魯教版（五四制）八年級(jí)上冊(cè)《分式的運(yùn)算》知識(shí)點(diǎn)精講與練習(xí)（無(wú)答案）

///?分式的運(yùn)算?知識(shí)點(diǎn)精講與練習(xí)概念總匯分式的乘法法那么

與分?jǐn)?shù)的乘法法那么類(lèi)似,我們得到分式的乘法法那么：兩個(gè)分式相乘,用分子的積作為積的分子,分母的積作為積的分母．

符號(hào)表示：．說(shuō)明：分式與分式相乘時(shí),假設(shè)分子和分母都是多項(xiàng)式,那么先分解因式,看能否約分,然后再相乘。〔2〕整式與分式相乘,可以直接把整式〔整式的分母看作1〕與分式的分子相乘作為積的分子,分母不變,當(dāng)然能約分的要約分。2、分式的除法法那么

與分?jǐn)?shù)的除法法那么類(lèi)似,我們得到分式的除法法那么：兩個(gè)分式相除,把除式的分子、分母顛倒位置后,與被除式相乘．

符號(hào)表示：．

說(shuō)明：當(dāng)分式的分子與分母都是單項(xiàng)式時(shí),運(yùn)算步驟是：把除式中的分子與分母顛倒位置后,與被除式相乘,其它與乘法運(yùn)算步驟相同?！?〕當(dāng)分子與分母都是多項(xiàng)式時(shí)：運(yùn)算步驟是：

①把各個(gè)分式的分子與分母分解因式；

②把除式的分子與分母顛倒位置后,與被除式相乘；

③約分,得到計(jì)算結(jié)果.

3、分式的乘方

幾個(gè)相同分式的積的運(yùn)算叫做分式的乘方。法那么：分式的乘方,等于把分式的分子、分母分別乘方。

符號(hào)表示：〔為正整數(shù)〕。

說(shuō)明：

〔1〕分式的乘方,必須把分式加上括號(hào)。

〔2〕在一個(gè)算式中同時(shí)含有分式的乘方、乘法、除法時(shí),應(yīng)先算乘方,再算乘、除,有多項(xiàng)式時(shí)應(yīng)先分解因式,再約分。

4、分式的加減法那么

同分母分式相加減,分母不變,把分子相加減；異分母分式相加減,先通分,變?yōu)橥帜傅姆质?再加減．

符號(hào)表示：,．

說(shuō)明：

〔1〕同分母分式相加減時(shí)應(yīng)注意：

①當(dāng)分式的分子是多項(xiàng)式時(shí),應(yīng)先添括號(hào),再去括號(hào)合并同類(lèi)項(xiàng),從而防止符號(hào)錯(cuò)誤。

②分式的分子相加減后,假設(shè)結(jié)果為多項(xiàng)式,應(yīng)先考慮因式分解后與分母約分,將結(jié)果化為最簡(jiǎn)分式或整式。

〔2〕異分母分式相加減時(shí)應(yīng)注意：

①把異分母的分式化成同分母的分式,在這個(gè)過(guò)程中必須保證化成的分式與其原來(lái)的分式相等；

②通分的根據(jù)是分式的根本性質(zhì),分母需要乘“什么〞,分子也必須隨之乘“什么〞；分式的分子、分母同時(shí)乘的整式是最簡(jiǎn)公分母除以分母所得的商。

5、分式的混合運(yùn)算

分式的混合運(yùn)算順序和實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序相同,先算乘方,再算乘除,最后算加減,有括號(hào)要先算括號(hào)里面的,計(jì)算結(jié)果要化為整式或最簡(jiǎn)分式。6、整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)

〔1〕同底數(shù)冪的乘法〔m、n為整數(shù),a≠0〕〔2〕積的乘方〔m為整數(shù),a≠0,b≠0〕〔3〕冪的乘方〔m、n為整數(shù),a≠0〕〔4〕同底數(shù)冪的除法〔m、n為整數(shù),a≠0〕〔5〕在上述知識(shí)的根底上,進(jìn)一步規(guī)定〔p為正整數(shù),a≠0〕〔6〕這樣,又?jǐn)U大了科學(xué)記數(shù)法可表示的數(shù)的范圍：利用負(fù)指數(shù)冪,科學(xué)記數(shù)法不僅可以表示絕對(duì)值較大的數(shù),也可以表示絕對(duì)值較小的數(shù)方法引導(dǎo)例1〔1〕〔2〕難度等級(jí)：A

