初中數(shù)學(xué)平行四邊形練習(xí)題和答案

/練習(xí)1一、選擇題〔3′×10=30′1．下列性質(zhì)中.平行四邊形具有而非平行四邊形不具有的是〔．A．內(nèi)角和為360°B．外角和為360°C．不確定性D．對角相等2．ABCD中.∠A=55°.則∠B、∠C的度數(shù)分別是〔．A．135°.55°B．55°.135°C．125°.55°D．55°.125°3．下列正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是〔．①平行四邊形內(nèi)角和為360°；②平行四邊形對角線相等；③平行四邊形對角線互相平分；④平行四邊形鄰角互補(bǔ)．A．1B．2C．3D．44．平行四邊形中一邊的長為10cm.那么它的兩條對角線的長度可能是〔．A．4cm和6cmB．20cm和30cmC．6cm和8cmD．8cm和12cm5．在ABCD中.AB+BC=11cm.∠B=30°.SABCD=15cm2.則AB與BC的值可能是〔．A．5cm和6cmB．4cm和7cmC．3cm和8cmD．2cm和9cm6．在下列定理中.沒有逆定理的是〔．A．有斜邊和一直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等;B．直角三角形兩個(gè)銳角互余;C．全等三角形對應(yīng)角相等;D．角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.7．下列說法中正確的是〔．A．每個(gè)命題都有逆命題B．每個(gè)定理都有逆定理C．真命題的逆命題是真命題D．假命題的逆命題是假命題8．一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角之比為1：2：1.其相對應(yīng)三邊之比為〔．A．1：2：1B．1：：1C．1：4：1D．12：1：29．一個(gè)三角形的三條中位線把這個(gè)三角形分成面積相等的三角形有〔個(gè)．A．2B．3C．4D．510．如圖所示.在△ABC中.M是BC的中點(diǎn).AN平分∠BAC.BN⊥AN．若AB=14.AC=19.則MN的長為〔．A．2B．2.5C．3D．3.5二、填空題〔3′×10=30′11．用14cm長的一根鐵絲圍成一個(gè)平行四邊形.短邊與長邊的比為3：4.短邊的比為________.長邊的比為________．12．已知平行四邊形的周長為20cm.一條對角線把它分成兩個(gè)三角形.周長都是18cm.則這條對角線長是_________cm．13．在ABCD中.AB的垂直平分線EF經(jīng)過點(diǎn)D.在AB上的垂足為E.若ABCD的周長為38cm.△ABD的周長比ABCD的周長少10cm.則ABCD的一組鄰邊長分別為______．14．在ABCD中.E是BC邊上一點(diǎn).且AB=BE.又AE的延長線交DC的延長線于點(diǎn)F．若∠F=65°.則ABCD的各內(nèi)角度數(shù)分別為_________．15．平行四邊形兩鄰邊的長分別為20cm.16cm.兩條長邊的距離是8cm.則兩條短邊的距離是_____cm．16．如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的______和_______.那么這兩個(gè)命題是互為逆命題．17．命題"兩直線平行.同旁內(nèi)角互補(bǔ)"的逆命題是_________．18．在直角三角形中.已知兩邊的長分別是4和3.則第三邊的長是________．19．直角三角形兩直角邊的長分別為8和10.則斜邊上的高為________.斜邊被高分成兩部分的長分別是__________．20．△ABC的兩邊分別為5.12.另一邊c為奇數(shù).且a+b+c是3的倍數(shù).則c應(yīng)為________.此三角形為________三角形．三、解答題〔6′×10=60′21．如右圖所示.在ABCD中.BF⊥AD于F.BE⊥CD于E.若∠A=60°.AF=3cm.CE=2cm.求ABCD的周長．22．如圖所示.在ABCD中.E、F是對角線BD上的兩點(diǎn).且BE=DF.求證：〔1AE=CF；〔2AE∥CF．23．如圖所示.ABCD的周長是10+6.AB的長是5.DE⊥AB于E.DF⊥CB交CB的延長線于點(diǎn)F.DE的長是3.求〔1∠C的大??；〔2DF的長．24．