高二理科數(shù)學秋季講義第11講定點定值問題教師版

第11講定點、定值問

題

滿分晉級

〈教師備案〉本講是圓錐曲線的綜合問題，難度較大，例題的重點和難點都在第二問，主要還是讓學生

了解碰到定點定值問題時一般的處理方法.雖然本質(zhì)上還是直線與圓錐曲線、韋達定理的

應用，但是在處理的技巧上需要細細琢磨.選擇合適的參數(shù)，并利用參數(shù)得到有關(guān)的曲線

方程或函數(shù)關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵，盡量讓計算量在可控的范圍內(nèi).

常用的處理方法有兩種：

①從特殊入手，先求出定點或定值等，再證明這個點或值與參數(shù)無關(guān)；

②直接推理，計算，并在計算過程中消去參數(shù)，從而得到定點或定值.

11.1定點問題

考點1:直線過定點的問題

知識點睛

如果滿足一定條件的曲線系恒過某一點，就是定點問題.直線過定點問題的求解方法一般是先求

出直線的方程（含參數(shù)），再由直線恒過定點的證明方法來求解.

經(jīng)典精講鄉(xiāng)

【例1】⑴★*設(shè)直線/的方程為（a+l）x+y+（2-4）=0.eR）,證明直線/過定點

⑵內(nèi)在雙曲線會-a=1的一支上有不同的兩點A（X],x）、BO?,y?），且X+丫2=12，

（yx%）,證明線段河的垂直平分線經(jīng)過定點，并求出定點的坐標.

【解析】（1）直線/的方程可化為（x-l）a+x+y+2=0（aeR）,令J++？—。，得J_3

,無論。為任何實數(shù)，直線/總經(jīng)過定點（1,-3）

（2）設(shè)A3的中點為，%）,AB的垂直平分線為/,由分析可知，/的斜率及存在，則有

%?%=6,/的方程為y=&（x—與）+6,①

13#—12.=12x13,②

13貨-12考=12x13,③

'乂+%=12,④

%,+x,=2x0，⑤

⑥

xx-x2k

②—③，得13（—-$）-12（片-宕）=0,

即13（y-必）（乂+%）-l2（X1-七）（司+x2）=0.

/.13x12（^-j2）-12x2（Xj=0.

.,.21ZA=Z^o.

Xj-x2132x（）

1375

???AB的垂直平分線方程為y=-—x+—.

2x02

若使上式對一切實數(shù)A恒成立，則x=0,y=y,即直線/過定點（0,號）.

【備選】已知拋物線丁=6》上的兩個動點人為，弘）和鞏%,%）,其中x產(chǎn)%且M+馬=4.證明線段

他的垂直平分線經(jīng)過定點，并求出定點的坐標.

【解析】設(shè)線段43的中點為〃（%,%）,則%=土9=2,%=無&,

_）'2一弘_必一弘_6_3

KAB——22~~

%+Xy。

66

線段A8的垂直平分線的方程是

易知x=5,y=0是①的一個解，所以線段他的垂直平分線與x軸的交點C為定點，且點C坐

標為（5,0）.

2

【例2】已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3,最

小值為1.

⑴*★求橢圓C的標準方程；

⑵用若直線/:>=丘+機與橢圓C相交于A,B兩點（A,8不是左右頂點），且以為直

徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線/過定點，并求出該定點的坐標.

【思路探究】這是一道關(guān)于橢圓的綜合題，第⑴問主要考查待定系數(shù)法、橢圓的標準方程與橢圓的幾

何性質(zhì)等知識.只要設(shè)出橢圓C的標準方程，然后運用待定系數(shù)法即可解決；第⑵問是證

直線/過定點，這就暗示我們，直線/的方程中斜率k是變化的，而參數(shù)，"不能自由變化，

即它應與后有關(guān)，所以首先應由條件求出，〃與女的關(guān)系.只要將直線/的方程與橢圓C的

方程聯(lián)立并消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，然后利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)

合D4，33等即可使問題得到解決.