解：〔1〕原式＝＝〔2〕原式＝==【知識(shí)體驗(yàn)】分式乘除法的混合運(yùn)算先統(tǒng)一成為乘法運(yùn)算,再把分子、分母中能因式分解的多項(xiàng)式分解因式,最后進(jìn)行約分,注意最后的計(jì)算結(jié)果要是最簡(jiǎn)的。【解題技巧】解題是,先利用符號(hào)法那么,判斷結(jié)果的符號(hào),把答案符號(hào)寫(xiě)在分?jǐn)?shù)線前；再約分,約分的時(shí)候先約掉系數(shù),然后考慮字母。【搭配練習(xí)】計(jì)算：1、2、例2計(jì)算：.〔2〕－〔3〕＋；〔4〕難度等級(jí)：A

解：〔1〕＝＝＝＝4〔2〕－〔3〕＋＝＝〔4〕【知識(shí)體驗(yàn)】分式的加減分同分母加減和異分母加減。分母是同分母還是異分母要進(jìn)行區(qū)分,如和,雖然外表上看上去不同,但對(duì)添括號(hào)后可變成,依然是同分母。異分母加減要確定好最簡(jiǎn)公分母。【解題技巧】同分母的分式加減法的運(yùn)算,強(qiáng)調(diào)分子為多項(xiàng)式時(shí),應(yīng)把多項(xiàng)事看作一個(gè)整體加上括號(hào)參加運(yùn)算,結(jié)果也要約分化成最簡(jiǎn)分式.異分母的分式加減法的運(yùn)算,先把分母進(jìn)行因式分解,再確定最簡(jiǎn)公分母,進(jìn)行通分,結(jié)果要化為最簡(jiǎn)分式.【搭配練習(xí)】計(jì)算：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕例3計(jì)算：難度等級(jí)：A

解：【知識(shí)體驗(yàn)】分式的混合運(yùn)算,要注意運(yùn)算順序,式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序：先乘方,再乘除,然后加減,最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分,注意運(yùn)算的結(jié)果要是最簡(jiǎn)分式【解題技巧】先做括號(hào)里的減法,再把除法轉(zhuǎn)化成乘法,把分母的“-〞號(hào)提到分式本身的前邊。【搭配練習(xí)】計(jì)算：1、2、例4計(jì)算：〔1〕〔a≠0〕〔2〕10-2；〔3〕難度等級(jí)：A

解：〔1〕〔2〕〔3〕【知識(shí)體驗(yàn)】正整數(shù)指數(shù)冪的相關(guān)運(yùn)算在負(fù)整數(shù)指數(shù)冪也適用,所以在整式章節(jié)所學(xué)的正整數(shù)指數(shù)冪可以擴(kuò)大到整數(shù)指數(shù)冪。負(fù)整數(shù)指數(shù)冪那么被規(guī)定為〔p為正整數(shù),a≠0〕【解題技巧】運(yùn)用冪的相關(guān)運(yùn)算和新的定義可以輕松解決【搭配練習(xí)】計(jì)算：〔1〕〔-0.1〕0；〔2〕；〔3〕2-2；〔4〕.例5計(jì)算(2mn2)-3(mn-2)-5并且把結(jié)果化為只含有正整數(shù)指數(shù)冪的形式難度等級(jí)：A

解：原式=2-3m-3n-6×m-5n10=m-8n4=【知識(shí)體驗(yàn)】負(fù)整數(shù)指數(shù)冪轉(zhuǎn)化為正整數(shù)指數(shù)冪,只需要利用公式〔p為正整數(shù),a≠0〕,也就是改成分式的形式。【解題技巧】先利用冪的運(yùn)算得出積,再對(duì)積的每一個(gè)因式進(jìn)行分析,正整數(shù)指數(shù)冪的因式就直接照寫(xiě),作為結(jié)果分式的分子,負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的因式改寫(xiě)成分式的分母?！敬钆渚毩?xí)】計(jì)算以下各式,并且把結(jié)果化為只含有正整數(shù)指數(shù)冪的形式：〔1〕(a-3)2(ab2)-3；〔2〕(2mn2)-2(m-2n-1)-3.例題講解(一〕題型分類(lèi)全析例1：〔1〕；〔2〕難度等級(jí)：B【思維直現(xiàn)】〔1〕式中有乘方、除法運(yùn)算,應(yīng)先算乘方,再算除法；〔2〕式中有分式的加法、除法運(yùn)算,應(yīng)先算除法,后算加法.