如圖所示.ABCD中.AQ、BN、CN、DQ分別是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分線.AQ與BN交于P.CN與DQ交于M.在不添加其它條件的情況下.試寫出一個(gè)由上述條件推出的結(jié)論.并給出證明過程〔要求：推理過程中要用到"平行四邊形"和"角平分線"這兩個(gè)條件．25．已知△ABC的三邊分別為a.b.c.a=n2-16.b=8n.c=n2+16〔n>4.求證：∠C=90°．26．如圖所示.在△ABC中.AC=8.BC=6.在△ABE中.DE⊥AB于D.DE=12.S△ABE=60.求∠C的度數(shù)．27．已知三角形三條中位線的比為3：5：6.三角形的周長是112cm.求三條中位線的長．28．如圖所示.已知AB=CD.AN=ND.BM=CM.求證：∠1=∠2．29．如圖所示.△ABC的頂點(diǎn)A在直線MN上.△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn).BE⊥MN于E.CD⊥MN于D.F為BC中點(diǎn).當(dāng)MN經(jīng)過△ABC的內(nèi)部時(shí).求證：〔1FE=FD；〔2當(dāng)△ABC繼續(xù)旋轉(zhuǎn).使MN不經(jīng)過△ABC內(nèi)部時(shí).其他條件不變.上述結(jié)論是否成立呢？30．如圖所示.E是ABCD的邊AB延長線上一點(diǎn).DE交BC于F.求證：S△ABF=S△EFC．答案:一、1．D2．C3．C4．B5．A6．C7．A8．B9．C10．C二、11．3cm4cm12．813．9cm和10cm14．50°.130°.50°.130°15．1016．結(jié)論題設(shè)17．同旁內(nèi)角互補(bǔ).兩直線平行18．5或19．20．13直角三、21．ABCD的周長為20cm22．略23．〔1∠C=45°〔2DF=24．略25．略26．∠C=90°27．三條中位線的長為：12cm；20cm；24cm28．提示：連結(jié)BD.取BD的中點(diǎn)G.連結(jié)MG.NG29．〔1略〔2結(jié)論仍成立．提示：過F作FG⊥MN于G30．略練習(xí)2一、填空題<每空2分,共28分>1.已知在ABCD中,AB=14,BC=16,則此平行四邊形的周長為.ABABCDO3.如圖,正方形ABCD的對線AC、BD相交于點(diǎn)O.那么圖中共有個(gè)等腰直角三角形.4.把"直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形"填入下列相應(yīng)的空格上.<1>正方形可以由兩個(gè)能夠完全重合的拼合而成;<第3題><2>菱形可以由兩個(gè)能夠完全重合的拼合而成;<3>矩形可以由兩個(gè)能夠完全重合的拼合而成.5.矩形的兩條對角線的夾角為,較短的邊長為12,則對角線長為.6.若直角梯形被一條對角線分成兩個(gè)等腰直角三角形,那么這個(gè)梯形中除兩個(gè)直角外,其余兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為和.7.平行四邊形的周長為24,相鄰兩邊長的比為3:1,那么這個(gè)平行四邊形較短的邊長為.8.根據(jù)圖中所給的尺寸和比例,可知這個(gè)"十"字標(biāo)志的周長為.AABCDO111<第8題><第10題>9.已知平行四邊形的兩條對角線互相垂直且長分別為12和6,那么這個(gè)平行四邊形的面積為.10.如圖,是四邊形ABCD的對稱軸,如果AD∥BC,有下列結(jié)論:<1>AB∥CD;<2>AB=CD;<3>ABBC;<4>AO=OC.其中正確的結(jié)論是.<把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上>二、選擇題<每題3分,共24分>11.如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于一個(gè)三角形的外角和.那么這個(gè)多邊形是〔A、三角形B、四邊形C、五邊形D、六邊形12.下列說法中,錯(cuò)誤的是<>A.平行四邊形的對角線互相平分B.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形C.平行四邊形的對角相等D.對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形13.