【解析】⑴如圖，由題意設(shè)橢圓的標準方程為二+與=1（。>6>0）,

a~b-

由題設(shè)知,得

C=1,

解得（"2，則從=3.

[c=1,

22

所以橢圓C的標準方程為土+2=1.

43

（2）方法1：

設(shè)A（x,y）,B（X2,y2）,

y=kx+m,

由“（22消去y,得

----F=1

143

(3+4k2)x2+8mkx+4(/?z2-3)=0,

A=Mtrrk2-16(3+4k2)(/n2-3)>0,即3+4--“>0?由根與系數(shù)的關(guān)系，得

Smk

%+々=—①

3+4k2

4(/n2-3)

②

中々=3+4公

3("/-4k2)

所以y1?y=(kX]+m)-(kx+m)=k2x}x+mk(x+x)+m2=③

222t23+4F

以A3為直徑的圓過橢圓的右頂點0（2,0）,所以八4_1_￡>3,即

所以——----——=-1,化簡得)\力-2(X[+x,)+4=0,

Xi-2/_2

3(m2—4k2)4(m2—3)16,成

將①②③代入上式，得+4=0,

3+4〃+3+4〃/+3+4公

整理得7nr+I6mk+4k2=0,解得叫=-2k,色=-y,且滿足3+以:？-加？>0.

當m=一2&時，直線/:y=Z（x—2）,過定點（2,0）.

?.?（2,0）是橢圓的右頂點，且/不過橢圓的右頂點，定點（2,0）舍

當〃?=-弓?時，直線/:y=,過定點

綜上可知，直線/過定點，定點坐標為（5，o）

方法2:

設(shè)&玉，x),B(X2,y2),因為橢圓的右頂點為0(2,0),

則可設(shè)直線A9方程為y=kt(x-2).

將y=匕(x-2)代入橢圓方程，并整理得(3+46)x2-16^2X+16^-12=0,④

顯然2與不是方程④的兩個根，

力”、16k；加86一6，/八-\2k,

所以西+2=-----,即X]=-------,所以M&(X]—2)=--------,

13+4父13+4#，'皿>3+%

因為AQ_L3￡>,且8。也過右頂點。(2,0)

所以，用-J_替換上式中的勺，即得X=h坐，y_之.

&-4+3懺-4+3F

設(shè)直線與x軸交于點”(a,0),并設(shè)A例二①“，即

7

消去4,得去3+4片)—(8F—6)=8—6片-。?(4+3片),解得a=上.

所以，直線/過定點，定點坐標為(m，o)，

【反思與啟迪】解答這類問題主要方法是聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去一個字母(比如y),得到

關(guān)于另一個字母的一元二次方程，進而利用根與系數(shù)的關(guān)系得到司+占與不々用參數(shù)(這里

是m,k)表示的關(guān)系式，再結(jié)合其他條件(D4LOB),即可得到這些參數(shù)的關(guān)系式，使問

題得以順利解決.本題除考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識外，還考

查分類討論的思想、解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.

問題⑵的本質(zhì)是當橢圓的弦對其某一頂點張角為直角時必過定點.若設(shè)直線4)的斜率匕為

參數(shù)，則較容易地得到點A的坐標，利用對稱性就能得到點B的坐標，再由對稱性可猜想，

該定點應該在這個頂點所在的對稱軸上.設(shè)直線A8與x軸交于點M(a,0),由A、M,5共

線可知“是與參數(shù)勺無關(guān)的定值，從而證明直線43過定點.換個角度后，解題思路就簡捷、

明了了.

解決這類問題的核心就是“直角”的幾種等價形式，如：

A￡)_L8Q0Ao-8￡>=0。|04+。同=|04-￡>@。以A3為直徑的圓過點。等.另外，如果

能夠恰當?shù)乩脠A錐曲線相關(guān)的性質(zhì)，更能棋高一籌.

