河北省石家莊市晨光中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

河北省石家莊市晨光中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中,已知,,E,F為BC的三等分點(diǎn),則=A． B．

C．

D．參考答案：B2.“若則”與它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（

）.4

.3

.2

.0參考答案：D略3.等腰△ABC中，底邊BC=4，則· （

）A．6 B．－6 C．8 D．－8參考答案：D4.已知二次函數(shù)y=kx2-7x-7的圖象和x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（

）A．-,+∞)

B．-,0)∪(0,+∞)C．-,+∞)

D．(-,0)∪(0,+∞)參考答案：B5.將函數(shù)向右平移個(gè)單位，再將所得的函數(shù)圖象上的各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，則函數(shù)y=g（x）與，，x軸圍成的圖形面積為（） A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；定積分． 【專(zhuān)題】常規(guī)題型；綜合題． 【分析】將函數(shù)向右平移個(gè)單位，推出函數(shù)解析式，再將所得的函數(shù)圖象上的各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，利用積分求函數(shù)y=g（x）與，，x軸圍成的圖形面積． 【解答】解：將函數(shù)向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)=sin（2x+π）=﹣sin2x，再將所得的函數(shù)圖象上的各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到函數(shù)y=g（x）=﹣sinx的圖象，則函數(shù)y=﹣sinx與，，x軸圍成的圖形面積：﹣+（﹣sinx）dx=﹣cosx+cosx=+1= 故選B 【點(diǎn)評(píng)】本題是中檔題，考查三角函數(shù)圖象的平移伸縮變換，利用積分求面積，正確的變換是基礎(chǔ)，合理利用積分求面積是近年高考必考內(nèi)容． 6.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為

、是方程的兩個(gè)根，則（

）A． B． C． D．參考答案：D考點(diǎn)：等差數(shù)列試題解析：由題知：所以在等差數(shù)列中，故答案為：D7.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an－2，則a2等于()

A．－2

B．2

C．1

D．4參考答案：D8.已知是第三象限角，，且，則等于A．

B．

C．

D．參考答案：答案:D9.函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖像，則只需將的圖像A．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位

B．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位

D．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位

參考答案：10.已知中，角的對(duì)邊是，且成等比數(shù)列，則函數(shù)的取值范圍是（

）A．

B.

C.

D.參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，則零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是________．參考答案：3令，解得，令，解得，所以函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3，

12.在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是

．參考答案：8【考點(diǎn)】HW：三角函數(shù)的最值；HX：解三角形．【分析】結(jié)合三角形關(guān)系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，進(jìn)而得到tanB+tanC=2tanBtanC，結(jié)合函數(shù)特性可求得最小值．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC為銳角三角形，則cosB＞0，cosC＞0，在①式兩側(cè)同時(shí)除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，則tanAtanBtanC=﹣?tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C為銳角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值為8，另解：由已知條件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC，sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，兩邊同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC，∵﹣tanA=tan（B十C）=，∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2，令tanAtanBtanC=x＞0，即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值為8．當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互換），此時(shí)A，B，C均為銳角．13.設(shè)等差數(shù)列滿足：公差，，且中任意兩項(xiàng)之和也是該數(shù)列中的一項(xiàng).若，則

；若，則的所有可能取值之和為

.參考答案：略14.已知隨機(jī)變量，若，則等于

參考答案：0.315.的展開(kāi)式中的系數(shù)為

．參考答案：－7由題意，二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，所以的系數(shù)為．

16.把正整數(shù)排列成如圖甲三角形數(shù)陣，然后擦去第偶數(shù)行中的奇數(shù)和第奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙的三角形數(shù)陣，再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個(gè)數(shù)列{an}，若an=2015，則n=．參考答案：1030【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，分析圖乙，可得其第k行有k個(gè)數(shù)，則前k行共有個(gè)數(shù)，第k行最后的一個(gè)數(shù)為k2，從第三行開(kāi)始，以下每一行的數(shù)，從左到右都是公差為2的等差數(shù)列；進(jìn)而由442＜2015＜452，可得2015出現(xiàn)在第45行，又由第45行第一個(gè)數(shù)為442+1=1937，由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得該行第40個(gè)數(shù)為2015，由前44行的數(shù)字?jǐn)?shù)目，相加可得答案．【解答】解：分析圖乙，可得①第k行有k個(gè)數(shù)，則前k行共有個(gè)數(shù)，②第k行最后的一個(gè)數(shù)為k2，③從第三行開(kāi)始，以下每一行的數(shù)，從左到右都是公差為2的等差數(shù)列，又由442=1936，452=2025，則442＜2015＜452，則2015出現(xiàn)在第45行，第45行第一個(gè)數(shù)為442+1=1937，這行中第=40個(gè)數(shù)為2015，前44行共有=990個(gè)數(shù)，則2015為第990+40=1030個(gè)數(shù)．故答案為：1030．17.已知實(shí)數(shù)滿足：