解：〔1〕〔2〕

【閱讀筆記】分式的混合運(yùn)算,要特別注意運(yùn)算順序及符號(hào)的處理；式中有括號(hào),應(yīng)先算括號(hào)里面的【題評(píng)解說(shuō)】此題主要考查的是分式的混合運(yùn)算?！窘ㄗh】計(jì)算時(shí)十分容易出錯(cuò),所以應(yīng)該按照運(yùn)算順序來(lái),每一步嚴(yán)格按照法那么,盡量一次性成功,防止錯(cuò)誤?！敬钆渚毩?xí)】計(jì)算1、2、+4、5、例2：請(qǐng)將下面的代數(shù)式盡可能化簡(jiǎn),再選擇一個(gè)你喜歡的數(shù)〔要適宜哦〕代入下式求值：

難度等級(jí)：B【思維直現(xiàn)】這里的a不能取1,否那么分母的值為0,原式就沒(méi)有意義了．同學(xué)們可選擇不等于1的任意實(shí)數(shù),只要求出的值均可

解：

當(dāng)時(shí),原式

【閱讀筆記】運(yùn)用分式的混合運(yùn)算法那么進(jìn)行化簡(jiǎn)求值,注意所給字母的取值范圍【題評(píng)解說(shuō)】此題是化簡(jiǎn)求值題,考查了分式的運(yùn)算和分式的意義?！窘ㄗh】做題時(shí),要讀清楚題目的意思,明白考題的意圖。選擇數(shù)字時(shí)要符合分式的有意義的說(shuō)法,只能選擇除1以外的數(shù)?！敬钆渚毩?xí)】1、先化簡(jiǎn),再求值：．其中x＝2

2、先化簡(jiǎn),再求值：,其中a滿(mǎn)足．例3．一個(gè)納米粒子的直徑是35納米,它等于多少米？請(qǐng)用科學(xué)記數(shù)法表示難度等級(jí)：B【思維直現(xiàn)】知道：1納米＝米.由＝10-9可知,1納米＝10-9米解：35×10-9＝〔3.5×10〕×10-9＝35×101＋〔－9〕＝3.5×10-8,所以這個(gè)納米粒子的直徑為3.5×10-8米.【閱讀筆記】科學(xué)記數(shù)法對(duì)數(shù)字的要求是寫(xiě)成：〔,n是整數(shù)〕【題評(píng)解說(shuō)】此題考查的是科學(xué)記數(shù)法和同底數(shù)冪的乘法。這是一個(gè)介紹納米的應(yīng)用題,是應(yīng)用科學(xué)記數(shù)法表示小于1的數(shù)【建議】要警惕形式上像科學(xué)記數(shù)法,實(shí)質(zhì)不是科學(xué)記數(shù)法的數(shù)?！敬钆渚毩?xí)】1、用科學(xué)記數(shù)法表示：〔1〕0.00003；〔2〕-0.0000064；〔3〕0.0000314；〔4〕2019000.2、用科學(xué)記數(shù)法填空：〔1〕1秒是1微秒的倍,那么1微秒＝_________秒；〔2〕1毫克＝_________千克；〔3〕1微米＝_________米；〔4〕1納米＝_________微米；〔5〕1平方厘米＝_________平方米；〔6〕1毫升＝________立方米〔二〕思維重點(diǎn)突破例4．計(jì)算難度等級(jí)：C【思維直現(xiàn)】應(yīng)用加減法的法那么進(jìn)行運(yùn)算,觀察每一個(gè)分式的特點(diǎn)以及整個(gè)分式的特點(diǎn),尋找最簡(jiǎn)單的解題途徑．解：原式＝