通過解答本題第⑵問，我們發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線的一個幾何性質(zhì)：

22

命題1若直線/與曲線C：A+與=l(a>0,b>0)交于M、N兩點，P(%,%)為曲線C上

ab~

(〃2_印2_r2\

一點，且PM上PN,則直線/必過定點---,——Z7%?

(a+。a+bJ

其中當時，曲線。為焦點在x軸上的橢圓；當avZ;時，曲線C為焦點在y軸上的橢圓；

當a=6時，曲線C為圓心在原點的圓，直線/即直徑必過圓心.此命題可以看作是圓的直徑

的一個性質(zhì)在橢圓上的拓展，這從一個側(cè)面揭示了橢圓和圓的辯證統(tǒng)一關(guān)系.

特別地，當P點位于橢圓的頂點3,0)時，直線/必過定點(一個,0|.

I儲+從

4

命題2若直線/與雙曲線C:二?-4=1（。>0,6>0）交于〃、N兩點，P（%，%）為雙曲線C

a"b"

/2r22/2、

上一點，且PM工PN,則直線/必過定點虧/，九?

\a-h"a--b~J

特別地，當P點位于雙曲線實軸頂點（a,0）時，直線/必過定點（今爭，0）.

命題3若直線/與拋物線C:y2=2px交于“、N兩點，P（x。，%）為拋物線C上一點，且

PM工PN,則直線/必過定點（2p+x0，-%）?

特別地，當P點位于拋物線頂點（0,0）時，直線/必過定點（2p,0）.

提高班學案1

【拓1】在平面直角坐標系X0Y中，直線/與拋物線y2=4X相交于不同的A,8兩點.

（1）如果直線/過拋物線的焦點，求。4.08的值；

⑵如果OA.O8=T，證明直線/必過一定點，并求出該定點.

【解析】（1）由題意：拋物線焦點為（1,0）

設(shè)/:x=/y+l代入拋物線y?=4x,消去x得

2

y-4/>--4=0,設(shè)A（X1,y）,B（x2,y2）

4

則兇+、2=4/，y,y2=->

OAOB=xtx2+yy?=（/+D（力2+1）+%%=/X%++%）+1+苗丫2

=-4t2+4r+1-4=-3

（2）設(shè)/：x=0+人代入拋物線V=以消去x,得

2

y-4ty-4h=0,設(shè)AU,，y）,B（x2,y2）,則y+%=4f,yty2=^b.

VOAOB=xtx2+y%=◎+勿（優(yōu)+力+X%=〃%%+加（％+%）+/+%%

+4bt2+b2-4b=b2-4b.

令一一4b=Y,b2-46+4=0,：.b=2,直線/過定點（2,0）.

尖子班學案1

【拓2】（2010江蘇18）

在平面直角坐標系xO），中，如圖，已知橢圓友+?=1的左、右頂點為A、3,右焦點為F.設(shè)

過點T（f,〃。的直線771、7B與橢圓分別交于點,X）、

N（x2,丫?），其中機>0，>0,y2<0.

（1）設(shè)動點尸滿足P尸一/^=4,求點。的軌跡；

（2）設(shè)%=2,x2=1,求點T的坐標；

⑶設(shè)r=9,求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標

與m無關(guān)）.

【解析】⑴設(shè)點尸（x,y）,則：尸（2,0）、8（3,0）、A（-3,0）.

由「尸2一/＞序=4,得(x-2f+y2-Kx-3)2+y2]=4,化簡得x=g.

Q

故所求點P的軌跡為直線X.

2

⑵將百=2,分別代入桶圓方程，以及乂>0,%<0得：/（2,：120

N一，---

39

y-0x+3加1,

直線MA方程為:-7---=~~~-,即丁=一九+1,

5.02+33

3

y-0x-355

直線N8方程為：0n

v-0r362

x=7

聯(lián)立方程組，解得：<10，

y=一

1/3

所以點T的坐標為(7,5).