給出四個(gè)特征<1>兩條對角線相等;<2>任一組對角互補(bǔ);<3>任一組鄰角互補(bǔ);<4>是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形,其中屬于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有<>A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)14.四邊形ABCD中.AD//BC.那么的值可能是〔A、3：5：6：4B、3：4：5：6C、4：5：6：3D、6：5：3：415.如圖,直線∥,A是直線上的一個(gè)定點(diǎn),線段BC在直線上移動(dòng),那么在移動(dòng)過程中的面積<>A.變大B.變小C.不變D.無法確定ABABC<第15題><第16題><第17題>16.如圖,矩形ABCD沿著AE折疊,使D點(diǎn)落在BC邊上的F點(diǎn)處,如果,則等于<>A.B.C.D.17.如圖,在中,AB=AC=5,D是BC上的點(diǎn),DE∥AB交AC于點(diǎn)E,DF∥AC交AB于點(diǎn)F,那么四邊形AFDE的周長是<>A.5B.10C.15D.2018.已知四邊形ABCD中,AC交BD于點(diǎn)O,如果只給條件"AB∥CD",那么還不能判定四形ABCD為平行四邊形,給出以下四種說法:<1>如果再加上條件"BC=AD",那么四邊形ABCD一定是平行四邊形;<2>如果再加上條件"",那么四邊形ABCD一定是平行四邊形;<3>如果再加上條件"AO=OC",那么四邊形ABCD一定是平行四邊形;<4>如果再加上條件"",那么四邊形ABCD一定是平行四邊形其中正確的說法是<>A.<1><2>B.<1><3><4>C.<2><3>D.<2><3><4>ABCD三、解答題<第19題8分,第20~23題每題10分,共48分>ABCD19.如圖,中,DB=CD,,AE⊥BD于E.試求的度數(shù).<第19題>ABCD20.如圖,中,G是CD上一點(diǎn),BG交AD延長線于E,AF=CG,.ABCD<1>試說明DF=BG;<2>試求的度數(shù).<第20題>21.工人師傅做鋁合金窗框分下面三個(gè)步驟進(jìn)行:<1>先截出兩對符合規(guī)格的鋁合金窗料<如圖①>,使AB=CD,EF=GH;<2>擺放成如圖②的四邊形,則這時(shí)窗框的形狀是形,根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是:;<3>將直角尺靠緊窗框的一個(gè)角<如圖③>,調(diào)整窗框的邊框,當(dāng)直角尺的兩條直角邊與窗框無縫隙時(shí)<如圖④>,說明窗框合格,這時(shí)窗框是形,根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是:.<圖①><圖②><圖③><圖④><第21題>ABABCD<第22題>答案1.60.2.平行四邊形;有一組鄰邊相等.3.8.提示:它們是4.<1>等腰直角三角形;<2>等腰三角形;<3>直角三角形.5.24.6.135;45..提示:如圖所示,將"十"字標(biāo)志的某些邊進(jìn)行平移后可得到一個(gè)邊長為1的正方形,所以它的周長為4.<第8題>9.36.提示:菱形的面積等于菱形兩條對角線乘積的一半.10.<1><2><4>.提示:四邊形ABCD是菱形.11.B.12.D.13.C.14.C.15.C.提示:因?yàn)榈牡走匓C的長不變,BC邊上的高等于直線之間的距離也不變,所以的面積不變.16.A.提示:由于.17.B.提示:先說明DF=BF,DE=CE,所以四邊形AFDE的周長=AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC.18.C.19.因?yàn)锽D=CD,所以又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以AD∥BC,所以因?yàn)?20.<1>因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以AB=DC,又AF=CG,所以AB－AF=DC－CG,即GD=BF,又DG∥BF,所以四邊形DFBG是平行四邊形,所以DF=BG;<2>因?yàn)樗倪呅蜠FBG是平行四邊形,所以DF∥GB,所以,同理可得,所以.21.<1>平行四邊,兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;<2>矩,有一個(gè)是直角的平行四邊形是矩形.22.