§. 空間向量及其運(yùn)算理

山東金榜苑文化傳媒集團(tuán)步步高大一輪復(fù)習(xí)講義空間向量及其運(yùn)算空間向量與立體幾何空間向量及其運(yùn)算立體幾何中的向量方法空間向量的加減運(yùn)算空間向量的數(shù)乘運(yùn)算空間向量的數(shù)量積運(yùn)算空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算共線向量定理共面向量定理空間向量基本定理平行與垂直條件向量夾角及距離直線的方向向量與平面的法向量求空間角求空間距離線線角線面角面面角憶一憶知識(shí)要點(diǎn)1.空間向量的有關(guān)概念(1)空間向量：在空間中，具有_____和_____的量叫做空間向量．(2)相等向量：方向_____且模_____的向量．(3)共線向量：表示空間向量的有向線段所在的直線互相___________的向量．(4)共面向量：__________________的向量．大小方向相同相等平行或重合平行于同一個(gè)平面2.共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理

(1)共線向量定理對空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.憶一憶知識(shí)要點(diǎn)憶一憶知識(shí)要點(diǎn)互相垂直

憶一憶知識(shí)要點(diǎn)(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.憶一憶知識(shí)要點(diǎn)憶一憶知識(shí)要點(diǎn)憶一憶知識(shí)要點(diǎn)③2②③濃④題號(hào)答案12345空間庭向量巴的線駱性運(yùn)省算用已裹知向雞量來御表示歇未知林向量,一定礎(chǔ)要結(jié)疲合圖殺形,以圖壇形為掙指導(dǎo)汗是解呆題的辦關(guān)鍵.要正貞確理葬解向依量加映法、猾減法廣與數(shù)啊乘運(yùn)杰算的敘幾何慎意義.首尾態(tài)相接露的若租干向驕量之洲和,等于任由起沈始向堪量的乖始點(diǎn)抗指向污末尾公向量徒的終駁點(diǎn)的赴向量,我們擾可把以這個(gè)賢法則射稱為未向量引加法更的多呀邊形刺法則.在立即體幾佩何中旗要靈假活應(yīng)抵用三須角形杠法則,向量蝦加法網(wǎng)的平傘行四福邊形砌法則睛在空訴間仍喘然成可立.共線臣、共召面向呀量定雜理的析應(yīng)用共線華、共姻面向涂量定傾理的匠應(yīng)用共線絕、共刷面向住量定落理的罩應(yīng)用共線奶、共它面向垃量定導(dǎo)理的編應(yīng)用共線裁、共蠻面向聲量定腦理的朋應(yīng)用在求矮一個(gè)爐向量喜由其鑰他向歸量來篩表示栗的時(shí)樸候，貌通常庸是利寨用向輛量的被三角鼠形法映則、精平行庫四邊轟形法色則和薯共線律向量晨的特公點(diǎn)，腹把要敗求的呢向量央逐步脅分解景，向籮已知卸向量腔靠近,進(jìn)行半求解敢，若驢要證遇明兩督直線堂平行,只需話判定忽兩直工線所塞在的序向量催滿足零線性a＝λb關(guān)系,即可驢判定夠兩直鋸線平貢行.空間仍向量籍性質(zhì)似的應(yīng)角用證明亞兩條推直線安垂直表，一存般是執(zhí)用兩頂條直枕線的服方向彎向量宣的數(shù)奔量積既等于0來加器以證踢明的眾．已知a＝(x,4,拔1甩)漠,b＝(－2,y,－1)沉,c＝(3慚,－2,z)錘,a∥b，b⊥c.求:(1怒)a，b，c；(2慨)(a＋c)與(b＋c)夾角胳的余許弦值師．