大一高數(shù)下基本概念

關(guān)于大一高數(shù)下基本概念第1頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三

第八章第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性機動目錄上頁下頁返回結(jié)束多元函數(shù)的基本概念第2頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三一、區(qū)域1.鄰域點集稱為點P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說明：若不需要強調(diào)鄰域半徑

,也可寫成點P0

的去心鄰域記為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三在討論實際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域為。因為方鄰域與圓鄰域可以互相包含.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三2.

區(qū)域(1)

內(nèi)點、外點、邊界點設(shè)有點集

E

及一點

P:若存在點P

的某鄰域U(P)E,若存在點P的某鄰域U(P)∩E=,若對點

P

的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點也含E則稱P為E

的內(nèi)點；則稱P為E

的外點;則稱P為E

的邊界點.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束的外點,顯然,E

的內(nèi)點必屬于E,

E

的外點必不屬于E,E

的邊界點可能屬于E,也可能不屬于E.第5頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三(2)

聚點若對任意給定的

,點P

的去心機動目錄上頁下頁返回結(jié)束鄰域內(nèi)總有E

中的點,則稱P

是E

的聚點.聚點可以屬于E,也可以不屬于E(因為聚點可以為所有聚點所成的點集成為E

的導(dǎo)集

.E

的邊界點)第6頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域若點集E

的點都是內(nèi)點，則稱E

為開集；若點集E

E

,則稱E

為閉集；

若集D

中任意兩點都可用一完全屬于D的折線相連,

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D

是連通的;

連通的開集稱為開區(qū)域

,簡稱區(qū)域;機動目錄上頁下頁返回結(jié)束。。

E

的邊界點的全體稱為E

的邊界,記作E;第7頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三3.n

維空間n元有序數(shù)組的全體稱為n

維空間,n維空間中的每一個元素稱為空間中的稱為該點的第k

個坐標(biāo).記作即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一個點,當(dāng)所有坐標(biāo)稱該元素為中的零元,記作O.第8頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三的距離記作中點

a

的

鄰域為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束規(guī)定為與零元O

的距離為第9頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三二、多元函數(shù)的概念引例:圓柱體的體積定量理想氣體的壓強三角形面積的海倫公式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三定義1.

設(shè)非空點集點集D

稱為函數(shù)的定義域;數(shù)集稱為函數(shù)的值域

.特別地,當(dāng)n=2時,有二元函數(shù)當(dāng)n=3時,有三元函數(shù)映射稱為定義在

D

上的n

元函數(shù),記作機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三例如,

二元函數(shù)定義域為圓域說明:

二元函數(shù)

z=f(x,y),(x,y)D圖形為中心在原點的上半球面.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束的圖形一般為空間曲面.三元函數(shù)定義域為圖形為空間中的超曲面.單位閉球第12頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三三、多元函數(shù)的極限定義2.

設(shè)n

元函數(shù)點,則稱A

為函數(shù)(也稱為n

重極限)當(dāng)n=2時,記二元函數(shù)的極限可寫作：P0是D的聚若存在常數(shù)A,對一記作都有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束對任意正數(shù)

,總存在正數(shù),切第13頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三例1.

設(shè)求證：證:故總有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束要證第14頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三例2.

設(shè)求證：證：故總有要證機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三

若當(dāng)點趨于不同值或有的極限不存在，解:

設(shè)P(x,y)沿直線y=kx

趨于點(0,0),在點(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k

值不同極限不同!在(0,0)點極限不存在.以不同方式趨于不存在.例3.

討論函數(shù)函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三例4.

求解:因而此函數(shù)定義域不包括x,y

軸則故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三僅知其中一個存在,推不出其它二者存在.

二重極限不同.如果它們都存在,則三者相等.例如,顯然與累次極限但由例3知它在(0,0)點二重極限不存在.例3目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3

.

設(shè)n元函數(shù)定義在D

上,如果函數(shù)在D

上各點處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上如果存在否則稱為不連續(xù),此時稱為間斷點

.則稱n

元函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束連續(xù).連續(xù),第19頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三例如,

函數(shù)在點(0,0)極限不存在,又如,

函數(shù)上間斷.

故(0,0)為其間斷點.在圓周機動目錄上頁下頁返回結(jié)束結(jié)論:一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).第20頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三定理：若f(P)在有界閉域D

上連續(xù),則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束*(4)f(P)必在D上一致連續(xù).在

D

上可取得最大值M及最小值m;(3)對任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致連續(xù)性定理)閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略)第21頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三解:原式例5.求例6.

求函數(shù)的連續(xù)域.解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第22頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三內(nèi)容小結(jié)1.區(qū)域

鄰域:

區(qū)域連通的開集

2.多元函數(shù)概念n

元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第23頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三有3.多元函數(shù)的極限4.多元函數(shù)的連續(xù)性1)函數(shù)2)閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)P11題

2;4;5(3),(5)(畫圖

);8P72題

3;4機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)第24頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三解答提示:P11題2.稱為二次齊次函數(shù).P11題4.P11題5(3).定義域P11題5(5).定義域機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第25頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三P12題8.間斷點集P72題3.定義域P72題4.令y=kx

，若令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,則可見極限不存在第26頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三

作業(yè)P115(2),(4),(6)6(2),(3),(5),(6)7，9,10第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束第27頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三備用題1.設(shè)求解法1令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第28頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三1.設(shè)求解法2令即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第29頁，講稿共32頁，