⑶點T的坐標為(9,m)

直線A例方程為：2二9=3,即>='(x+3),

m-09+312

直線N8方程為：上。=三口，即y='(x-3).

m-09-3*6

22

分別與橢圓x上+[v=1聯(lián)立方程組，同時考慮到x尸-3,占#3,

3（80-蘇）40/22’3（蘇-20）20m

解得：M、N

80+m280+m2、20+>’20+m2

20ni3（TM2-20）

y+-----rX------------------------1-

20+/20+/n2

方法一：當%!/工2時，直線MV方程為：

40，”+20,“3（80-trr）3（，/_20）

80+m220+m280+*20+/

令y=0,解得：x=l.此時必過點。(1,0):

當士=9時，直線MN方程為：x=l,與x軸交點為。(1,0).

所以直線MN必過x軸上的一定點。(1,0).

方法二：右x,=Xj,貝1J由--------=-------^m>0,付〃z=2jl0,

"280+加20+m2

此時直線MN的方程為x=l,過點0(1,0).

40m

80+ffl210/n

若XiwW，則加。2A/10,直線MD的斜率kMD=

240-3w2.40—小

--8-0-+-療-o--]

-20m

riCm

直線ND的斜率kND=—翠"—=------r,得勺切=心°，所以直線M/V過。點.

3m-6040-777

20+蘇—1

因此，直線MN必過x軸上的點(1,0).

目標班學案1

【拓3】(2009江西理21)

已知點[(%,%)為雙曲線--芯=1(人為正常數(shù))上任

2

一點，尺為雙曲線的右焦點，過片作直線》=幺的垂線,

C

垂足為A,連接用A并延長交y軸于6.

（1）求線段4鳥的中點P的軌跡￡的方程；

（2）設(shè)軌跡K與x軸交于3、O兩點，在E上任取一點。（十，y）（y尸0）,直線。3,Q。分別

交y軸于M,N兩點.求證：以為直徑的圓過兩定點.

【思路探究】從動點P的成因來看，點［是主動點，通過點A,傳遞到鳥，鳥為從動點，首先用4的

坐標來表示鳥的坐標，點尸（x,y）用片、乙來表示，再歸結(jié)為用《來表示，然后，反過來用

P的坐標來表示片的坐標，代入雙曲線方程，進而得到P的軌跡E的方程.

第⑵問，欲證以MN為直徑的圓過兩定點，需要先將以MN為直徑的圓的方程寫出來，于是

需要先求出點3、。的坐標，然后是。8,QD的方程,接著求M,N的坐標，最后是以MN

為直徑的圓的方程，當圓的方程出來之后，通過觀察方程的特點，求出定點坐標.

【解析】⑴設(shè)《（毛，%）,由已知得工（3。，0）,%）,則直線的方程為：y=-^（x-3b）,

令x=0得y=9y0,即鳥（0,9%）,

X-x=2x22A22

設(shè)尸（x,y）,則2，即Joy代入且一當~=1,得空一工＞=1,

V-%+9%T、，為=8bb西25b2

y-2一"o3

22

即P的軌跡E的方程為=--1=1.

2tr25b2

22

（2）在宗一^1^=1中令y=o得V=%2,則不妨設(shè)B（-岳，0）,D（^2h,0）,

于是直線Q8的方程為：＞=―^L（x+72f?）,

x}+J20

直線。。的方程為:

可得〃［。，烏」］,N［0,二

IM+Sj2bJ（斗-12b）

則以MN為直徑的圓的方程為:

令…得也言可而如“,在立一嘉=1上，則父一》=前,

于是x=±5b,即以MN為直徑的圓過兩定點（一55,0）,（5b,0）.

【反思與啟迪】求動點的軌跡方程，是高考考查的重點內(nèi)容之一.其中，由某一曲線上的動點，利用

直線與直線，直線與曲線的位置關(guān)系，構(gòu)造另一動點，求后者的軌跡問題，是近幾年高考

的熱點，需要引起足夠的重視.