于是c＝(3泛,－2,給2弟)．已知a＝(x,4,磨1等)孟,b＝(－2,y,－1)透,c＝(3甩,－2,z)惡,a∥b，b⊥c.求:(1底)a，b，c；(2榆)(a＋c)與(b＋c)夾角拾的余迅弦值黑．09“兩向侍量平各行”和“兩向展量同板向”不清檔致誤(5分)已知縱向量a＝(1梳,租2,抵3采),b＝(x,x2＋y－2,y),并且a,b同向,則x,y的值驢分別虹為__國__朵__送__諸__．(1房誠)a與b同向茫是a∥b的充舌分而鳴不必怨要條掛件.a∥b是a與b同向窮的必勺要而袋不充幫分條袖件．(2溜)錯(cuò)因京分析:兩向荷量平漂行和有兩向涼量同薦向不禮是等橫價(jià)的,同向掉是平完行的行一種箱情況.兩向儲(chǔ)量同恩向能饞推出恐兩向訊量平編行,但反董過來憶不成齡立,也就問是說,“兩向超量同箏向”建是“團(tuán)兩向俊量平縫行”禽的充援分不眼必要拉條件.錯(cuò)解磨就忽攀略了跪這一寧點(diǎn).答案1，31．熟浴練掌乘握空聰間向搬量的荷運(yùn)算壇、性跟質(zhì)及爽基本勺定理怨是解哭決空奴間向雙量問丹題的竊基礎(chǔ)怎，特理別是珍共線尼向量場定理漫、共牽面向悠量定愛理、糠空間習(xí)向量喝基本熟定理惕、數(shù)燒量積姨的性嗽質(zhì)等過．2．利樣用向奸量解犯立體濕幾何踐題的呈一般疑方法窯：把傘線段犧或角蘋度轉(zhuǎn)襖化為才向量由表示燭，用矮已知丟向量疫表示擔(dān)未知驗(yàn)向量到，然誕后通瓜過向枯量的拿運(yùn)算索或證合明去辜解決伸問題門，在惜這里竊，恰奔當(dāng)?shù)劓?zhèn)選取摟基底婚可使檔向量回運(yùn)算鼠簡捷彼，或逼者是寬建立畏空間海直角仇坐標(biāo)圾系，瞧使立漏體幾研何問決題成盛為代啟數(shù)問誦題，愈在這離里，企熟練禮準(zhǔn)確涼地寫遠(yuǎn)出空找間中滅任一剛點(diǎn)的段坐標(biāo)休是解蓬決問逼題的歡基礎(chǔ)僅．1.利用磚坐標(biāo)朵運(yùn)算扭解決疑立體板幾何瘋問題,降低診了推具理難拍度,可以性避開域一些糕較復(fù)失雜的沸線面啄關(guān)系,但較睬復(fù)雜程的代傅數(shù)運(yùn)蛛算也尿容易涉導(dǎo)致巷出錯(cuò).因此,在解銹決問爺題時(shí),可以蠢靈活秀的選勸用解汪題方查法,不要領(lǐng)生搬目硬套.2.用空極間向敬量解羨決立置體幾逼何中摔的平院行或針共線膠問題丙一般甜用向免量共磁線定士理；陪求兩寧點(diǎn)間林距離碗或某笨一線遷段的臘長度謝，一嘗般用摧向量仿的模唐來解末決；嚇解決縫垂直登問題泰一般筒可轉(zhuǎn)悲化為鄉(xiāng)豐向量元的數(shù)賄量積虎為零呆；求視異面朵直線合所成日的角絕，一憂般可槽以轉(zhuǎn)鏡化為戴兩向志量的障夾角肉，但攪要注永意兩剩種角敬的范豆圍不服同，駁最后榨應(yīng)進(jìn)袋行轉(zhuǎn)吸化．3.空間詠向量忽的加遇法、旋減法抗經(jīng)常賣逆用,來進(jìn)扛行向思量的片分解.4.幾何壤體中姐向量讀問題悼的解浮決，圓選好盛基底茂是關(guān)閑鍵.一、地選擇嗽題二、柳填空礎(chǔ)題題號(hào)123答案AAAA組專項(xiàng)踢基礎(chǔ)退訓(xùn)練守題組三、寫解答叢題8.已知憂△AB餓C的頂鐵點(diǎn)A(1爪,刻1,鵲1窄)杰,B(2鄉(xiāng)豐,窄2,蛇2穗)怖,C(3委,從2,睜4蹤蝶).試求(1室)△AB麥C的重?cái)_心坐擇標(biāo)；(2拋)△AB浩C的面津積；(3賣)△AB載C的AB邊上汗的高吉．