直線與直線垂直課件-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

作業(yè)講評解析:連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，則MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1答案點(diǎn)M在線段FH上(或點(diǎn)M與點(diǎn)H重合)空間中兩條直線的位置關(guān)系復(fù)習(xí)引入：相交直線平行直線異面直線

在平面內(nèi),兩條直線相交成四個角,其中不大于90度的角稱為它們的夾角,用以刻畫一條直線相對于另一條直線傾斜的程度,如圖.O(2)問題提出

在空間,如圖所示,正方體ABCD－EFGH中,直線AB與HF是什么關(guān)系？直線AB與EH呢

？EH與HF相對于AB的傾斜程度是否相同呢？怎樣來刻畫這種不同?ABGFHEDC(1)回顧(3)解決問題異面直線所成角的定義:如圖,已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a,b′∥b則把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線所成的角(或夾角).abb′a′O思考:這個角的大小與O點(diǎn)的位置有關(guān)嗎?異面直線所成的角的范圍(0,90]ooa

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在求作異面直線所成的角時,O點(diǎn)常選在其中的一條直線上當(dāng)兩條直線平行時，我們規(guī)定它們所成的角為空間任意兩直線所成的角的范圍為概念的延伸與擴(kuò)充

如果兩條異面直線a,b所成的角為直角，我們就稱這兩條直線互相垂直,記為a⊥b.例1如圖，已知正方體ABCD－A'B'C'D'

中。（1）哪些棱所在的直線與直線AA'

垂直？（2）直線BA'

和CC'

所成的角是多少？（3）直線BA'

和AC

所成的角是多少？解：（1）直線與直線AA'

垂直（2）由

可知，

（或其補(bǔ)角）是異面直線

與所成的角,所以異面直線與所成的角為450。

典型例題空間中的兩條直線垂直同平面幾何中的有何區(qū)別？典型例題例1、如圖，已知正方體ABCD－A'B'C'D'

中。（1）哪些棱所在的直線與直線AA'

垂直？（2）直線BA'

和CC'

所成的角是多少？（3）直線BA'

和AC

所成的角是多少？求異面直線所成的角的步驟是:

一作(找)：作（或找）平行線二證：證明所作的角為所求異面直線所成的角三求：通過解三角形中求出該角四答：根據(jù)定義，指出所求角的大小規(guī)律總結(jié)例2如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn),求異面直線DB1與EF所成角的大小.分析先作出角,再證明角的兩邊分別與兩異面直線平行,最后在三角形中求角.法一如圖,連接A1C1,B1D1,并設(shè)它們相交于點(diǎn)O,取DD1的中點(diǎn)G,連接OG,則OG∥B1D,EF∥A1C1.∴∠GOA1(或其補(bǔ)角)為異面直線DB1與EF所成的角.∵GA1=GC1,O為A1C1的中點(diǎn),∴GO⊥A1C1.∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.OG典型例題例2如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn),求異面直線DB1與EF所成角的大小.H法二如圖,連接A1D,取A1D的中點(diǎn)H,連接HE,則HE∥DB1,且HE=DB1.于是∠HEF（或其補(bǔ)角）為異面直線DB1與EF所成的角.∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=90°,∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.典型例題例2如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn),求異面直線DB1與EF所成角的大小.法三如圖,在原正方體的右側(cè)補(bǔ)上一個全等的正方體,連接B1Q,則B1Q∥EF.于是∠DB1Q（或其補(bǔ)角）為異面直線DB1與EF所成的角.通過計算,不難得到:B1D2+B1Q2=DQ2,從而異面直線DB1與EF所成的角為90°.典型例題

求兩條異面直線所成的角是立體幾何中的重要題型之一,而求它的常用方法是空間問題平面化.

具體地,求兩條異面直線所成角的一般步驟是:①構(gòu)造:恰當(dāng)?shù)剡x擇一個點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn)),用平移法構(gòu)造異面直線所成的角;②證明:證明①中所作出的角或其補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角;③計算:通過解三角形等知識,求出①中所構(gòu)造的角的大小;④作答:假如所構(gòu)造的角的大小為α,若0°<α≤90°,則α即為所求異面直線所成角的大小;若90°<α<180°,則180°-α即為所求.求異面直線所成角的一般步驟主要有三種方法:①直接平移法(可利用圖中已有的平行線);②中位線平移法;③補(bǔ)形平移法(在已知圖形中,補(bǔ)作一個相同的幾何體,以便找到平行線).【證明】如圖，連接B1D1.∵ABCD－A1B1C1D1是正方體，∴BB1∥DD1,BB1=DD1.

∴四邊形BB1D1D是平行四邊形．∴B1D1∥BD.∴直線AO1與B1D1所成的角即為直線AO1與BD所成的角．典型例題

空間四邊形ABCD中，AB=CD且AB與CD所成的角為50°，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則EF與AB所成角的大小為________.

【解】取BD中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則由三角形中位線定理得EG∥CD，EG=CD，F(xiàn)G∥AB，F(xiàn)G=AB，所以EG=FG，EF與AB所成角為∠EFG，因為AB與CD所成的角為50°，所以∠E