＝＝

＝

【閱讀筆記】當(dāng)分子的次數(shù)到達(dá)或超過(guò)分母時(shí),將分式化為整式與最簡(jiǎn)分式的和,可以降低難度．

【題評(píng)解說(shuō)】此題還是分式的加減,但如果按照常規(guī)做法就很麻煩,會(huì)出現(xiàn)x的4次冪,所以要觀察題目,找到分式的特點(diǎn)。【建議】公式和法那么只是常規(guī)方法,對(duì)一般題目有效,但遇到特殊形式的題目時(shí),要積極思考,尋求最適合的方法解題?！敬钆渚毩?xí)】計(jì)算:例5．設(shè)n為自然數(shù),計(jì)算：難度等級(jí)：C【思維直現(xiàn)】此題可巧用分式減法的逆運(yùn)算,將分式進(jìn)行拆項(xiàng)、合并．解：：原式

?！鹃喿x筆記】把分式拆項(xiàng)相消后,會(huì)減少項(xiàng)數(shù),使通分運(yùn)算更簡(jiǎn)便【題評(píng)解說(shuō)】在整式章節(jié)中,冪的運(yùn)算就要使用其的逆運(yùn)算。此題也是如此,可以巧用分式減法的逆運(yùn)算,打破常規(guī),到達(dá)巧算的目的,從而簡(jiǎn)化運(yùn)算?！窘ㄗh】讓思維向?qū)α⒚娴姆较蜷_(kāi)展,從問(wèn)題的相反面深入地進(jìn)行探索,樹(shù)立新思想,創(chuàng)立新形象?！敬钆渚毩?xí)】計(jì)算：++……+例6．某玩具工廠有四個(gè)車(chē)間,某周是質(zhì)量檢查周,現(xiàn)每個(gè)車(chē)間都原有a〔a＞0〕個(gè)成品,且每個(gè)車(chē)間每天都生產(chǎn)b(b＞0)個(gè)產(chǎn)品.質(zhì)檢科派出假設(shè)干名檢驗(yàn)員在星期一、星期二檢驗(yàn)其中兩個(gè)車(chē)間原有的和這兩天所生產(chǎn)的所有成品;在星期三至星期五檢驗(yàn)另兩個(gè)車(chē)間原有的和本周所生產(chǎn)的所有成品.假定每個(gè)檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)的成品數(shù)相同.〔1〕這假設(shè)干名檢驗(yàn)員一天檢驗(yàn)多少個(gè)成品〔用含a,b的代數(shù)式表示〕？〔2〕試求出用b表示a的關(guān)系式.〔3〕假設(shè)一名檢驗(yàn)員一天能檢驗(yàn)個(gè)產(chǎn)品,那么質(zhì)檢科至少要派多少名檢驗(yàn)員？難度等級(jí)：C【思維直現(xiàn)】解容許用題的關(guān)鍵是抓住問(wèn)題中的關(guān)鍵語(yǔ)句：〔1〕“假設(shè)干名檢驗(yàn)員在星期一、星期二檢驗(yàn)完其中兩個(gè)車(chē)間原有的和這兩天所生產(chǎn)的所有成品〞,這兩天檢驗(yàn)的總成品數(shù)為2〔a+2b〕個(gè),兩天檢驗(yàn)完,故每天檢驗(yàn)個(gè);〔2〕“在星期三至星期五檢驗(yàn)另兩個(gè)車(chē)間原有的和本周所生產(chǎn)的所有成品〞,這三天檢驗(yàn)的總成品為2〔a+5b〕,故每天檢驗(yàn)個(gè);〔3〕弄清了〔1〕和〔2〕兩點(diǎn),問(wèn)題就明朗了解：〔1〕這假設(shè)干名檢驗(yàn)員一天檢驗(yàn)或個(gè)成品.〔2〕根據(jù)題意,得=,化簡(jiǎn)得a=4b.(3)依題意÷=(a+2b)÷=6b÷=7.5〔名〕.故質(zhì)檢科至少要派出8名檢驗(yàn)員.【閱讀筆記】過(guò)閱讀題目,尋求三個(gè)根底量非常關(guān)鍵,本例通過(guò)求出檢驗(yàn)人員前兩天和后三天的工作量,