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文檔簡介
1.3
逆矩陣一、逆矩陣的概念與性質(zhì)二、用行初等變換求逆矩陣返回一、逆矩陣的概念與性質(zhì)數(shù)a
≠0:a
a-1
=a-1
a
=1?:?矩陣A:A
(?)=I定義
設(shè)A為n階矩陣,若存在n階矩陣B,使得AB
=
BA
=
I,則稱A為可逆矩陣,B為A的逆矩陣,記為A-1
=B.若A可逆,則A-1存在,且A
A-1
=A-1
A=I.單位陣I
:對角陣:1nn
d
d1D
=
(,
d
,
...,
d
?
0);dn
1
1D-1
=
d1I
-1
=
I定理1
設(shè)A可逆,則它的逆是唯一的.證設(shè)有B和C
滿足AB
=
BA
=
I,AC
=
CA
=
I.注意若A,B均為方陣,且AB=I
(或BA=I),則A可逆且B=A-1.例
設(shè)2 1
,
-
1 0
A
=
求
A
的逆陣
.
c d
b
B
=
aA則1
a
0AB
=
2
b
=
1
-
1
0
c d
0
1-
b
0-
a2b
+
d
1
0
=
1
2a
+
c解
設(shè)由定義利
用待定系是數(shù)法的逆矩陣,12b
+
d
=
0,-
a
=
0,-
b
=
1,
2a
+
c
=
1,
d
=
2.
c
=
1,b
=
-1,
a
=
0,
-
1
0
1
2
2
1
0
-
1
2-
1=
0所以
1
2
1
1
0
=
,
1
2
-
1
0
0
10
-
1.-1A
=
又因為ABBA性質(zhì)設(shè)A,B
均為n階可逆矩陣,數(shù)λ≠0,則證3:(
AB)(
B-1
A-1
)
=A(
BB-1
)
A-1
=
AA-1
=
I所以AB可逆,且(AB)-1
=B-1
A-14:A-1可逆,且(A-1)-1
=A;λA可逆,且(λA)-1
=1/λ
A-1AB可逆,且(AB)-1
=B-1
A-1;AT可逆,且(AT)-1
=(A-1)T.(2)
AB
=
AC
?B
=
C問:(A+B)-1
?=A-1
+B-1若A可逆,
(1)
AB
=
0
?
B
=
0
成立消去律成立不一定成立例2
設(shè)方陣A滿足A2
-
A
-
2I
=O,
證明:A和I
-A都可逆,并求其逆矩陣;A+I
和A-2I不同時可逆.證
(1)A(
A
-
I
)
=
2I2A(
1
(
A
-
I
))
=
I2所以A可逆,且A-1
=1
(A
-I
)2(-
1
A)(
I
-
A)
=
I所以I
-A可逆,且(I
-A)-1
=-1
A(2)2(
A
+
I
)(
A
-
2I
)
=
A2
-
A
-
2I
=
O所以,A+I
和A-2I不同時可逆.為什么?例3
設(shè)
B2
=
B
,
A
=
I
+
B2證明:A可逆且A-1
=1
(3I
-A).2
22
=
3
(I
+
B)-
1
(I
+
B)22
2=
3
I
+
3
B
-
1
(I
2
+
2B
+
B2
)2
2
2=
3
I
+
3
B
-
1
I
-
B
-
1
B22
2
2
2=
I2\
A
可逆且A-1
=1
(3I
-A).證
A
1
(3I
-
A)
=
3
A
-
1
A2例4矩陣
A滿足:
Ak
=
0
,證明:I
-A
可逆;求:(I
-A)-1
.分析:(I
-
A)?
?
=
I
.(I
-
A)I
+
A
+
A2
++
Ak
-1=
I
+
A
+
A2
++
Ak
-1
)+-
A
-
A2
-
-
Ak
-1
-
Ak=
I
-
Ak
=
I\
I
-A
可逆且(I
-A)-1
=I
+A
+
+Ak
-1
.解問題:初等矩陣可逆嗎?其逆陣呢?E
-1
=
E
;
E
-1
(c)
=
E
(1
),
c
?
0;cij
ij
i
iE
-1
(c)
=
E
(-c).ij
ij為什么?定理設(shè)A為n階矩陣,則下列各命題等價:A是可逆的;AX=0只有零解;A與I
行等價;A可表為有限個初等矩陣的乘積.證
1→2:2→3:
A顯然(為什么?)行初等變換fi
B
(行階梯形矩陣)BX
=
0只有零解.