如圖所示,連結(jié)對角線AC、BD,過A、B、C、D分別作BD、AC、BD、AC的平行線,且這些平行線兩兩相交于E、F、G、H,四邊形EFGH即為符合條件的平行四邊形.AABCDEFGH練習(xí)31、把正方形繞著點(diǎn).按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形.邊與交于點(diǎn)〔如圖．試問線段與線段相等嗎？請先觀察猜想.然后再證明你的猜想．DDCABGHFE2、四邊形ABCD、DEFG都是正方形.連接AE、CG．〔1求證：AE=CG；〔2觀察圖形.猜想AE與CG之間的位置關(guān)系.并證明你的猜想．3、將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊.使點(diǎn)C與A重合.點(diǎn)D落到D′處.折痕為EF．ABCDEFD′〔1求證：△ABCDEFD′挑戰(zhàn)自我：1、<20XX眉山市>．如圖.每個(gè)小正方形的邊長為1.A、B、C是小正方形的頂點(diǎn).則∠ABC的度數(shù)為〔A．90°B．60°C．45°D．30°2、〔2010XXXX中考下列圖形中.單獨(dú)選用一種圖形不能進(jìn)行平面鑲嵌的圖形是〔A.正三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形3．〔20XX北京順義若一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是120°.則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是〔A．9B．8C．6D．44、〔20XXXXXX中考如圖4.在□ABCD中.對角線AC、BD相交于點(diǎn)O.若AC=14.BD=8.AB=10.則△OAB的周長為。5、〔20XXXX市如圖.在□ABCD中.AE＝EB.AF＝2.則FC等于_____．第5題圖FAEBC第5題圖FAEBCD6、<20XX濱州>如圖,平行四邊形ABCD中,∠ABC=60°,E、F分別在CD、BC的延長線上,AE∥BD,EF⊥BC,DF=2,則EF的長為ABCD7、<20XXXXXX>如圖.請?jiān)谙铝兴膫€(gè)關(guān)系中.選出兩個(gè)恰當(dāng)?shù)年P(guān)系作為條件.推出四邊形是平行四邊形.并予以證明．〔寫出一種即可關(guān)系：①∥.②.③.④．ABCD已知：在四邊形中..；求證：四邊形是平行四邊形．DABC8、〔20XXXX市如圖1.有一張菱形紙片ABCD..DABC〔1請沿著AC剪一刀.把它分成兩部分.把剪開的兩部分拼成一個(gè)平行四邊形.在圖2中用實(shí)數(shù)畫出你所拼成的平行四邊形;若沿著BD剪開.請?jiān)趫D3中用實(shí)線畫出拼成的平行四邊形;并直接寫出這兩個(gè)平行四邊形的周長?！矆D1〔2沿著一條直線剪開.拼成與上述兩種都不全等的平行四邊形.請?jiān)趫D4〔圖1中用實(shí)線畫出拼成的平行四邊形?！沧ⅲ荷鲜鏊嫷钠叫兴倪呅味疾荒芘c原菱形全等DABDABCDABCDABC〔圖4〔圖3〔圖2〔圖4〔圖3〔圖2周長為__________周長為__________9、〔2007天津市在梯形ABCD中.AD//BC.對角線AC⊥BD.且.BD=12cm.求梯形中位線的長。10、〔2007·XX如圖.在周長為20cm的□ABCD中.AB≠AD.AC、BD相交于點(diǎn)O.OE⊥BD交AD于E.則△ABE的周長為〔<A>4cm<B>6cm<C>8cm<D>10cm11題11題10題11、〔2006·XX如圖.在平行四邊形ABCD中.AE⊥BC于E.AF⊥CD于F.∠EAF=45o.且AE+AF=.則平行四邊形ABCD的周長是．直擊中考：1.〔2011XX如圖.D是△ABC內(nèi)一點(diǎn).BD⊥CD.AD=6.BD=4.CD=3.E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn).則四邊形EFGH的周長是〔[答案]DA．7B．9C．10D．112.〔2011XX威海在□ABCD中.點(diǎn)E為AD的中點(diǎn).連接BE.交AC于點(diǎn)F.則AF：CF＝〔A．1：2B．1：3C．2：3D．2：5[答案]A3.〔2011XXXX下面圖形都是由同樣大小的平行四邊形按一定的規(guī)律組成.