對于第⑵問，可以將其推廣到一般的情形：

設(shè)雙曲線=1的頂點為A，4,P為雙曲線上的一個動點，抬、即分別與y軸

相交于A/、N兩點，則以MV為直徑的圓經(jīng)過定點（-6,0）和（6,0）,且圓的半徑大于b

【備選】已知拋物線尸=2x及定點4（1,1）,8（-1,0）,A1是拋物線上的點，設(shè)直線AM,8M與拋物線

的另一交點分別為求證：當點M在拋物線上變動時.（只要存在且％與

是不同兩點），直線叫恒過一定點，并求出定點的坐標

【解析】設(shè)M傳M停，％），也停為），因為A，M，M三點共線，

所以即即日+%)(%-l)=y：-2,

2L_AA-i%+為蘇-2

222

求出兇=江2,同理可求出丫？=2,

%T%

設(shè)直線必也過定點。(x,y),則點U,M，M?共線，；.&M,M,=&M、,即號飛=上二4

y___yi_x——

T-T一萬

即一--=?y'i,即(X+%)(y-%)=2x-y；,即乂丫2-義X+%)+2x=0,

M+必2x-y

所以由乂=2~-,y2=—

%-1%

消去X，%得(2x-y)y；+2(l-x)%+2y—4=0

2x=y

上式對任意為恒成立，所以得到x=l,所以所求的直線MM2恒過定點(1,2).

.y=2

，二711.2左值問題

考點2：圓錐曲線中的定值問題

知識點睛

在幾何問題中，有些幾何量與參數(shù)無關(guān)，這就構(gòu)成定值問題.求解這類問題的基本策略是“大處著

眼、小處著手”，從整體上把握問題給出的綜合信息和處理問題的函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、

分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等，并恰當?shù)剡\用待定系數(shù)法、相關(guān)點法、定義法等基本數(shù)學

方法.若題設(shè)中未告知定值，可考慮用特殊化方法探求定值的可能值，再證明之.若已告知，可

設(shè)參數(shù)(有時甚至要設(shè)兩個參數(shù))，運算推理到最后，參數(shù)必須消去.

〈教師備案〉三種圓錐曲線對同一個定值問題經(jīng)常有相似的結(jié)論，這部分內(nèi)容不僅要求會根據(jù)法則、公

式定理、定律正確地進行運算，而且要做到舉一反三.

經(jīng)典精講

【例3】(2009遼寧理20文22)

已知，橢圓C過點兩個焦點為(-1,0),(1,0).

⑴*求橢圓。的方程；

(2)A￡,尸是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線

所的斜率為定值，并求出這個定值.

【追問】反過來，E,尸是橢圓C上的兩個動點，如果EF的斜率為,，那么AE與AF的斜

2

率互為相反數(shù)嗎？

【思路探究】欲證明EF的斜率為定值，實際上是證明隨著石，尸兩點的運動，它們的坐標可以表示

8

為某一參數(shù)，比如AE的斜率&的函數(shù)，而EF的斜率的取值與人無關(guān).基于這個想法，不

妨從AE的斜率k入手，逐步推出￡,尸兩點的坐標，進而得到所的斜率表達式，化簡

后必與女無關(guān).

22

【解析】⑴由題意，c=l,可設(shè)橢圓方程為工v+與=1.

1+b2b2

因為A在橢圓上，所以一，+工=1,解得從=3,b2=-~（舍去）.

\+b24b24

22

所以楠圓方程為土+乙=1.

43

（2）設(shè)直線AE方程：得、=%（工一1）+?,代入三+二=1得

v7243

(3+4&2*+4&(3-2小+4弓-%)-12=0

設(shè)刈/，%）,F（XF>yF）.因為點,g）在橢圓上，所以

|-12

U）,3,

X3+抽，y^+2-k-

又直線■的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以-4代k,可得

4（。+小-12

【2J,3,

X

F=----3+4.2，yF=-kxF+-+k.