則的取值范圍是___________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)g（x）=alnx+x2+（1﹣b）x．（Ⅰ）若g（x）在點(diǎn)（1，g（1））處的切線方程為8x﹣2y﹣3=0，求a，b的值；（Ⅱ）若b=a+1，x1，x2是函數(shù)g（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：g（x1）+g（x2）+4＜0．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，得到g（1），g′（1），根據(jù)系數(shù)相等求出a，b的值即可；（Ⅱ）求出x1，x2是方程x2﹣ax+a=0的根，得到x1+x2=a，x1?x2=a，根據(jù)△＞0，求出a＞4，于是g（x1）+g（x2）+4=alna﹣a2﹣a+4，令h（x）=xlnx﹣x2﹣x+4，（x＞4），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）＜h（4），從而證出結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)g（x）=alnx+x2+（1﹣b）x，x＞0，g′（x）=+x+（1﹣b），g（1）=﹣b，g′（1）=a﹣b+2，∴切線方程是：y﹣+b=（a﹣b+2）（x﹣1），即：2（a﹣b+2）x﹣2y﹣2a﹣1=0，又切線方程為8x﹣2y﹣3=0，∴，解得：a=1，b=﹣1；（Ⅱ）若b=a+1，則g（x）=alnx+x2﹣ax，（x＞0），g′（x）=+x﹣a=，（x＞0），若x1，x2是函數(shù)g（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，則x1，x2是方程x2﹣ax+a=0的根，∴x1+x2=a，x1?x2=a，而△=a2﹣4a＞0，解得：a＞4或a＜0，顯然a＞4，∴g（x1）+g（x2）+4=alnx1+﹣ax1+alnx2+﹣ax2+4=alna﹣a2﹣a+4，令h（x）=xlnx﹣x2﹣x+4，（x＞4），h′（x）=lnx﹣x，h″（x）=＜0，∴h′（x）在（4，+∞）遞減，∴h′（x）max＞h′（4）=ln4﹣4＜0，∴h（x）在（4，∞）遞減，∴h（x）＜h（4）=8（ln2﹣1）＜0，∴g（x1）+g（x2）+4＜0．19.如圖,在正方形中,為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為.分別將線段和十等分,分點(diǎn)分別記為和,連結(jié),過(guò)做軸的垂線與交于點(diǎn).(1)求證:點(diǎn)都在同一條拋物線上,并求該拋物線的方程;(2)過(guò)點(diǎn)做直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn),若與的面積比為,求直線的方程.（3）傾斜角為a的直線經(jīng)過(guò)拋物線E的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn),若為銳角，作線段AB的垂直平分線m交y軸于點(diǎn)P，證明|FP|+|FP|cos2a為定值，并求此定值。參考答案：(Ⅰ)依題意,過(guò)且與x軸垂直的直線方程為,直線的方程為設(shè)坐標(biāo)為,由得:,即,都在同一條拋物線上,且拋物線方程為(4分)(Ⅱ)依題意:直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為由得此時(shí),直線與拋物線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)設(shè):,則又,分別帶入,解得直線的方程為,即或(6分)（3）直線AB：代入，整理得：設(shè)方程二根為x1，x2，則.設(shè)AB中點(diǎn)M為AB的垂直平分線方程是:y=令x=0，則故于是|FP|+FP|cos2a=10,為定值。（6分）20.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線C：交于A，B兩點(diǎn)，且．（1）求拋物線C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)M作直線交拋物線C于P，Q兩點(diǎn)，記，的面積分別為S1，S2，證明：為定值.參考答案：（1）；（2）詳見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)直線l的方程為x＝my+1，與拋物線C的方程聯(lián)立消去x得關(guān)于y的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示，從而求得p的值；（2）由題意求出弦長(zhǎng)|AB|以及原點(diǎn)到直線l的距離，計(jì)算△OAB的面積S1，同理求出△OPQ的面積S2，再求的值．【詳解】（1）設(shè)直線：，與聯(lián)立消得，.設(shè)，，則，.因?yàn)?，所以，解?所以拋物線的方程為.（2）由（1）知是拋物線的焦點(diǎn)，所以.原點(diǎn)到直線的距離，所以.因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)且，所以.所以.即為定值.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了直