其中.第①個(gè)圖形一共有1個(gè)平行四邊形.第②個(gè)圖形一共有5個(gè)平行四邊形.第③個(gè)圖形一共有11個(gè)平行四邊形.…….則第⑥個(gè)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)為<>[答案]C……圖①圖②圖③圖④A．55 B．42 C．41 D．294.〔2011XX市一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°.這個(gè)多邊形的邊數(shù)是〔[答案]C A．4B．5C．6D．75.〔2011XXXX正八邊形的每個(gè)內(nèi)角為〔[答案]ＢA．120° B．135° C．140° D．144°6、〔2011XXXX圖1是一個(gè)邊長為1的等邊三角形和一個(gè)菱形的組合圖形.菱形邊長為等邊三角形邊長的一半.以此為基本單位.可以拼成一個(gè)形狀相同但尺寸更大的圖形〔如圖2.依此規(guī)律繼續(xù)拼下去〔如圖3.…….則第n個(gè)圖形的周長是〔[答案]C圖1圖1圖2圖3……〔A〔B〔C〔D7.〔2011XXXX如圖.邊長為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形.若兩個(gè)小正方形的面積分別為S1.S2.則S1+S2的值為〔[答案]BA.17B.17C.18D.198.〔2011XXXX如圖.點(diǎn)O是矩形ABCD的中心.E是AB上的點(diǎn).沿CE折疊后.點(diǎn)B恰好與點(diǎn)O重合.若BC=3.則折痕CE的長為〔[答案]AA.2eq\r<3>B.eq\f<3eq\r<3>,2>C.eq\r<3>D.69.〔2011XXXX如圖.正方形ABCD中.AB＝6.點(diǎn)E在邊CD上.且CD＝3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE.延長EF交邊BC于點(diǎn)G.連結(jié)AG、CF．下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是<>[答案]CA．1 B．2 C．3 D．410.〔2011XX省XX如圖.①②③④⑤五個(gè)平行四邊形拼成一個(gè)含30°內(nèi)角的菱形EFGH〔不重疊無縫隙．若①②③④四個(gè)平行四邊形面積的和為14cm2.四邊形ABCD面積是11cm2.則①②③④四個(gè)平行四邊形周長的總和為〔[答案]A〔A48cm 〔B36cm〔C24〔第〔第10題①②③④⑤11.〔2011XX江津如圖,四邊形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn),得到四邊形A1B1C1D1,再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn),得到四邊形A2B2C2D2……,如此進(jìn)行下去,得到四邊形AnBnCnDn①四邊形A2B2C2D2是矩形;②四邊形A4B4C4D③四邊形A5B5C5D5的周長;④四邊形AnBnCnDn的面積是A.①②B.②③C.②③④D.①②③④……A1AA2A3BB1B2B3CC2C1C3DD2D1D312.〔2011XXXX市如圖.在菱形ABCD中.AB=BD.點(diǎn)E.F分別在AB.AD上.且AE=DF．連接BF與DE相交于點(diǎn)G.連接CG與BD相交于點(diǎn)H．下列結(jié)論：〔[答案]D

①△AED≌△DFB；

②S四邊形

BCDG=

CG2；③若AF=2DF.則BG=6GF．其中正確的結(jié)論A．只有①②．

B．只有①③．C．只有②③．

D．①②③．AABCDEFGH第12題圖13.〔2011XXXX如圖.三個(gè)邊長均為2的正方形重疊在一起.O1、O2是其中兩個(gè)正方形的中心.則陰影部分的面積是.[答案]214.<2011XXXX>取一張矩形紙片按照圖1、圖2中的方法對折.并沿圖3中過矩形頂點(diǎn)的斜線〔虛線剪開.那剪下的①這部分展開.平鋪在桌面上.若平鋪的這個(gè)圖形是正六邊形.則這張矩形紙片的寬和長之比為.[答案]15.〔2011XXXX如圖.依次連結(jié)第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)菱形.