所以直線EF的斜率攵防=%一九二+2攵」.

xP-xPxP-xP2

即直線印的斜率為定值，其值為

2

【追問】kAE+kAF=0是成立的.

設(shè)直線方程為y+m,代入橢圓土+匕=1中，化簡得J+初X+62-3=0.

243

由△=，?？-4（*一3）>（）,可得一2v/nv2.

2

于是,xE+xF=-m，xExF=m-3,

33

九一不力一弓

kk

①當XE，X/W1時，AE=-------AF=------------

xP-1xP-1

yE-|九一|（呆+加-方（4-1）+（%+加一|卜￡-1）

則^AE+^AF

XE~^犬尸一1（尤七一1）（以一1）

2一加)-

上式的分子為xExF-2)(/+)-2=m-3+(/n-2)(2m+3=0,

所以kAE+kAF=0.

②當4或巧；?為1時，不妨設(shè)4=1,代入尤?+）3+加2_3=0,結(jié)合-2vmv2,可得〃2=1,

Ia

于是%=萬4+1=5，從而石點與A點重合，AE的斜率等于橢圓在A點的切線的斜率.

3

.\廣51

而橢圓在A點的切線為x才+￡=1,即x+2y—4=0,斜率怎￡=一；.

另外，由機=1可以算出方程x2+，nr+%2-3=0的另一根號=-2,則力=；號+1=0,于是

易算出原尸=3，因此心￡+心尸=。?

綜上，AE與瓶的斜率互為相反數(shù).

【反思與啟迪】對于第二問，可以有一般性結(jié)論：

22

⑴對于楠圓方程*+j-=l,A(%0,%)是橢圓上一點，過,

A的兩條斜率相反的直線與橢圓交于除A外的￡、F兩

點，則⑥F=".橢圓在A點的切線方程為7^I一

。丫。V_TC.VX

華+嶺=1,斜率為2-"，所以￡F與A點處的切線

a-b-ay0I

斜率互為相反數(shù).設(shè)A關(guān)于x或y軸的對稱點為8,顯然8在橢圓上，且橢圓在8點

的切線斜率為第，因此所與8點處的切線平行.

a%

反過來，如果橢圓上的點A,E,F,且律的斜率等于橢圓在A點的切線斜率的相

反數(shù)，則AE和AF的斜率互為相反數(shù).

(2)對于拋物線和雙曲線，也有類似結(jié)論.

提高班學案2

【拓1】如圖，過拋物線丁=2px(p>0)上一定點「(不，％)(%>0),作兩條直

線分別交拋物線于A(x,,yj,3(刃，為).

⑴求該拋物線上縱坐標為“的點到其焦點F的距離；

2

⑵當％與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求入土&的值，并證明

直線/W的斜率是非零常數(shù).

【解析】方法一:

(1)當y="時，x=E.

28

又拋物線V=2px的準線方程為x=—.

由拋物線定義得，所求距離為

8\2/8

⑵設(shè)直線24的斜率為即A,直線P8的斜率為即p,由y；=2pX],y；=2px(),

相減得(y-%)(x+%)=2p4-%),

故=''-%=2P&wx°)?

司一/M+%

同理可得kpB=_2〃_(x2*%()).

%+為

由R4,PB傾斜角互補知%=-%,

即=

x+%為+%

10

所以乂+%=-2%,故l^=-2.

%

設(shè)直線M的斜率為原《,

由y；=2pw，y：=2p\,

相減得（為-）\）（%+X）=2p（々一士）,

所以號8=上乂=3一（5

七一士）1+%

1多乂+%=-2%（%>0）代人得

所以心&是非零常數(shù).

方法二：

⑴顯然該點的坐標為（（，彳），又F（當，0）,由兩點間距離公式得所求距離為

⑵設(shè)直線PA的斜率為2,則直線23的斜率為-A,且AKO.所以直線R4的方程為

y-%=Mx-x0）.

