(1i)(ai)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值 B．(, 【2019年高 卷理數(shù)】i是虛數(shù)單位，則|5i|的值 1【2019z

1

（i為虛數(shù)單位則|z|= 【2019年高考江蘇卷】已知復(fù)數(shù)(a2i)(1i)的實(shí)部為0，其中i為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)a 【2018年高 卷理數(shù)】i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)67i 1【2018年高考江蘇卷】若復(fù)數(shù)z滿足iz12i，其中i是虛數(shù)單位，則z的實(shí)部 a【2017年高考卷理數(shù)】已知aR，i為虛數(shù)單位，

2

為實(shí)數(shù)，則a的值 【2017年高考浙江卷已知a,bR，(abi)234i（i是虛數(shù)單位則a2b2 【2017年高考江蘇卷】已知復(fù)數(shù)z(1i)(12i)，其中i是虛數(shù)單位，則z的模 aiai2i2a12ai=2a12ai2 2i2 ai2a12a0a32 1 (1i)(1Z13i(13i）(1i)2iZ1 (1i)(1Z【名師點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.Z13i，寫(xiě)出共軛復(fù)數(shù)Z1【答案】zxyi，由復(fù)數(shù)模的三角不等式可得2

zizizizi2i2z在復(fù)平面的軌跡是連接點(diǎn)0,1和01zi1z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)11的距離，如下圖所示：zizi1取得最小值1.用數(shù)形結(jié)合思想求解，考查分析問(wèn)題的和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為復(fù)平面內(nèi)連接點(diǎn)0,1和01的線段，zi1z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)11zi1的最小值【答案】z2i152|2i52所以|z |1i zz|z|2105 zz|z|2，直接利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)即可求解.A

2

2 2 【解析】1i

11i1

12

2 【名師點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算主要有加、減、乘、除及求低次．除法實(shí)際上是分母實(shí)數(shù)化的 zcdia,b,cdR ，則

zzabicdiacbdad

z1abi2abiccdic

1c2d

c

【解析】由(1i)(zi)

zi z i i1i 1i 1i【答案】【解析】復(fù)數(shù)mm1i是純虛數(shù)，則m0或m1，所以“復(fù)數(shù)mm1i是純虛數(shù)”不是mm1時(shí)，復(fù)數(shù)為i，是純虛數(shù)，“復(fù)數(shù)mm1i是純虛數(shù)”是m1”的必要條件，所以“復(fù)數(shù)mm1i是純虛數(shù)”是“m1”的必要不充分條件．解時(shí)，先求得“復(fù)數(shù)mm1i是純虛數(shù)”時(shí)m的值，再根據(jù)充分、必要條件的判斷依據(jù)，判斷出正確選項(xiàng)z|3i|=

1iz1i1 1【名師點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)及其坐標(biāo)表示.屬于基礎(chǔ)題.z1i，寫(xiě)【答案】ai2a12ai2a102a0,a12

xR,yR且(2iyxyi所以2yx，所以|xi||2i 5y x,y，再求值.

m∈R

11i

2解得m

m21m213z＝1+mi（m∈R，z入2mzi【答案】z1xyizi(xyiyxiz的實(shí)部與虛部的和為1，xy1C．（2a+（+3i）＝+b，∴a﹣3+6a+）＝3+b，2a36a1bA．a(chǎn)，b的值．【解析】若復(fù)數(shù)a23a2a1i（aR）

a1

a

a=2a23a 則復(fù)數(shù)a23a2a1i（aR）a2，A.【名師點(diǎn)睛】本題考查虛數(shù)的分類(lèi)，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，先解出復(fù)數(shù)a23a2a1i（aR是純虛數(shù)時(shí)a的值，即可得出答案【答案】【解析】依題意，復(fù)數(shù)1ixx2pxq0的一個(gè)根，（1＋i)2p(1iq=0pqp2)i=0，所以pq0，解得p2pq4p2 q運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，由1ixx2pxq0的一個(gè)根，代入方程化簡(jiǎn)得pqp2)i=0，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，列出方程組，即可求解【答案】z1，z2z12iz22iz

2i2i2212 B選項(xiàng)

0z1z20z1z2z1z2Bz1z2z1z2z1z2

a2ba2b a2b zza2b2zza2b2zzz

Dz1zizzz21z21z2z2 D．14A中，當(dāng)a0b0時(shí)，復(fù)數(shù)abi是純虛數(shù)，故錯(cuò)誤；Bx1z2i，為純虛數(shù)，故正確； C中，x4x3x2i是純虛數(shù)，則x23x2

x，即x1且x

D中，沒(méi)有給出ab為實(shí)數(shù)，當(dāng)axix0xRb0zabi誤B項(xiàng)【答案】 【解析】由題意，e6 ,e3

1333∴e6+e3 i 333

i 1i 222222321321

2

6 2e6+e

13e6+e3 3

233i33i3i53 455

1【答案】【解析】Q12i3i35i2i255i，因此，復(fù)數(shù)12i3i的虛部為55利用復(fù)數(shù)的乘法法則將復(fù)數(shù)12i3i表示為一般形式，可得出該復(fù)數(shù)的虛部.【答案】za2ii2a5aiz2a0 5a0，解得0a5a的取值范圍為0,55【答案】z1z2a2i2i=2a24ai2a20a201

12i

1i 【解析】 1 1i1

11

i，∴a1iaiazzn1的最小正整數(shù)n，∴當(dāng)n4時(shí)滿足in1ai4，故答案為4.z2izz(2i)(2i)5【答案】zxyi,zixy

zi

1x2x2(yz32i,z32iz32i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（-3，-2）z

1

2i(1i)(1i)(1i)

1i 1122(12

1i，∴共軛復(fù)數(shù)為1i

1i (1

【解析】因?yàn)閦 2i +2i 2ii1 (1i)(1 0所以|0

1

12i(12i)23

1 【解析】(1i)(2i2i2ii23i1【解析 1 11i的共軛復(fù)數(shù)為11i11i 對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(,

，在第四象限．故選【答案】zabi(abR則由1

a

R得b0zRp a a2 ziz2i21RziRp2不正確；z1z2iz1z21Rz1z2p3不正確；B．【答案】3i(3i)(1i)2i1 z1，z2z1·z2=|z1|2=|z2|2，通過(guò)分子、【答案】z

2221222

，由復(fù)數(shù)求模的法則可得|z1 1z1

zz（1）zzzz（2）zzz

（3）

z2 2 z zzz

（5