再依次連結(jié)菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形.按照此方法繼續(xù)下去。已知第一個(gè)矩形的面積為1.則第n個(gè)矩形的面積為。[答案]…………16、〔20XXXX如圖.菱形ABCD的對角線長分別為.以菱形ABCD各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作矩形A1B1C1D1.然后再以矩形A1B1C1D1的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作菱形A2B2C2D2.…….如此下去.得到四邊形A2009B2009C2009D2009的面積用含的代數(shù)式表示為．[答案]17、〔2009XX大興安嶺如圖.邊長為1的菱形中.．連結(jié)對角線.以為邊作第二個(gè)菱形.使；連結(jié).再以為邊作第三個(gè)菱形.使；…….按此規(guī)律所作的第個(gè)菱形的邊長為．[答案]18．〔2011XX日照.16.4分正方形ABCD的邊長為4.M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).且始終保持AM⊥MN．當(dāng)BM=時(shí).四邊形ABCN的面積最大．[答案]2;19、〔2011XXXX如圖.平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O.E、F在AC上.G、H在BD上.AF=CE.BH=DG．求證：GF∥HE．HHACBDOEGF[答案]證明：∵平行四邊形ABCD中.OA=OC.由已知：AF=CEAF－OA=CE－OC∴OF=OE同理得：OG=OH∴四邊形EGFH是平行四邊形∴GF∥HE20、〔2011XXXX10分如圖.已知線段AB∥CD.AD與BC相交于點(diǎn)K.E是線段AD上一動(dòng)點(diǎn).<1>若BK=KC.求的值；<2>連接BE.若BE平分∠ABC.則當(dāng)AE=AD時(shí).猜想線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關(guān)系?請寫出你的結(jié)論并予以證明．再探究：當(dāng)AE=AD<>.而其余條件不變時(shí).線段AB、BC、CD三者之間又有怎樣的等量關(guān)系?請直接寫出你的結(jié)論.不必證明．[答案]解：〔1∵AB∥CD.BK=KC.∴==.〔2如圖所示.分別過C、D作BE∥CF∥DG分別交于AB的延長線于F、G三點(diǎn).∵BE∥DG.點(diǎn)E是AD的點(diǎn).∴AB=BG；∵CD∥FG.CD∥AG.∴四邊形CDGF是平行四邊形.∴CD=FG；∵∠ABE=∠EBC.BE∥CF.∴∠EBC=∠BCF.∠ABE=∠BFC.∴BC=BF.∴AB-CD=BG-FG=BF=BC.∴AB=BC+CD.當(dāng)AE=AD<>時(shí).〔AB=BC+CD.21、〔2011XXXX10分如圖.在△ABC中.∠ACB=90°.BC的垂直平分線DE交BC于D.交AB于E.F在DE上.且AF=CE=AE．⑴說明四邊形ACEF是平行四邊形；⑵當(dāng)∠B滿足什么條件時(shí).四邊形ACEF是菱形.并說明理由．第2第25題圖[答案]〔1證明：由題意知∠FDC=∠DCA=90°．∴EF∥CA∴∠AEF=∠EAC∵AF=CE=AE∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA又∵AE=EA∴△AEC≌△EAF.∴EF=CA.∴四邊形ACEF是平行四邊形．〔2當(dāng)∠B=30°時(shí).四邊形ACEF是菱形．理由是：∵∠B=30°.∠ACB=90°.∴AC=.∵DE垂直平分BC.∴BE=CE又∵AE=CE.∴CE=.∴AC=CE.∴四邊形ACEF是菱形．22、〔2011XX濱州10分如圖.在△ABC中.點(diǎn)O是AC邊上〔端點(diǎn)除外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F.連接AE、AF。那么當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何下時(shí).四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論。〔第24題圖〔第24題圖[答案]當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)〔或OA=OC時(shí).