點(diǎn),線,面的位置關(guān)系(向量法的應(yīng)用)

點(diǎn),線,面的位置關(guān)系(向量法的應(yīng)用)在數(shù)學(xué)幾何學(xué)中，當(dāng)三個(gè)或多個(gè)物體分布在同一空間時(shí)，它們的位置關(guān)系主要由它們之間的距離、角度和方位來描述。對(duì)于平面圖形而言，它們的位置關(guān)系往往分為點(diǎn)、線、面三種不同的情況。因此，在論述點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系時(shí)，向量法成為一種經(jīng)典的求解方式。本文將介紹點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系及其向量法的應(yīng)用。

1.點(diǎn)與線的位置關(guān)系

當(dāng)一個(gè)點(diǎn)P和一條線l位于同一平面內(nèi)時(shí)，存在以下三種情況：

（1）該點(diǎn)P在該線l下方，即P到l的距離為正。此時(shí)，可以通過計(jì)算點(diǎn)P到直線l的距離是否為正，來判斷點(diǎn)P與線l的位置關(guān)系。

（2）該點(diǎn)P在該線l上方，即P到l的距離為負(fù)。同樣地，可以通過計(jì)算點(diǎn)P到直線l的距離是否為負(fù)，來判斷點(diǎn)P與線l的位置關(guān)系。

（3）該點(diǎn)P在該線l上，即P到l的距離為0。在這種情況下，我們可以通過求點(diǎn)P在線l上的投影點(diǎn)Q，來判斷P與l之間的位置關(guān)系，如果P的投影點(diǎn)Q在線段AB上，則說明P在線段AB內(nèi)；如果P的投影點(diǎn)Q在線段AB的延長(zhǎng)線上，則說明P在線段AB的延長(zhǎng)線上。

向量法：設(shè)直線l上一點(diǎn)A(x1,y1)，另一點(diǎn)B(x2,y2)，向量AB=(x2-x1,y2-y1)，向量AP=(x-x1,y-y1)，則點(diǎn)P到直線l的距離為d=|AB×AP|/|AB|，其中“×”表示向量的叉積。

2.點(diǎn)與面的位置關(guān)系

當(dāng)一個(gè)點(diǎn)P和一個(gè)向量n確定一個(gè)平面時(shí)，存在以下三種情況：

（1）該點(diǎn)P在該平面下方，即P到平面的距離為正。此時(shí)，可以通過計(jì)算點(diǎn)P到平面的距離是否為正，來判斷點(diǎn)P與平面的位置關(guān)系。

（2）該點(diǎn)P在該平面上方，即P到平面的距離為負(fù)。同樣地，我們也可以通過計(jì)算點(diǎn)P到平面的距離是否為負(fù)，來判斷點(diǎn)P與平面的位置關(guān)系。

（3）該點(diǎn)P在該平面上，即P到平面的距離為0。在這種情況下，我們可以通過計(jì)算點(diǎn)P到平面的投影點(diǎn)Q，來判斷P與平面之間的位置關(guān)系，如果P的投影點(diǎn)Q在平面內(nèi)，則說明P在平面內(nèi)；反之，如果P的投影點(diǎn)Q在平面外，則說明P在平面外。

向量法：設(shè)平面的法向量為n=(a,b,c)，平面上一點(diǎn)為P1(x1,y1,z1)，點(diǎn)P到平面的距離為d，向量AP=(x-x1,y-y1,z-z1)，則點(diǎn)P到平面的距離為d=|(a,b,c)·(x-x1,y-y1,z-z1)|/|n|，其中“·”表示向量的點(diǎn)積。

3.線與線的位置關(guān)系

當(dāng)兩條線段分別為AB和CD，它們之間的位置關(guān)系可以分為以下幾種情況：

（1）兩條直線重合，即AB=CD。這種情況下，兩條直線在同一直線上。

（2）兩條直線相交，即兩條直線在一點(diǎn)相交。這種情況下，可以通過計(jì)算兩條線段所在直線的交點(diǎn)來確定它們的位置關(guān)系。

（3）兩條直線平行，即它們的方向向量平行但不重合。這種情況下，可以通過計(jì)算兩條線段所在直線的距離是否為0來確定它們的位置關(guān)系。

（4）兩條直線平面重合，即兩條直線在同一平面上。這種情況下，我們可以通過計(jì)算兩條線段所在直線與該平面的交點(diǎn)來確定它們的位置關(guān)系。

向量法：設(shè)兩條直線分別為AB和CD，向量AB=(P-Q)，向量CD=(R-S)，其中P、Q、R、S為各自直線上的兩個(gè)點(diǎn)，則兩條直線是否相交可以根據(jù)下列公式計(jì)算：(P-Q)×(R-S)=0，（注：表示兩個(gè)向量的叉積等于0則表示兩個(gè)向量平行或重合，向量叉積的長(zhǎng)度等于兩個(gè)向量所夾的平行四邊形的面積，同時(shí)也表示向量AB和向量CD的垂直距離）。

綜上所述，對(duì)于點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，可以通過向量法來確定。向量法不僅簡(jiǎn)單易懂，而且應(yīng)用廣泛，