由2px,、，消去x整理得心；2-2py+2pyo-2pK=0,①

yf=k（x-x0）

顯然，%，先是方程①的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系得y+%=女，②

k

用一人替換②式中的%得為+%=—女，③

k

②+③得y+%+%+為=（）?

又為＞0,所以2L±&=-2.

%

4P

②-③得）廣:=T而％

A2P

(%-12)(乂+%)

所以X-工2=一-

方2P2P

故直線AB的斜率為分二■=一上*0.即直線A3的斜率是非零常數(shù).

百一々為

【反思與啟迪】本題以拋物線為載體全面考查解決解析幾何問題的思想方法.第⑴問的基本解法應用

拋物線定義靈活簡潔，而解法2是運用兩點間距離公式求解，給人返樸歸真、回歸基

礎(chǔ)之感：第⑵問的基本解法1和解法2都是解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的通法,

體現(xiàn)了方程思想、設(shè)而不求、對稱思想的靈活運用.

直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題是多年來高考重點考查的熱點內(nèi)容.本題推理與計算有

機結(jié)合，分步設(shè)問，層次清晰，且分層遞進.基本思路是：“代點作差”或“聯(lián)立方程組

f消元f韋達定理”，其中設(shè)計合理的推理運算途徑尤為重要.

尖子班學案2

【拓2】如圖，過圓錐曲線皿2+江=1（，〃〃=0）上一點尸（%,%）（%*0）,作兩條直線分別交圓錐曲

線于B（X2,y2）.直線融與P3的斜率存在且傾斜角互為補角，證明直線45的

斜率是非零常數(shù).yi

【解析】設(shè)直線Q4的斜率為3則直線P4的方程為

kxx

y-yo=(-o)-

'22=1,,,,乂皿

由.1mx+ny^/「消去y整理得

y-y{)=k[x-X{})

（m+成2）F+2nk（%-何））x+成2片一2/iAx0y0+nyj-1=0,①

顯然，％,玉是方程①的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系得%+%=2成(隆.，％),②

m+nk

因為直線R4與PB的傾斜角互為補角，所以直線的斜率為-%,用-％替換②中的左，得

2成他+%）

玉,+%=③

m+nk2

因為上二乂一%—(1--%)+%(工2-%)>西+—一2%)

%一馬%一毛%一人2

②+③得2玉）+%+/=4欣5,

m+nk

4nk2x_-4/m：

所以玉+/-2/=00

m+nk2m+nk2

②-③得%-/=Yab'o

m+nk2

所以原3=”竺，即直線A5的斜率是非零常數(shù).

伙

顯然，當帆=〃>0時，加一+〃),2=1表示圓；當〃?>0,〃>0且帆W"時，心%2+%/=1表示楠

圓；當m77Vo時，如？+〃y2=i表示雙曲線.

這就是說，上述性質(zhì)是圓錐曲線的一條統(tǒng)一性質(zhì).它不僅揭示了問題的條件和結(jié)論之間的必

然聯(lián)系，還體現(xiàn)了三種圓錐曲線的和諧統(tǒng)一，給人以美的感受.

目標班學案2

【拓3】(2010西城二模19)

2

如圖，橢圓C:x2+E=i短軸的左右兩個端點分別為A,B,直線

4

/:y=fcr+l與x軸、y軸分別交于兩點E,F,與橢圓交于兩點

C,D.

⑴若CE=FD,求直線/的方程；

(2)設(shè)直線A。,CB的斜率分別為kt,k2,若4:佝=2:1,求k的值.

【解析】⑴設(shè)C(x,,yJ,仇3，％)，

由f4x-+)"=-得{+>2)7+2爪一3=o,

y=京+1

△=4二+12(4+/)=16/+48,

.2%-3

…=5砧=由

由已知尸(0,1),

義CE=FD,所以,_yj=(w,%T)

12

所以_1__司=%,,即&+%=--,

k