一級倒立擺的建模及控制分析

直線一級倒立擺的建模及控制分析摘要：本文利用牛頓一歐拉方法，建立了直線型一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 在分析的基礎(chǔ)上，采用狀態(tài)反饋控制中極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)了用于直線型一級倒立擺系統(tǒng)的控制器。此外，用MATLAB仿真繪制了相應(yīng)的曲線并做了分析。一、 問題描述倒立擺控制系統(tǒng)是機(jī)器人技術(shù)、控制理論、計(jì)算機(jī)控制等多個(gè)領(lǐng)域和多種技術(shù)的有機(jī)結(jié)合，其被控系統(tǒng)本身是一個(gè)絕對不穩(wěn)定、高階次、多變量、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，是控制理論研究中較為理想的實(shí)驗(yàn)對象。它為控制理論的教學(xué)、實(shí)驗(yàn)和科研構(gòu)建了一個(gè)良好的實(shí)驗(yàn)平臺，促進(jìn)了控制系統(tǒng)新理論、新思想的發(fā)展。倒立擺系統(tǒng)可以采用多種理論和方法來實(shí)現(xiàn)其穩(wěn)定控制，如 PID，自適應(yīng)、狀態(tài)反饋、智能控制等方法都己經(jīng)在倒立擺控制系統(tǒng)上得到實(shí)現(xiàn)。由于直線一級倒立擺的力學(xué)模型較簡單，又是研究其他倒立擺的基礎(chǔ)，所以本文利用所學(xué)的矩陣論知識對此倒立擺進(jìn)行建模和控制分析。二、 方法簡述本文利用牛頓一歐拉方法，建立了直線型一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。在分析的基礎(chǔ)上，采用狀態(tài)反饋控制中極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)了用于直線型一級倒立擺系統(tǒng)的控制器。此外，用MATLAB仿真繪制了相應(yīng)的曲線并做了分析。三、 模型的建立及分析3.1微分方程的推導(dǎo)在忽略了空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如下圖1所示

直線一級倒立擺系統(tǒng)圖1直線一級倒立擺系統(tǒng)圖1假設(shè)M為小車質(zhì)量；m為擺桿質(zhì)量；b為小車摩擦系數(shù)；I為擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度；I為擺桿慣量；F為加在小車上的力；x為小車位置；'為擺桿與垂直向上方向的夾角；二為擺桿與垂直向下方向的夾角。圖2是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。值得注意的是：在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已確定，因而矢量方向定義如圖2所示，圖示方向?yàn)槭噶空颉?a)(b)(a)(b)圖2小車和擺桿的受力分析圖分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程:(1)Mx=F-bx-N(1)由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式:N二mxml)cos-ml)2sin把這個(gè)等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程:MmxbxmPcos^-mP2sin=F

為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析,可以得到下面方程：■■'2TOC\o"1-5"\h\zP-mg二-mlrsin-mlcos 梓）力矩平衡方程如下：\o"CurrentDocument"-Plsin八Nlcos：-H （5）合并這⑷、（5）兩個(gè)方程，約去P和N，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：Iml2二mglsin二-mlxcos （6）假設(shè)■■與1（單位是弧度）相比很小，即卩??《1,則可以進(jìn)行近似處理:,〔d日Yco<s=-1，sin=-0， —I=0⑴丿用u來代表被控對象的輸入力F，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下:■-2(I+ml-mgl?=mlx(8)<..(8)Mmxbx-ml?u3.2狀態(tài)空間方程方程組（8）對x，「解代數(shù)方程，整理后的系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為:■0001-Iml■0001-Iml2b2IMmMml0-mlbIMmMml202|2mgl2IM-mMml0mglMmIMmMml20ml2. 2IMmMml0ml」(M+m)+Mml2000010xl0000100u_0對于質(zhì)量均勻分布的擺桿有：I=ml2/3，于是可得:ml2/3ml2 -mgl二mlx化簡得：廠=3g...3%4l4l設(shè)X,x，''，\u^=x，則有：

■xl01001xlx0000■xl01001xlx0000x=0001*3gj000一L<■0113.3實(shí)際系統(tǒng)模型03-41 」+Ui*y=0ui一0L*實(shí)際系統(tǒng)模型參數(shù)：M=1.096Kg；m=0.109Kg；b=0.1N/m/s；1=0.25m；1=0.0034kg?m?m；采樣頻率T=0.005So以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：10001一0■xl10001一0■xl000I010*0U1一03.4狀態(tài)空間極點(diǎn)的配置對于直線一級倒立擺的極點(diǎn)配置轉(zhuǎn)化來說：要按上述系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器，則要求具有較短，約3s的調(diào)整時(shí)間和合適的阻尼比Z=0.5。要使系統(tǒng)具備能控、能觀且易驗(yàn)證。步驟為：計(jì)算特征值。根據(jù)要求，設(shè)調(diào)整時(shí)間為3s,并留有一定的余量,選擇期望的閉環(huán)極點(diǎn)：s=7i=1,2,3,4，其中:^=-10,J2=-10,,-223j,4=-2-2,3j,其中%,4是一對具有Z=0.5,w^4的主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)。叫,2位于主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)的左邊，其影響較小，因此期望的特征根方程為:s為:s424s319& 72016000由此得到：c=24,a2-196,a3-720,a4=16000ssi—A=000ssi—A=00000s—29.4=s—29.4s,因此：b=b3=b4=0,b^——29.4o_1系統(tǒng)的反饋增益矩陣為：K-a^-a^i-'da2-'da^^b1T確定使?fàn)顟B(tài)方程變?yōu)榭煽諛?biāo)準(zhǔn)型的變換矩陣T=MW，于是可得:

-■0100ABA2BA3bL100003088.23088.20M=Bbi11-0-29.401110—-29.401010011000_-1000_b3b2W」bi110則反饋增益矩陣為:則有:則反饋增益矩陣為:■-29.40101■-0.03400.011010-29.401 10-0.03400.011，T=0030000.3330.0003110000.333一T=MWK-1-54.4218-24.489893.273916.1633】控制量為 --KX=54.4218x24.4898x-93.2739-16.16333.5MATLAB仿真分析利用MATLAB軟件對直線一級倒立擺進(jìn)行了仿真，仿真繪制的曲線圖，如圖3,4所示。圖3小車位置隨時(shí)間變化圖4閥時(shí)圖圖3小車位置隨時(shí)間變化圖4閥時(shí)圖4擺角隨時(shí)間變化圖采用極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)的用于直線型一級倒立擺系統(tǒng)的控制器 ，可使系統(tǒng)在很小的振動(dòng)范圍內(nèi)保持平衡，小車振動(dòng)幅值約為510-3