三、刷解答衛(wèi)題一、輕選擇慣題二、吧填空棍題題號(hào)123答案DAAB組凝專項(xiàng)烈能力笛提升掌題組5.惠①血②三、冰解答遭題7.如圖,已知M,N分別著為四坐面體AB齡CD的面BC額D與面AC障D的重珠心,且G為AM上一背點(diǎn),且GM:GA＝1:艦3.求證喊：B,G,N三點(diǎn)污共線.8.直三洲棱柱AB記C—A′B′C′中,AC＝BC＝AA′,∠AC揮B＝90°,D,E分別晌為AB,BB′的中償點(diǎn).(1甜)求證抄：CE⊥A′D；(2轟)求異譜面直壩線CE與AC′所成艙角的皇余弦滑值．三、窩解答熄題8.直三豎棱柱AB發(fā)C—A′B′C′中,AC＝BC＝AA′,∠AC材B＝90°,D,E分別味為AB,BB′的中嶼點(diǎn).(1嫁)求證改：CE⊥A′D；(2愛)求異日面直芒線CE與AC′所成丈角的蒜余弦絮值．三、日解答正題·點(diǎn)、號(hào)線、頑面之允間的桃位置卡關(guān)系空間窄幾何憤體空間蘆幾何鄙體的月結(jié)構(gòu)空間餓幾何弱體的魄體積筑、表錘面積柱、目錐、躺臺(tái)、灰球的岔結(jié)構(gòu)壞特征三視士圖與昨直觀巡壽圖的骨畫法定義表示法向量向量的模零向量單位向量相等向量相反向量平行向量(共線向量)具有侮大小淺和方袋向的舒量向量旁的大具小長度蟻為零輝的向含量模為1的向尼量長度鐘相等綠且方漲向相認(rèn)反的鉆向量長度嚴(yán)相等為且方炕向相箏同的秧向量方向相同或相反的非鞏零向黨量常用e表示與任邊一向苦量共位線.1.空間棉向量鞠的有胡關(guān)概獅念及料表示晚法平面向量空間向量概念加法減法數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算律具有俘大小帥和方井向的斬量減法:三角斜形法敞則加法:三角厭形法含則或平行錄四邊造形法界則數(shù)乘:ka,k為正朋數(shù),負(fù)數(shù),零加法璃交換屆律加法基結(jié)合栗律數(shù)乘趣分配弊律加法怨交換跑律加法促結(jié)合論律數(shù)乘偷分配犯律1.空間稱向量剃的有段關(guān)概帖念及雷表示離法具有暖大小站和方肢向的丹量共線向量共面向量定義向量所在直線互相平行或重合平行于同一平面的向量,叫做共面向量.定理推論運(yùn)用A,P,B三點(diǎn)共線P,A,B,C四點(diǎn)共面(A,B,C三點(diǎn)徑不共調(diào)線)判斷份三點(diǎn)牛共線,或兩護(hù)直線俯平行判斷團(tuán)四點(diǎn)壯共面,或直予線平姓行于瓶平面2.空間純向量稍的有渴關(guān)定柔理及寧推論1.數(shù)量諷積的娃定義蒼：2.向量承的夾莫角定滋義：3.向量售的垂搬直：4.投影抗：5.數(shù)量微積的撈幾何非意義展：的方待向上知的投甚影筍的乘渡積.數(shù)量種積曲等于吉的貨長度與險(xiǎn)在6.數(shù)量乘積的掃運(yùn)算菜律：7.數(shù)量載積的總主要如性質(zhì):(判斷小兩個(gè)按向量罷是否五垂直)(求兩銅個(gè)向碎量的溜夾角)(向量而不等尊式)(求向買量的抖長度(模)的依遣據(jù))8.向量鑼的直山角坐膛標(biāo)運(yùn)歉算.一個(gè)限向量河在直煉角坐判標(biāo)系陵中的童坐標(biāo)垃等于任表示耀這個(gè)甚向量澆的有王向線銀段的是終點(diǎn)斑的坐茫標(biāo)減繞去起風(fēng)點(diǎn)的晴坐標(biāo).設(shè)A(x1,萌y1,圾z