四邊形AECF是矩形………………2分證明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2.………………3分又∵M(jìn)N∥BC,∴∠1=∠3.∴∠3=∠2.∴EO=CO.………………5分同理.FO=CO………………6分∴EO=FO又OA=OC,∴四邊形AECF是平行四邊形………………7分又∵∠1=∠2.∠4=∠5.∴∠1+∠5=∠2+∠4.………………8分又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°………………9分∴四邊形AECF是矩形………………10分23、〔2011XX襄陽10分>如圖9.點(diǎn)P是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)〔不與點(diǎn)A.B重合.連接PD并將線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE.PE交邊BC于點(diǎn)F.連接BE.DF.〔1求證：∠ADP＝∠EPB；〔2求∠CBE的度數(shù)；〔3當(dāng)?shù)闹档扔诙嗌贂r(shí).△PFD∽△BFP？并說明理由.圖9圖9[答案]〔1證明：∵四邊形ABCD是正方形∴∠A＝∠PBC＝90°.AB＝AD.∴∠ADP＋∠APD＝90° 1分∵∠DPE＝90°∴∠APD＋∠EPB＝90°∴∠ADP＝∠EPB. 2分〔2過點(diǎn)E作EG⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)G.則∠EGP＝∠A＝90° 3分又∵∠ADP＝∠EPB.PD＝PE.∴△PAD≌△EGP∴EG＝AP.AD＝AB＝PG.∴AP＝EG＝BG 4分∴∠CBE＝∠EBG＝45°. 5分〔3方法一：當(dāng)時(shí).△PFE∽△BFP. 6分∵∠ADP＝∠FPB.∠A＝∠PBF.∴△ADP∽△BPF 7分設(shè)AD＝AB＝a.則AP＝PB＝.∴BF＝BP· 8分∴.∴ 9分又∵∠DPF＝∠PBF＝90°.∴△ADP∽△BFP 10分方法二：假設(shè)△ADP∽△BFP.則. 6分∵∠ADP＝∠FPB.∠A＝∠PBF.∴△ADP∽△BPF 7分∴. 8分∴. 9分∴PB＝AP.∴當(dāng)時(shí).△PFE∽△BFP. 10分24.〔2011XX永州10分探究問題：⑴方法感悟：如圖①.在正方形ABCD中.點(diǎn)E.F分別為DC.BC邊上的點(diǎn).且滿足∠EAF=45°.連接EF.求證DE+BF=EF．感悟解題方法.并完成下列填空：將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG.此時(shí)AB與AD重合.由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD,BG=DE,∠1=∠2.∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°.因此.點(diǎn)G.B.F在同一條直線上．∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．∵∠1=∠2.∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠_________．又AG=AE.AF=AF∴△GAF≌_______．∴_________=EF.故DE+BF=EF．〔〔第25題①⑵方法遷移：如圖②.將沿斜邊翻折得到△ADC.點(diǎn)E.F分別為DC.BC邊上的點(diǎn).且∠EAF=∠DAB．試猜想DE.BF.EF之間有何數(shù)量關(guān)系.并證明你的猜想．〔第25題〔第25題②〔第25題②解得圖⑶問題拓展：如圖③.在四邊形ABCD中.AB=AD.E.F分別為DC,BC上的點(diǎn).滿足,試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時(shí).可使得DE+BF=EF．請直接寫出你的猜想〔不必說明理由．〔〔第25題③[答案]⑴EAF、△EAF、GF．⑵DE+BF=EF.理由如下：假設(shè)∠BAD的度數(shù)為.將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A