B的對角元均非零。(即非零行數(shù)等于矩陣的階數(shù))否則B的最后一行的元全為零,則BX
=0有非零解.矛盾則,B
行初等變換fi
B的行簡化階梯形=
I1234由條件,A可經(jīng)行初等變換得I.顯然(為什么?)推論設(shè)A為n階矩陣,則AX=b有唯一解的充要條件是A可逆.證
充分性:必要性:設(shè)AX=b有唯一解X,但A不可逆.A不可逆
AX=0有非零解Z.令Y=X+Z,則Y為AX=b的解,矛盾.3→4:4→1:二、用行初等變換求逆矩陣(
A,
I
)行初等變換fi
(
I
,
A-1
)方法由例1可知用定義利用待定系數(shù)法求矩陣的逆特別是高階矩陣的逆將十分麻煩。因此,我們將推導(dǎo)求逆矩陣的簡便方法.設(shè)A可逆,所以存在初等矩陣E1,…,Ek,使得例6
求A的逆矩陣:32.
1
1
2
3A
=
2
13解
1(
A,
I
)
=
2
1
0010fi
0
1
2
3
1
0
0
1
2
3
1
0
01
2
0
1
-
3
-
4
-
2
13
3
0
0
1
0
-1
0fi0
-
4
-
5
1
0
-4
345
-
140
13
0
123100
123100
010-101
fi
010-101
4
4-
1
-
314
04
41
0
-1
0
1
,0
1
54
1
0
0
-
3
3
-
3
54
-
3
3
1
所以,A-1
=
1
-
4
0
4
-14
4-
1
-
394
01
fi
0
1
2
0
-
11
3
4
4fi
0
1
0
-1
00
1
54問:怎樣利用以上結(jié)果解方程組AX
=b
?其中A為上面矩陣,X
=(x1,
x2,
x3
)T
,
b=(1,
0,
-1)TX
=
A-1b
=‥‥‥=
(-1,
-2,
2)如果A
不可逆呢?,不是方陣呢?例7
求A的逆矩陣:21
.
0-1
1
-
2
1
04A
=解
0011
0fi
0
1
-
2
1
1
0
0(
A,
I
)
=
2
0
1
0
14
-1
0
0
1
-
2
1
1
0
04
-1
-
2
14
-1
0
00
0
00fi
0
1
-
2
1
1
0
04
-1
-
2
1
02
-1
1為什么?A不可逆例70
,
1-1-1
0
0
A
=
1
-11(2)(A
+
2I
)-1
(A
-
2I
).計算:(1)(A
+2I
)-1
(A2
-4I
),(A
+
2I
)-1
A2
-
4I
)=
(A
+
2I
)-1
(A
+
2I
)(A
-
2I
)
22-1
1
1-
3
-1
0
0
2=
A
-
2I
=
1
-1
0
-
1
-
3
0
0
=
1
-
3
0
.1解例8
設(shè)矩陣11
.
01
0
,
B
=
0
2
2
3
1
1
1A
=
1
-1
1
-1
2
0(2)XA
=
B
.例9
解矩陣方程
:(1)AX
=
B
,1
-100
2(A I
)=
11
-10fi
202310-10012100-100123102100
1解
(1)A-1
AX
=
X
=
A-1
B
.(2)
(A
+
2I
)-1
(A
-
2I
)=
?111
0
0
1
0
01
0
0
1
0
fi1
1
0
0(A
+
2I
I
)=
1
01
1
-1
011
00
1
0
-1
100100
100100
010-110
fi
010-110-
301
1
0
1
0
0
-
3
0
0
1
0
1
-
3-1
1-1A
-
2I
)=
-1(A
+
2I
)
(
0-
3
-
3
0
0
=
4
-
3
0
.4例10求A的逆矩陣A-1
.0
,ni
=1nai
?
0
.aan-1
0
a1
0
0
0
0
a2
0A
=
0
0
0
0
0
1
n
a
0
0
0
an-1
0
0
0
00
0
0
0
0
0
0a100100
0
00a20010
0解fi0
00
00
0
1n
-10
0
a0a2001
0
an0000001
0a1001000fi
010
01
11n-1n
aaa
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
a2
0
0
0
1
0
0
1
0
00
0
0
0
0
01A-1
=
1
7
1
41
2A-1
BA
=6
A
+BA,且A
=oo
求B.A-1
BA
-
BA
=
6
A
A-1
-
I
)BA
=
6A
A-1
-
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